Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie
Contexte : La glisse parfaite.
La physique est partout autour de nous, et notamment dans les sports d'hiver. Comprendre pourquoi et comment un skieur accélère sur une piste est une application directe des lois fondamentales de la mécanique. Cet exercice a pour but d'appliquer la deuxième loi de NewtonAussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique, elle énonce que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par l'accélération de son centre d'inertie., un pilier de la physique classique, pour analyser le mouvement d'un skieur et déterminer son accélération. Nous modéliserons le skieur comme un solide en translation sur un plan incliné.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la méthode systématique de résolution d'un problème de dynamique. Nous allons définir le système, choisir un référentiel, faire le bilan des forces, projeter ces forces dans un repère judicieusement choisi, et enfin en déduire l'accélération. C'est la "recette" à appliquer pour la plupart des problèmes de mécanique du point.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier et représenter les forces s'exerçant sur un système (bilan des forces).
- Choisir un référentiel galiléenUn référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Pour les exercices sur Terre, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen. et un repère adaptés au problème.
- Appliquer la deuxième loi de Newton sous sa forme vectorielle.
- Projeter une relation vectorielle sur les axes d'un repère.
- Déterminer l'accélération du centre d'inertiePoint particulier d'un solide où l'on peut considérer que toute sa masse est concentrée. Son mouvement décrit le mouvement de translation du solide..
Données de l'étude
Schéma des forces agissant sur le skieur
Simulation 3D interactive du skieur
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du skieur | \(m\) | 80.0 | \(\text{kg}\) |
| Angle de la piste | \(\alpha\) | 20.0 | \(\text{°}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{m} \cdot \text{s}^{-2}\) |
Questions à traiter
- Faire le bilan des forces extérieures s'appliquant sur le skieur et les représenter sur un schéma.
- Énoncer la deuxième loi de Newton et l'appliquer au skieur dans le référentiel terrestre.
- Choisir un repère cartésien et y projeter la relation vectorielle obtenue.
- Déterminer l'expression littérale de l'accélération \(a\) du skieur, puis calculer sa valeur numérique.
Les bases de la dynamique Newtonienne
Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de la dynamique.
1. Système et Référentiel :
La première étape est toujours de définir :
- Le système : L'objet dont on étudie le mouvement (ici, le skieur).
- Le référentiel : L'objet par rapport auquel on étudie le mouvement. Il doit être galiléen pour que les lois de Newton s'appliquent. Le référentiel terrestre est une bonne approximation pour les mouvements de courte durée à la surface de la Terre.
2. La Deuxième Loi de Newton :
Elle relie les forces agissant sur un système à l'accélération de son centre d'inertie. Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération de son centre d'inertie :
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}_G \]
3. La Projection :
Une équation vectorielle est en réalité un ensemble d'équations scalaires (numériques). Pour les obtenir, on choisit un repère (souvent deux axes, Ox et Oy) et on "projette" l'équation vectorielle sur chacun de ces axes. Le choix du repère est crucial : il faut le prendre le plus "intelligent" possible, souvent en alignant un axe avec le mouvement.
Correction : Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie
Question 1 : Bilan et représentation des forces
Principe (le concept physique)
Faire un "bilan des forces" consiste à identifier de manière exhaustive toutes les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur le système étudié. On distingue les forces de contact (qui nécessitent un contact physique) et les forces à distance (comme la gravité).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Chaque force est un vecteur, caractérisé par un point d'application, une direction, un sens et une norme (valeur). Pour le poids, le point d'application est le centre d'inertie G. Pour les forces de contact, c'est le point (ou la surface) de contact.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est la plus importante. Une force oubliée ou mal orientée faussera tout le reste du raisonnement. Prenez l'habitude de vous poser la question : "Qu'est-ce qui touche le système ? Qu'est-ce qui l'attire à distance ?"
