Analyse du mouvement d’un avion
Comprendre l’Analyse du mouvement d’un avion
Un avion de ligne effectue un vol transatlantique entre Paris et New York. Lors du vol, le pilote doit effectuer une montée pour éviter une zone de turbulence.
L’avion commence sa montée à une altitude de 10 000 mètres avec une vitesse horizontale constante.
Il doit atteindre une altitude de 12 000 mètres tout en conservant cette vitesse horizontale. L’angle de montée par rapport à l’horizontale est de 3°.
La résistance de l’air augmente avec l’altitude, mais pour simplifier, nous supposerons qu’elle reste constante et qu’elle est équivalente à une force horizontale opposée de 4 000 N. La masse de l’avion est de 200 000 kg.
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Données :
- Masse de l’avion, \( m = 200,000 \, \text{kg} \)
- Vitesse horizontale initiale, \( v = 250 \, \text{m/s} \)
- Force de résistance de l’air, \( F_{\text{résistance}} = 4,000 \, \text{N} \)
- Angle de montée, \( \theta = 3^\circ \)
- Changement d’altitude, \( \Delta h = 2,000 \, \text{m} \)
- Accélération due à la gravité, \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
Questions :
1. Calculez la composante de la force de poussée \( F_{\text{poussée, hor}} \) nécessaire pour maintenir la vitesse horizontale constante en considérant la résistance de l’air.
2. Déterminez la composante verticale de la force de poussée nécessaire pour atteindre la nouvelle altitude.
3. Calculez la force totale de poussée \( F_{\text{poussée totale}} \) que les moteurs de l’avion doivent générer.
4. Estimez le temps nécessaire pour atteindre l’altitude de 12 000 mètres.
5. Discutez de l’impact de l’augmentation de la force de poussée sur la consommation de carburant de l’avion.
Correction : Analyse du mouvement d’un avion
1. Calcul de la composante horizontale de la force de poussée \(F_{\text{poussée, hor}}\):
La force de poussée horizontale doit compenser exactement la force de résistance de l’air pour maintenir une vitesse horizontale constante.
\[ F_{\text{poussée, hor}} = F_{\text{résistance}} = 4000\, \text{N} \]
2. Calcul de la composante verticale de la force de poussée \(F_{\text{poussée, vert}}\):
La composante verticale de la force de poussée est nécessaire pour surmonter la composante verticale du poids de l’avion due à l’inclinaison lors de la montée.
\[ F_{\text{poussée, vert}} = m \cdot g \cdot \tan(\theta) \] \[ F_{\text{poussée, vert}} = 200000\, \text{kg} \cdot 9.81\, \text{m/s}^2 \cdot \tan(3^\circ) \] \[ F_{\text{poussée, vert}} = 200000 \cdot 9.81 \cdot 0.0524 \] \[ F_{\text{poussée, vert}} \approx 102960\, \text{N} \]
3. Calcul de la force totale de poussée \(F_{\text{poussée totale}}\):
\[ F_{\text{poussée totale}} = \sqrt{F_{\text{poussée, hor}}^2 + F_{\text{poussée, vert}}^2} \] \[ F_{\text{poussée totale}} = \sqrt{4000^2 + 102960^2} \] \[ F_{\text{poussée totale}} \approx 103000\, \text{N} \]
4. Estimation du temps nécessaire pour atteindre l’altitude de 12 000 mètres:
\[ t = \frac{\Delta h}{v \cdot \tan(\theta)} \] \[ t = \frac{2000\, \text{m}}{250\, \text{m/s} \cdot 0.0524} \] \[ t \approx 153\, \text{s} \]
5. Discussion sur l’impact de l’augmentation de la force de poussée sur la consommation de carburant:
L’augmentation de la force de poussée totale nécessaire pour la montée entraîne une augmentation significative de la consommation de carburant.
La consommation de carburant d’un avion est généralement proportionnelle à la force de poussée générée par les moteurs.
Ainsi, une augmentation de la force de poussée de 4000 N en régime horizontal à environ 103000 N pour atteindre une nouvelle altitude peut entraîner une hausse substantielle de la consommation de carburant, surtout si la montée s’étend sur une longue période.
Analyse du mouvement d’un avion
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