Calcul de la constante de raideur k
Contexte : L'étude de l'élasticité avec la Loi de HookeLoi de la physique qui décrit le comportement des ressorts. Elle stipule que la force de rappel est proportionnelle à l'allongement..
Nous allons déterminer expérimentalement la constante de raideur \(k\) d'un ressort. Cette constante est une propriété intrinsèque du ressort qui quantifie sa "dureté" : plus \(k\) est élevée, plus le ressort est difficile à déformer. Pour ce faire, nous suspendons une masse connue à l'extrémité du ressort et mesurons son allongement à l'équilibre. En appliquant le principe fondamental de la statiqueUn cas particulier du principe d'inertie, où la vitesse est nulle. Il stipule que pour qu'un objet soit immobile, la somme des forces qui s'exercent sur lui doit être nulle., nous pourrons relier le poids de la masse à la force de rappel du ressort, et ainsi en déduire la constante de raideur.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un classique de la mécanique qui vous apprendra à appliquer concrètement le principe fondamental de la statique pour caractériser un système physique simple et à comprendre la relation de proportionnalité entre une force et une déformation.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la Loi de Hooke.
- Réaliser un bilan des forces sur un système à l'équilibre.
- Appliquer le principe fondamental de la statique.
- Calculer une constante de raideur et l'énergie potentielle élastique.
Données de l'étude
Schéma de l'expérience
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse suspendue | \(m\) | 500 | g |
| Longueur à vide du ressort | \(L_0\) | 10,0 | cm |
| Longueur finale du ressort | \(L_f\) | 14,9 | cm |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | N/kg |
Questions à traiter
- Calculer l'allongement \(\Delta L\) du ressort.
- Calculer la valeur du poids \(\vec{P}\) de la masse.
- Faire le bilan des forces s'exerçant sur la masse à l'équilibre et les représenter sur un schéma.
- En appliquant la condition d'équilibre, déterminer la valeur de la force de tension \(\vec{T}\) exercée par le ressort.
- En utilisant la loi de Hooke, en déduire la constante de raideur \(k\) du ressort.
- Calculer l'énergie potentielle élastique \(E_{pe}\) emmagasinée par le ressort étiré.
- Quelle serait la nouvelle longueur finale du ressort si l'on suspendait une masse de 1,5 kg ?
Les bases de la mécanique du ressort
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts clés relatifs aux forces et à l'énergie.
1. La Loi de Hooke
Elle décrit la force de rappel \(\vec{T}\) exercée par un ressort. Cette force est proportionnelle à l'allongement \(\Delta L\) et s'y oppose. Sa norme est donnée par :
\[ T = k \times |\Delta L| \]
Où \(k\) est la constante de raideur du ressort en Newtons par mètre (N/m).
2. Condition d'équilibre (Statique)
Un objet est en équilibre statique (immobile) si la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \]
3. Énergie potentielle élastique
C'est l'énergie stockée dans un ressort lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé). Elle se calcule avec la formule :
\[ E_{pe} = \frac{1}{2} k (\Delta L)^2 \]
Elle s'exprime en Joules (J).
Correction : Calcul de la constante de raideur k
Question 1 : Calcul de l'allongement \(\Delta L\)
Principe
L'allongement, noté \(\Delta L\), est la différence entre la longueur finale du ressort (lorsqu'il est étiré par la masse) et sa longueur initiale à vide.
Mini-Cours
La déformation d'un objet élastique est toujours mesurée par rapport à son état de repos (non déformé). \(\Delta L\) peut être positif (allongement) ou négatif (compression). Dans la loi de Hooke, on utilise souvent sa valeur absolue car la force de rappel s'oppose toujours à la déformation.
Remarque Pédagogique
La première étape de tout problème de ressort est de calculer proprement cet allongement. C'est une étape simple mais fondamentale. Faites particulièrement attention aux unités ; il est préférable de tout convertir en mètres dès le début.
Normes
Il s'agit d'une définition de base en physique, utilisant les unités du Système International (mètres).
Formule(s)
Formule de l'allongement
Hypothèses
On suppose que les mesures de longueur sont précises et que le ressort n'a pas été déformé de manière permanente.