Normes (la référence réglementaire)
La méthode du bilan des forces est l'application standard de la modélisation des actions mécaniques, telle que définie dans les programmes de physique du secondaire et du supérieur pour aborder les problèmes de dynamique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les forces sont identifiées conceptuellement, mais on peut déjà énoncer la formule du poids :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le système est le {skieur}. Le référentiel est terrestre, considéré galiléen. L'énoncé précise que les frottements (air et neige) sont négligés, ce qui implique que la réaction du support est purement normale.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour cette question, les données sont qualitatives : la présence de la Terre (qui exerce le poids) et de la piste (qui exerce une réaction).
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour ne rien oublier, procédez en deux temps : 1. Forces à distance (presque toujours le poids). 2. Forces de contact (tout ce qui touche l'objet). C'est une méthode infaillible.
Schéma (Avant les calculs)
Situation initiale
Calcul(s) (l'application numérique)
On identifie deux forces extérieures :
- Le poids \(\vec{P}\) : force à distance exercée par la Terre. Caractéristiques : vertical, vers le bas, appliqué en G, norme \(P = m \cdot g\).
- La réaction du support \(\vec{R}\) : force de contact exercée par la piste. Comme il n'y a pas de frottement, cette force est perpendiculaire (normale) au support. Caractéristiques : perpendiculaire à la piste, vers le haut.
Schéma (Après les calculs)
Bilan des forces sur le skieur
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'hypothèse "sans frottement" est une simplification majeure. Elle implique que la piste ne peut que "pousser" sur le skieur, mais pas le retenir ni le tirer. C'est pourquoi la force \(\vec{R}\) est parfaitement perpendiculaire à la surface de contact.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de dessiner la réaction du support \(\vec{R}\) verticale. Non ! Elle est toujours perpendiculaire au support. Le poids \(\vec{P}\), lui, est toujours vertical.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Toujours commencer par définir le système et le référentiel.
- Lister les forces à distance (poids) et les forces de contact (réaction, frottements...).
- Représenter les forces par des vecteurs partant du bon point d'application et avec la bonne orientation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le diagramme montrant le système isolé et les forces extérieures qui s'y appliquent est appelé "diagramme de corps libre". C'est un outil visuel fondamental en mécanique et en ingénierie pour analyser les forces.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle troisième force faudrait-il ajouter au bilan si le skieur était freiné par la neige ?
Question 2 : Appliquer la deuxième loi de Newton
Principe (le concept physique)
Cette loi est le cœur de la dynamique. Elle établit un lien de cause à effet : les forces (la cause) provoquent une modification du mouvement, qui est quantifiée par l'accélération (l'effet). On l'écrit d'abord sous forme vectorielle, ce qui est une vérité générale, indépendante de tout système de coordonnées.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La deuxième loi de Newton est une loi fondamentale de la nature, issue de l'observation et de l'expérimentation. Elle n'est pas démontrable mathématiquement. Sa forme \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\) est valable pour les objets dont la masse est constante, ce qui est le cas ici.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'application de cette loi doit être une étape quasi automatique après le bilan des forces. Il s'agit simplement de poser que la somme de tous les vecteurs que vous avez dessinés est égale au vecteur \(m\vec{a}\).
Normes (la référence réglementaire)
Le théorème de référence est la Deuxième Loi de Newton, aussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique (PFD). Son énoncé est standard et doit être connu précisément.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'application de la loi est valide car nous nous plaçons dans le référentiel terrestre, supposé galiléen pour la durée du mouvement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données sont les forces identifiées à la question 1 : \(\vec{P}\) et \(\vec{R}\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Visualisez la somme des vecteurs. Si vous mettez le vecteur \(\vec{R}\) au bout du vecteur \(\vec{P}\), vous verrez que le vecteur résultant \(\vec{P}+\vec{R}\) est bien dirigé le long de la pente. C'est ce vecteur qui est égal à \(m\vec{a}\).
