Interaction entre deux patineurs sur glace

Contexte : La conservation de la quantité de mouvementUn principe fondamental de la physique qui stipule que la quantité de mouvement totale d'un système isolé reste constante au cours du temps..

Cet exercice explore l'un des principes les plus importants de la mécanique : la conservation de la quantité de mouvement. Nous allons l'appliquer à une situation concrète et facile à visualiser : deux patineurs sur une surface de glace sans frottement. L'un des patineurs, initialement au repos, est poussé par un autre. En analysant leur mouvement après l'interaction, nous pourrons vérifier ce principe fondamental.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à définir un système, à appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement pour déterminer la vitesse d'un objet après une interaction, et à comprendre la relation inverse entre la masse et la vitesse dans un tel système.

Objectifs Pédagogiques

Définir un système physique et justifier son isolation.
Calculer la quantité de mouvement d'un objet.
Appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement à une situation de poussée.
Déterminer la vitesse d'un des corps après l'interaction.

Données de l'étude

Deux patineurs, A et B, se tiennent immobiles l'un en face de l'autre sur une patinoire horizontale. On négligera les frottements de l'air et de la glace. Le patineur A pousse le patineur B. Après la poussée, le patineur A recule avec une certaine vitesse.

Schéma de la situation

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(m_A\)	Masse du patineur A	80	kg
\(m_B\)	Masse du patineur B	60	kg
\(v'_B\)	Vitesse du patineur B après la poussée	4	m/s

Questions à traiter

Définir le système à étudier. Est-il isolé ? Justifier.
Calculer la quantité de mouvement totale du système avant l'interaction.
En appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement, déterminer la vitesse \(v'_A\) du patineur A après la poussée.
Commenter le signe de la vitesse \(v'_A\) obtenue. Est-ce cohérent avec la situation ?

Les bases sur la Quantité de Mouvement

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux concepts clés de la mécanique.

1. La Quantité de Mouvement (\(\vec{p}\))
La quantité de mouvement d'un objet est une mesure de sa "quantité de mouvement". C'est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu'elle a une direction et un sens, tout comme la vitesse. Elle se calcule en multipliant la masse de l'objet par son vecteur vitesse. \[ \vec{p} = m \cdot \vec{v} \] Où \(m\) est la masse en \(\text{kg}\), \(\vec{v}\) la vitesse en \(\text{m/s}\), et \(\vec{p}\) la quantité de mouvement en \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\).

2. La Conservation de la Quantité de Mouvement
Pour un système isolé (un système qui n'est soumis à aucune force extérieure nette, ou dont les forces extérieures se compensent), la quantité de mouvement totale du système reste constante. Autrement dit, la quantité de mouvement totale avant une interaction est égale à la quantité de mouvement totale après l'interaction. \[ \sum \vec{p}_{\text{avant}} = \sum \vec{p}_{\text{après}} \]

Correction : Interaction entre deux patineurs sur glace

Question 1 : Définir le système à étudier. Est-il isolé ? Justifier.

Principe

Pour appliquer les lois de la physique, il est crucial de bien définir l'ensemble des objets que l'on étudie. C'est ce qu'on appelle le "système". Ensuite, on doit vérifier si ce système interagit avec l'extérieur ou s'il est "isolé", car les lois à appliquer ne sont pas les mêmes.

Mini-Cours

Un système est dit isolé (ou pseudo-isolé) si la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle. Dans ce cas, sa quantité de mouvement totale se conserve. Les forces internes au système (comme la poussée d'un patineur sur l'autre) ne changent pas la quantité de mouvement globale du système.

Remarque Pédagogique

Pensez à bien définir les frontières de votre système. Choisir {Patineur A + Patineur B} est astucieux car la force de poussée, qui est compliquée, devient une force interne et n'a plus besoin d'être considérée dans le bilan global.

Normes

Ce principe ne dépend pas d'une norme de construction mais est une loi fondamentale de la physique, découlant de la deuxième loi de Newton.