Donnée(s)
- Longueur finale, \(L_f = 14,9 \text{ cm} = 0,149 \text{ m}\)
- Longueur à vide, \(L_0 = 10,0 \text{ cm} = 0,100 \text{ m}\)
Astuces
Pour éviter les erreurs, effectuez toujours les conversions d'unités avant de commencer les calculs. Transformer les centimètres en mètres en premier lieu simplifie toutes les étapes suivantes.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul de l'allongement en mètres
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
L'allongement est de 4,9 cm. C'est cette valeur de déformation qui est directement liée à la force appliquée, et non les longueurs L₀ ou Lf elles-mêmes.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les unités en mètres. Toutes les formules de mécanique (Loi de Hooke, énergie) utilisent les unités du Système International (mètres, Newtons, Joules).
Points à retenir
- L'allongement \(\Delta L\) est la variation de longueur par rapport à la longueur à vide.
- Les unités doivent être cohérentes, de préférence celles du Système International.
Le saviez-vous ?
Les ponts suspendus sont conçus en tenant compte de l'élasticité des énormes câbles d'acier qui les soutiennent. Ces câbles s'allongent de plusieurs mètres sous le poids du tablier et des véhicules, un allongement calculé précisément grâce aux lois de l'élasticité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un élastique mesure 20 cm à vide. On l'étire jusqu'à 35 cm. Quel est son allongement en mètres ?
Question 2 : Calcul de la valeur du poids \(\vec{P}\)
Principe
Le poids est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. Il est toujours dirigé verticalement vers le bas. Sa valeur se calcule en multipliant la masse de l'objet par l'intensité de la pesanteur, \(g\).
Mini-Cours
Il ne faut pas confondre la masse et le poids. La masse (en kg) est une mesure de la quantité de matière d'un objet ; elle est la même partout dans l'univers. Le poids (en N) est une force qui dépend de l'astre sur lequel se trouve l'objet (sur la Lune, votre poids serait environ 6 fois plus faible).
Remarque Pédagogique
Comme pour la question précédente, la conversion des unités est la première chose à faire. La masse est donnée en grammes, mais la formule du poids requiert des kilogrammes pour être cohérente avec l'unité de \(g\) (N/kg).
Normes
La formule \(P=mg\) est une application de la loi de la gravitation universelle de Newton à la surface de la Terre.
Formule(s)
Formule du poids
Hypothèses
On suppose que la valeur de \(g\) est constante et égale à 9,81 N/kg à l'endroit de l'expérience.
Donnée(s)
- Masse, \(m = 500 \text{ g} = 0,500 \text{ kg}\)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9,81 \text{ N/kg}\)
Astuces
Pour un calcul rapide et approximatif, on peut souvent arrondir \(g\) à 10 N/kg. Ici, le poids serait d'environ \(0,5 \times 10 = 5 \text{ N}\). Cela donne un excellent ordre de grandeur pour vérifier le résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique du poids
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Une masse de 500 grammes exerce une force (un poids) d'environ 4,9 Newtons sur le ressort. C'est cette force qui provoque son allongement.
Points de vigilance
La principale erreur est d'utiliser la masse en grammes dans la formule. Il faut impérativement la convertir en kilogrammes, l'unité de base du Système International.
Points à retenir
- Le poids est une force (\(P=mg\)), la masse est une quantité de matière.
- Les unités du Système International (kg pour la masse, N pour le poids) sont essentielles.
Le saviez-vous ?
L'intensité de la pesanteur \(g\) n'est pas exactement la même partout sur Terre. Elle est légèrement plus forte aux pôles qu'à l'équateur en raison de la rotation de la Terre et de son léger aplatissement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel est le poids d'un objet de 250 g sur la Lune, où l'intensité de la pesanteur est de 1,62 N/kg ?
Question 3 : Bilan des forces et schéma
Principe
Faire un bilan de forces consiste à identifier et nommer toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur le système étudié (ici, la masse). À l'équilibre, ces forces se compensent.
Mini-Cours
On distingue les forces de contact (qui nécessitent un contact physique, comme la tension du ressort) et les forces à distance (qui agissent sans contact, comme le poids). Pour un bilan complet, il faut toujours se demander : "Qu'est-ce qui touche l'objet ?" et "Qu'est-ce qui agit à distance sur l'objet ?".
Remarque Pédagogique
Un schéma clair est la moitié du travail en mécanique. Prenez l'habitude de toujours dessiner un "diagramme de corps libre" : on isole l'objet d'étude et on représente toutes les forces qui s'exercent sur lui par des vecteurs partant de son centre de gravité.
Normes
La représentation des forces par des vecteurs est une convention universelle en physique.
Formule(s)
Pas de formule de calcul ici, il s'agit d'une étape descriptive.