Schéma (Avant les calculs)
Somme vectorielle des forces
Calcul(s) (l'application numérique)
En appliquant la loi au système {skieur} avec les forces identifiées à la question 1, on obtient :
Schéma (Après les calculs)
Égalité vectorielle
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation vectorielle contient toute l'information sur le mouvement. Le vecteur accélération \(\vec{a}_G\) est la somme vectorielle (mise à l'échelle par \(1/m\)) des vecteurs forces. On peut déjà voir graphiquement que la somme \(\vec{P} + \vec{R}\) ne sera pas nulle et sera dirigée le long de la pente, ce qui est cohérent avec le mouvement attendu.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais écrire la loi sans les flèches des vecteurs ! Écrire \(P+R=ma\) est une erreur très grave, car cela signifierait additionner les normes des forces, ce qui n'a de sens que si toutes les forces sont colinéaires et de même sens.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La deuxième loi de Newton est une loi vectorielle.
- Elle s'applique dans un référentiel galiléen.
- Elle relie la somme des forces extérieures à l'accélération.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Isaac Newton a publié cette loi en 1687 dans son ouvrage majeur "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica". Ces lois du mouvement ont constitué le fondement de la mécanique classique pendant plus de 200 ans, jusqu'à l'arrivée de la relativité d'Einstein.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Écrivez la relation vectorielle de la 2ème loi si on ajoute une force de frottement \(\vec{f}\).
Question 3 : Projeter la relation vectorielle
Principe (le concept physique)
Pour exploiter l'équation vectorielle, il faut la transformer en équations numériques. Pour cela, on choisit un repère (deux axes perpendiculaires) et on projette chaque vecteur sur ces axes. Le choix du repère est stratégique : on aligne généralement un axe sur la direction du mouvement pour simplifier les calculs.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Projeter un vecteur \(\vec{V}\) sur un axe consiste à trouver sa "composante" selon cet axe. Si l'angle entre le vecteur et l'axe est \(\theta\), la composante est \(V \cos(\theta)\). Il est souvent plus simple d'utiliser la trigonométrie du triangle rectangle formé par le vecteur et ses composantes sur les axes du repère (SOH CAH TOA).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le choix du repère est la décision la plus importante de cette étape. Si vous choisissez un repère "classique" (horizontal/vertical), les calculs seront plus compliqués. En inclinant le repère pour suivre la pente, on simplifie grandement le problème car le mouvement n'a lieu que sur un seul axe.
Normes (la référence réglementaire)
La projection de vecteurs est une technique mathématique standard issue de l'algèbre linéaire, universellement appliquée en physique pour résoudre les équations vectorielles.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques sont :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le mouvement est une translation rectiligne le long de la piste. Par conséquent, le vecteur accélération est colinéaire à la piste, et sa composante perpendiculaire à la piste est nulle (\(a_y=0\)).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Relation vectorielle : \(\vec{P} + \vec{R} = m \cdot \vec{a}_G\)
- Masse : \(m = 80.0 \, \text{kg}\)
- Intensité de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\)
- Angle de la piste : \(\alpha = 20.0 \, \text{°}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le meilleur choix de repère est presque toujours un axe dans le sens du mouvement (ici, l'axe Ox parallèle à la piste) et un axe perpendiculaire (Oy). Ainsi, le vecteur accélération n'aura qu'une seule composante (\(a_x\)), et la réaction du support \(\vec{R}\) aussi (\(R_y\)). Seul le poids \(\vec{P}\) devra être décomposé.
