Calcul de la constante de raideur k

Principe :

L'allongement \(\Delta\text{L}\) est la différence entre la longueur du ressort lorsqu'une masse est accrochée (\(\text{L}\)) et sa longueur à vide (\(\text{L}_0\)). \(\Delta\text{L} = \text{L} - \text{L}_0\).

Données spécifiques :

• Longueur à vide (\(\text{L}_0\)) : \(10,0 \, \text{cm}\)
• Longueurs \(\text{L}\) données dans le tableau de l'énoncé.

Calculs et Tableau :

Principe :

Le poids \(\text{P}\) d'un objet de masse \(\text{m}\) est donné par la formule \(\text{P} = \text{m} \times \text{g}\). La masse doit être en kilogrammes pour obtenir un poids en Newtons si \(\text{g}\) est en \(\text{N/kg}\).

Données spécifiques :

• Masses \(\text{m}\) en kg (colonne 2 du tableau précédent).
• Intensité de la pesanteur (\(\text{g}\)) : \(9,8 \, \text{N/kg}\).

Calculs :

• Pour \(\text{m}_1 = 0,0500 \, \text{kg}\) : \(\text{P}_1 = 0,0500 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} = 0,49 \, \text{N}\)
• Pour \(\text{m}_2 = 0,1000 \, \text{kg}\) : \(\text{P}_2 = 0,1000 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} = 0,98 \, \text{N}\)
• Pour \(\text{m}_3 = 0,1500 \, \text{kg}\) : \(\text{P}_3 = 0,1500 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} = 1,47 \, \text{N}\)

Principe :

Lorsque la masse est suspendue au ressort et qu'elle est immobile (à l'équilibre), la somme des forces qui s'exercent sur elle est nulle (d'après le principe d'inertie, ou première loi de Newton, si l'objet est au repos, la somme vectorielle des forces est nulle).

Réponse :

À l'équilibre, la masse est soumise à deux forces verticales :

• Son poids \(\vec{\text{P}}\), dirigé vers le bas.
• La force de tension \(\vec{\text{T}}\) exercée par le ressort, dirigée vers le haut.

Puisque la masse est à l'équilibre, ces deux forces se compensent. Elles ont donc la même direction (verticale), des sens opposés, et la même valeur (ou intensité).

Ainsi, \(\text{T} = \text{P}\).

Principe :

La loi de Hooke décrit la relation de proportionnalité entre la force exercée par un ressort et son allongement (ou sa compression), dans la limite d'élasticité du ressort.

Énoncé de la loi :

La force de tension \(\text{T}\) exercée par un ressort (ou la force qu'il faut appliquer pour l'allonger) est proportionnelle à son allongement \(\Delta\text{L}\). La relation s'écrit :

Où :
\(\text{T}\) est la force de tension du ressort (en Newton, N)
\(\text{k}\) est la constante de raideur du ressort (en Newton par mètre, N/m)
\(\Delta\text{L}\) est l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide (en mètre, m)

Principe :

D'après la loi de Hooke et la conclusion de la question 3, on a \(\text{P} = \text{k} \times \Delta\text{L}\). On peut donc calculer \(\text{k}\) par la relation \(\text{k} = \text{P} / \Delta\text{L}\) pour chaque expérience. L'allongement \(\Delta\text{L}\) doit être en mètres.

Calculs :

• Expérience 1 :
  \[ \text{k}_1 = \frac{\text{P}_1}{\Delta\text{L}_1} = \frac{0,49 \, \text{N}}{0,025 \, \text{m}} = 19,6 \, \text{N/m} \]
• Expérience 2 :
  \[ \text{k}_2 = \frac{\text{P}_2}{\Delta\text{L}_2} = \frac{0,98 \, \text{N}}{0,050 \, \text{m}} = 19,6 \, \text{N/m} \]
• Expérience 3 :
  \[ \text{k}_3 = \frac{\text{P}_3}{\Delta\text{L}_3} = \frac{1,47 \, \text{N}}{0,075 \, \text{m}} = 19,6 \, \text{N/m} \]

Cohérence et Conclusion :

Les valeurs de \(\text{k}\) calculées pour les trois expériences sont identiques (\(19,6 \, \text{N/m}\)). Cela est cohérent avec le fait que la constante de raideur est une caractéristique propre au ressort et ne devrait pas dépendre de la masse accrochée (tant que l'on reste dans la limite d'élasticité du ressort).

On peut conclure que la constante de raideur de ce ressort est d'environ \(19,6 \, \text{N/m}\).

Principe :

Pour obtenir une valeur plus fiable de la constante de raideur, surtout si les mesures individuelles présentent de légères variations (dues aux incertitudes de mesure), on peut calculer la moyenne des valeurs obtenues.

Calcul :

Puisque les trois valeurs calculées sont identiques (\(\text{k}_1 = \text{k}_2 = \text{k}_3 = 19,6 \, \text{N/m}\)), la moyenne sera également cette valeur.