Hypothèses
On néglige la force exercée par l'air (poussée d'Archimède et frottements) ainsi que le poids du ressort lui-même devant celui de la masse.
Donnée(s)
Le système est la masse \(m\). Elle est soumise à deux forces : son poids \(\vec{P}\) et la tension du ressort \(\vec{T}\).
Astuces
Utilisez des couleurs différentes pour chaque vecteur force sur votre schéma pour une meilleure lisibilité. Assurez-vous que les longueurs des flèches soient cohérentes avec les intensités des forces (ici, elles seront égales).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Cette question ne demande pas de calcul, mais la réalisation correcte du bilan et du schéma.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Ce bilan simple à deux forces est la situation d'équilibre. Le poids tire la masse vers le bas, et le ressort, en s'étirant, tire la masse vers le haut avec une force de même intensité.
Points de vigilance
Ne pas oublier de forces (même si ici c'est simple) ou en inventer. Par exemple, il n'y a pas de "force de la masse" ; la masse n'est pas une force. Il y a le "poids de la masse".
Points à retenir
- Le bilan des forces est la première étape de tout problème de statique ou de dynamique.
- Les forces sont représentées par des vecteurs (flèches) indiquant leur direction, leur sens et leur point d'application.
Le saviez-vous ?
Les architectes et ingénieurs en génie civil réalisent des bilans de forces extrêmement complexes pour s'assurer que les bâtiments, les ponts et autres structures sont en équilibre et peuvent résister aux charges (poids propre, vent, neige, etc.).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel bilan des forces feriez-vous pour un livre posé sur une table ?
Question 4 : Détermination de la tension \(\vec{T}\)
Principe
Puisque la masse est immobile (en équilibre), le principe fondamental de la statique (ou principe d'inertie) s'applique : la somme vectorielle des forces est nulle. En projetant cette relation sur un axe vertical, on peut en déduire la valeur de la tension.
Mini-Cours
Une équation vectorielle comme \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) est en réalité un raccourci pour plusieurs équations scalaires (une par dimension de l'espace). En projetant sur un axe, on transforme l'équation vectorielle en une équation avec des nombres (positifs ou négatifs) que l'on peut résoudre.
Remarque Pédagogique
Le choix de l'orientation de l'axe de projection est arbitraire, mais un choix judicieux simplifie les signes. En orientant l'axe vers le haut, la tension \(\vec{T}\) aura une projection positive et le poids \(\vec{P}\) une projection négative.
Normes
Application de la première loi de Newton.
Formule(s)
Formule de l'équilibre statique
Hypothèses
Le système est parfaitement à l'équilibre, sans aucune oscillation.
Donnée(s)
- Poids, \(P = 4,905 \text{ N}\) (calculé à la question 2)
Astuces
Intuitivement, à l'équilibre, la force qui tire vers le haut (tension) doit être exactement égale à la force qui tire vers le bas (poids). Le calcul formel par projection ne fait que confirmer cette intuition.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Projection sur l'axe vertical
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat montre que le ressort exerce une force de rappel exactement égale au poids de l'objet. C'est la condition nécessaire pour que l'objet reste immobile.
Points de vigilance
Attention aux signes lors de la projection. Une force dans le sens de l'axe est comptée positivement, une force dans le sens opposé est comptée négativement.
Points à retenir
- À l'équilibre, la somme des forces est nulle.
- La projection de cette loi vectorielle sur un axe donne une équation scalaire simple à résoudre.
Le saviez-vous ?
Les pèse-personnes mécaniques (à aiguille) sont basés sur ce principe. Votre poids comprime un ou plusieurs ressorts, et le déplacement de l'aiguille est proportionnel à la déformation, donc à votre poids.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un lustre de 5 kg est suspendu au plafond par une chaîne. Quelle est la force de tension exercée par la chaîne sur le lustre ? (Prendre g=10 N/kg)
Question 5 : Déduction de la constante de raideur \(k\)
Principe
La loi de Hooke établit une relation de proportionnalité directe entre la force de tension exercée par un ressort et son allongement. La constante de proportionnalité est précisément la constante de raideur \(k\).
Mini-Cours
La constante de raideur \(k\) est une caractéristique fondamentale d'un ressort. Elle dépend de sa géométrie (longueur, diamètre des spires, diamètre du fil) et du matériau qui le compose (généralement de l'acier). Elle ne dépend pas de la masse que l'on accroche.