Schéma (Avant les calculs)
Choix du repère et projection du poids
Calcul(s) (l'application numérique)
On choisit un repère (G, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) avec G le centre d'inertie, \(\vec{i}\) un vecteur unitaire parallèle à la piste dans le sens du mouvement, et \(\vec{j}\) un vecteur unitaire perpendiculaire à la piste, vers le haut. On projette chaque vecteur de \(\vec{P} + \vec{R} = m \cdot \vec{a}_G\) :
| Vecteur | Composante sur x (\(\vec{i}\)) | Composante sur y (\(\vec{j}\)) |
|---|---|---|
| Poids \(\vec{P}\) | \(P_x = P \sin(\alpha) = mg \sin(\alpha)\) | \(P_y = -P \cos(\alpha) = -mg \cos(\alpha)\) |
| Réaction \(\vec{R}\) | \(R_x = 0\) | \(R_y = R\) |
| Accélération \(\vec{a}_G\) | \(a_x = a\) | \(a_y = 0\) (mouvement rectiligne) |
En reportant dans la loi, on obtient deux équations scalaires :
Schéma (Après les calculs)
Choix du repère et projection du poids
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La projection a transformé un problème de vecteurs en deux problèmes d'algèbre simples. La première équation décrit le mouvement le long de la pente, tandis que la seconde décrit l'équilibre des forces perpendiculairement à la pente. On en déduit d'ailleurs que la réaction du support \(R\) compense exactement la composante normale du poids (\(R = mg \cos \alpha\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de se tromper entre le sinus et le cosinus lors de la projection du poids. Une astuce : quand l'angle \(\alpha\) tend vers 0 (piste plate), la composante qui tire vers l'avant (\(P_x\)) doit tendre vers 0. C'est bien le cas de \(mg \sin(0) = 0\). La composante qui écrase le sol (\(P_y\)) doit tendre vers \(-mg\). C'est bien le cas de \(-mg \cos(0) = -mg\). C'est un bon moyen de vérifier.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le choix d'un repère incliné est presque toujours la meilleure stratégie pour un problème de plan incliné.
- La projection transforme une équation vectorielle en deux (ou trois en 3D) équations scalaires.
- Vérifiez toujours vos projections avec des cas limites (angle nul ou 90°).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de décomposition de vecteurs en composantes orthogonales est attribué à René Descartes au 17ème siècle, avec l'invention du système de coordonnées cartésiennes. C'est l'une des idées les plus puissantes des mathématiques, liant la géométrie et l'algèbre.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\( \begin{cases} mg \sin(\alpha) = ma \\ R - mg \cos(\alpha) = 0 \end{cases} \)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la projection sur l'axe Ox d'une force de frottement \(\vec{f}\) (opposée au mouvement) ?
Question 4 : Déterminer l'expression et la valeur de l'accélération
Principe (le concept physique)
La première équation scalaire obtenue par projection contient l'inconnue que nous cherchons : l'accélération \(a\). Il suffit de la résoudre pour trouver son expression littérale, qui montre de quels paramètres physiques elle dépend. Le calcul numérique n'est que l'étape finale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Une accélération constante \(a\) signifie que la vitesse du système varie linéairement avec le temps (\(v(t) = at + v_0\)) et que sa position varie de façon quadratique (\(x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0\)). C'est la définition d'un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Toujours résoudre les problèmes de manière littérale d'abord ! Cela permet de vérifier l'homogénéité des formules (les unités) et de comprendre la physique sous-jacente. Par exemple, on va voir que la masse n'intervient pas dans le résultat final, une conclusion importante qu'on ne verrait pas en faisant directement le calcul numérique.
Normes (la référence réglementaire)
La résolution de l'équation est une application directe des règles de l'algèbre élémentaire.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de l'équation projetée sur l'axe du mouvement :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la masse \(m\) du skieur est non nulle, ce qui nous autorise à diviser chaque membre de l'équation par \(m\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\)
- Angle de la piste, \(\alpha = 20.0 \, \text{°}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant le calcul, vérifiez que votre calculatrice est bien en mode "Degrés" et non "Radians", car l'angle est donné en degrés. C'est une source d'erreur très fréquente.