Remarque Pédagogique
Maintenant que nous connaissons la force (\(T\)) et l'allongement qu'elle provoque (\(\Delta L\)), nous avons tout ce qu'il faut pour "calibrer" notre ressort, c'est-à-dire trouver sa constante de raideur. C'est le cœur de l'expérience.
Normes
Application de la loi de Hooke.
Formule(s)
Formule de la constante de raideur
Hypothèses
On suppose que l'allongement est dans le domaine d'élasticité du ressort, là où la loi de Hooke est valide. Si on l'étirait trop, il se déformerait de façon permanente.
Donnée(s)
- Tension, \(T = 4,905 \text{ N}\)
- Allongement, \(\Delta L = 0,049 \text{ m}\)
Astuces
Vérifiez toujours l'homogénéité de vos unités avant le calcul. \(k\) doit être en N/m, il faut donc bien diviser des Newtons par des mètres. Si vous aviez gardé \(\Delta L\) en cm, le résultat serait 100 fois trop grand.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique de la constante de raideur
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La constante de raideur de ce ressort est d'environ 100 N/m. Cela signifie qu'il faut exercer une force de 100 Newtons (l'équivalent du poids d'une masse d'environ 10 kg) pour l'allonger de 1 mètre.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la valeur de l'allongement \(\Delta L\) et non la longueur finale \(L_f\). C'est la variation de longueur qui compte, pas la longueur totale.
Points à retenir
- La loi de Hooke relie la force à l'allongement : \(T = k \Delta L\).
- La constante de raideur \(k\) caractérise la "dureté" d'un ressort.
Le saviez-vous ?
Les suspensions de voiture utilisent des ressorts hélicoïdaux avec des constantes de raideur très élevées (plusieurs dizaines de milliers de N/m) pour pouvoir supporter le poids du véhicule tout en absorbant les chocs de la route.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un autre ressort s'allonge de 2 cm lorsqu'on lui suspend une masse de 400 g. Quelle est sa constante de raideur ? (Prendre g=9.8 N/kg)
Question 6 : Calcul de l'énergie potentielle élastique
Principe
Lorsqu'un ressort est étiré, il emmagasine de l'énergie, appelée énergie potentielle élastique. Cette énergie peut être restituée si on laisse le ressort revenir à sa position de repos. Elle dépend de la raideur du ressort et du carré de son allongement.
Mini-Cours
L'énergie potentielle élastique correspond au travail que la force de rappel du ressort peut fournir lors du retour à la position d'équilibre. Le facteur \(\frac{1}{2}\) et le carré de l'allongement viennent du fait que la force du ressort n'est pas constante pendant l'étirement (elle augmente linéairement), et le calcul de l'énergie nécessite une intégration.
Remarque Pédagogique
L'énergie potentielle élastique est toujours positive, que le ressort soit étiré (\(\Delta L > 0\)) ou comprimé (\(\Delta L < 0\)), car l'allongement est au carré. Toute déformation par rapport à la position de repos stocke de l'énergie.
Normes
Définition standard de l'énergie potentielle pour une force de rappel linéaire (Hookienne).
Formule(s)
Formule de l'énergie potentielle élastique
Hypothèses
On reste dans le domaine d'élasticité du ressort.
Donnée(s)
- Constante de raideur, \(k \approx 100,1 \text{ N/m}\)
- Allongement, \(\Delta L = 0,049 \text{ m}\)
Astuces
On peut aussi calculer l'énergie avec la formule \(E_{pe} = \frac{1}{2} T \Delta L\), ce qui peut être pratique si on ne connaît pas \(k\). Ici : \(E_{pe} = \frac{1}{2} \times 4,905 \times 0,049 \approx 0,12 \text{ J}\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique de l'énergie potentielle
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
L'énergie stockée est assez faible (0,12 Joules), ce qui est normal pour un petit ressort et une masse modérée. Cette énergie serait libérée (par exemple en produisant de l'énergie cinétique) si on coupait le fil retenant la masse.
Points de vigilance
N'oubliez pas le carré sur l'allongement \(\Delta L\) dans la formule de l'énergie. C'est une erreur très courante. De même, n'oubliez pas le facteur \(\frac{1}{2}\).
Points à retenir
- L'énergie potentielle élastique stockée par un ressort est \(E_{pe} = \frac{1}{2} k (\Delta L)^2\).
- Cette énergie est toujours positive ou nulle.
Le saviez-vous ?
Les arcs de tir à l'arc fonctionnent exactement comme des ressorts. En bandant l'arc, l'archer stocke de l'énergie potentielle élastique dans les branches de l'arc. Cette énergie est ensuite brutalement transférée à la flèche sous forme d'énergie cinétique lors du tir.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un ressort de raideur k = 200 N/m est comprimé de 10 cm. Quelle est l'énergie potentielle élastique qu'il a emmagasinée ?
Question 7 : Nouvelle longueur finale pour une masse de 1,5 kg
Principe
Puisque nous avons déterminé la constante de raideur \(k\), qui est une propriété intrinsèque du ressort, nous pouvons maintenant prédire son comportement pour n'importe quelle masse. Il suffit de refaire le raisonnement dans l'autre sens : calculer le nouveau poids, en déduire le nouvel allongement via la loi de Hooke, et l'ajouter à la longueur à vide.
Mini-Cours
La relation linéaire de la loi de Hooke (\(T=k\Delta L\)) montre que l'allongement est directement proportionnel à la force appliquée. Si on triple la force (en triplant la masse), l'allongement va également tripler. C'est le principe de la proportionnalité.
Remarque Pédagogique
Cette question de synthèse permet de vérifier que vous avez bien compris l'ensemble du processus. Elle montre l'utilité d'avoir caractérisé le ressort par sa constante \(k\) : on peut maintenant l'utiliser comme un outil de prédiction.
Normes
Application de la loi de Hooke et du principe de la statique.
Formule(s)
Formule du nouveau poids
Formule du nouvel allongement
Formule de la nouvelle longueur finale
Hypothèses
On suppose que la nouvelle masse de 1,5 kg ne déforme pas le ressort au-delà de sa limite d'élasticité.
Donnée(s)
- Nouvelle masse, \(m' = 1,5 \text{ kg}\)
- Constante de raideur, \(k \approx 100,1 \text{ N/m}\)
- Longueur à vide, \(L_0 = 0,100 \text{ m}\)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9,81 \text{ N/kg}\)
Astuces
La nouvelle masse (1500 g) est trois fois plus grande que la masse initiale (500 g). On peut donc s'attendre à un allongement trois fois plus grand : \(3 \times 4,9 \text{ cm} = 14,7 \text{ cm}\). C'est une excellente façon de vérifier le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nouveau poids \(P'\)
Étape 2 : Calcul du nouvel allongement \(\Delta L'\)
Étape 3 : Calcul de la nouvelle longueur finale \(L_f'\)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Comme prévu par la proportionnalité, tripler la masse a triplé l'allongement (de 4,9 cm à 14,7 cm). La longueur finale est donc significativement plus grande.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'ajouter l'allongement calculé à la longueur à vide \(L_0\) pour trouver la longueur finale. L'allongement n'est pas la longueur finale.
Points à retenir
- La constante de raideur \(k\) permet de prédire l'allongement d'un ressort pour n'importe quelle force (dans sa limite d'élasticité).
- La relation entre la force et l'allongement est linéaire.
Le saviez-vous ?
Les dynamomètres, les instruments utilisés pour mesurer les forces, sont essentiellement des ressorts calibrés. En lisant l'allongement du ressort interne sur une échelle graduée, on lit directement la valeur de la force appliquée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec ce même ressort (\(k \approx 100\) N/m, \(L_0 = 10\) cm), quelle masse faudrait-il suspendre pour obtenir une longueur finale de 20 cm ?
Outil Interactif : Simulateur d'élasticité
Utilisez les curseurs pour faire varier la masse suspendue et la raideur du ressort. Observez comment l'allongement et la force de rappel sont affectés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La constante de raideur \(k\) d'un ressort s'exprime en :
2. Si on double la masse accrochée à un ressort, son allongement :
3. À l'équilibre, la force de tension du ressort est :
4. L'énergie potentielle élastique est proportionnelle :
5. Un ressort "dur" a une constante de raideur \(k\) :
- Constante de raideur (k)
- Propriété d'un ressort qui mesure sa résistance à la déformation. Plus k est grande, plus le ressort est "raide". S'exprime en N/m.
- Loi de Hooke
- Loi physique qui énonce que la force de rappel d'un ressort est proportionnelle à son allongement (\(T = k \times \Delta L\)).
- Équilibre statique
- État d'un système où il est immobile car la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle.
- Énergie potentielle élastique
- Énergie stockée dans un corps élastique déformé, comme un ressort étiré ou comprimé.
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