Schéma (Avant les calculs)
Évolution attendue de la vitesse
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Expression littérale :
2. Application numérique :
Schéma (Après les calculs)
Évolution calculée de la vitesse
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'accélération est constante et positive, ce qui signifie que le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Le skieur gagne de la vitesse de manière constante. Fait remarquable : en l'absence de frottements, l'accélération ne dépend que de l'inclinaison de la piste et de l'astre sur lequel on se trouve (via \(g\)). Un skieur de 50 kg et un skieur de 100 kg accélèrent exactement de la même manière ! C'est une conséquence du principe d'équivalence.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne donnez pas le résultat final avec plus de chiffres significatifs que les données. Ici, les données ont 3 chiffres significatifs (80.0, 20.0, 9.81), donc le résultat doit être donné avec 3 chiffres significatifs (3.35).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La résolution littérale permet de simplifier l'équation avant le calcul.
- Le résultat final doit être physiquement cohérent (ici, une accélération positive).
- L'accélération sur un plan incliné sans frottement est indépendante de la masse.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
C'est Galilée qui, le premier, a eu l'intuition que tous les corps chutent avec la même accélération dans le vide, indépendamment de leur masse. Il a utilisé des plans inclinés pour "ralentir" la chute et la rendre mesurable avec les instruments de l'époque, démontrant ainsi que la distance parcourue était proportionnelle au carré du temps, une caractéristique d'un mouvement uniformément accéléré.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait l'accélération (en \(\text{m/s}^2\)) sur une piste inclinée à 30° ?
Outil Interactif : Paramètres de la Glisse
Modifiez les paramètres du skieur et de la piste pour voir leur influence sur l'accélération.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
En réalité, un skieur de compétition n'est jamais en l'absence de frottements. La force la plus importante qui s'oppose à son mouvement à haute vitesse n'est pas le frottement sur la neige, mais la résistance de l'air, qui augmente comme le carré de la vitesse. C'est pour la minimiser que les skieurs adoptent la fameuse "position de l'œuf".
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi l'accélération ne dépend-elle pas de la masse ?
Dans le cas sans frottement, la force qui "tire" le skieur vers l'avant est une composante de son poids (\(mg \sin \alpha\)). La deuxième loi de Newton dit que cette force est égale à \(ma\). On a donc \(mg \sin \alpha = ma\). La masse \(m\) apparaît des deux côtés de l'équation et se simplifie. C'est une illustration du principe d'équivalence : la masse inertielle (celle qui résiste à l'accélération) est égale à la masse grave (celle qui subit la force de gravité).
Que se passe-t-il si l'on prend en compte les frottements ?
La force de frottement \(\vec{f}\) s'oppose au mouvement. Sa norme est souvent modélisée par \(f = \mu_c \cdot R\), où \(\mu_c\) est le coefficient de frottement cinétique et R la norme de la réaction normale. L'équation sur l'axe Ox devient \(mg \sin \alpha - f = ma\). Comme \(R = mg \cos \alpha\), on obtient \(a = g(\sin \alpha - \mu_c \cos \alpha)\). L'accélération est plus faible et dépend maintenant des matériaux en contact via \(\mu_c\), mais toujours pas de la masse !
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Sur une piste sans frottement, si on double la masse du skieur, son accélération est...
2. Pour obtenir la plus grande accélération possible, un skieur doit chercher une piste avec...
- Centre d'inertie (G)
- Point d'un objet qui se déplace comme si toute la masse de l'objet y était concentrée et comme si toutes les forces extérieures y étaient appliquées. Son mouvement décrit la translation de l'objet.
- Référentiel Galiléen
- Un référentiel dans lequel le principe d'inertie (un objet non soumis à des forces est soit immobile, soit en mouvement rectiligne uniforme) est vérifié. Le référentiel terrestre est une excellente approximation pour la plupart des expériences de courte durée.
- Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
- Autre nom pour la deuxième loi de Newton. Il s'agit de la loi centrale de la mécanique qui relie les forces, la masse et l'accélération.
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