Formule(s)

\text{Condition d'un système isolé : } \sum \vec{F}_{\text{extérieures}} = \vec{0}

Hypothèses

Le cadre de l'exercice nous impose des hypothèses simplificatrices.

Les frottements de l'air sont négligés.
Les frottements de la glace sur les patins sont négligés.
Le mouvement se fait sur un plan parfaitement horizontal.

Donnée(s)

L'énoncé précise explicitement que "On négligera les frottements de l'air et de la glace."

Astuces

Quand une interaction est brève et intense (choc, poussée, explosion), on peut souvent considérer le système comme isolé pendant la durée de l'interaction, même s'il y a de faibles frottements, car les forces internes sont beaucoup plus grandes que les forces extérieures.

Schéma (Avant les calculs)

Représentons les forces extérieures s'appliquant sur le système {A+B}.

Bilan des forces extérieures

Calcul(s)

Le "calcul" ici est un bilan de forces. Le système {Patineur A + Patineur B} est soumis à deux forces extérieures : son poids total \(\vec{P}_{A+B} = \vec{P}_A + \vec{P}_B\) (vertical vers le bas) et la réaction totale de la glace \(\vec{R}_{A+B} = \vec{R}_A + \vec{R}_B\) (verticale vers le haut). Comme le mouvement est horizontal, ces forces verticales se compensent parfaitement. La somme vectorielle des forces extérieures est donc nulle.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma suivant confirme le bilan des forces : les forces extérieures verticales se compensent, et il n'y a pas de forces horizontales. La somme des forces extérieures est donc bien nulle.

Conclusion du Bilan des Forces

Réflexions

Puisque la somme des forces extérieures est nulle, le système est bien isolé (ou plus précisément, pseudo-isolé). Le principe de conservation de la quantité de mouvement peut donc s'appliquer à ce système. La force de poussée de A sur B et celle de B sur A sont des forces internes et n'affectent pas la quantité de mouvement globale.

Points de vigilance

Ne pas confondre forces internes (poussée de A sur B) et forces externes (poids, réaction de la glace). Seules les forces externes importent pour définir si un système est isolé.

Points à retenir

Système : {Patineur A + Patineur B}.
Isolation : Oui, car les forces extérieures (poids et réaction du support) se compensent.

Le saviez-vous ?

Le concept de "quantité de mouvement" a été introduit par le philosophe français Jean Buridan au XIVe siècle sous le nom d'impetus, bien avant qu'Isaac Newton ne le formalise dans ses lois du mouvement !

FAQ

Résultat Final

Le système {Patineur A + Patineur B} peut être considéré comme isolé car les forces extérieures se compensent.

A vous de jouer

Si un coup de vent applique une force horizontale constante sur les patineurs, le système est-il toujours isolé ?

Question 2 : Calculer la quantité de mouvement totale du système avant l'interaction.

Principe

On calcule la quantité de mouvement totale du système avant que l'interaction ne se produise. Cette valeur initiale est fondamentale car, par conservation, elle sera la même après l'interaction.

Mini-Cours

La quantité de mouvement totale d'un système est la somme vectorielle des quantités de mouvement de chacun de ses composants. Si un objet est au repos, sa vitesse est nulle, et donc sa quantité de mouvement est nulle également.

Remarque Pédagogique

Cette question peut sembler simple, mais elle est cruciale. C'est le point de départ de tout le raisonnement. Une erreur ici rendrait tous les calculs suivants incorrects.

Normes

Aucune norme spécifique n'est applicable ici.

Formule(s)

\vec{p}_{\text{totale, avant}} = \vec{p}_{A, \text{avant}} + \vec{p}_{B, \text{avant}} = m_A \vec{v}_A + m_B \vec{v}_B

Hypothèses

L'énoncé stipule que les patineurs sont "immobiles" avant l'interaction.

Donnée(s)

Ce sont les conditions initiales du problème.

Vitesse initiale de A, \(v_A = 0 \ \text{m/s}\)
Vitesse initiale de B, \(v_B = 0 \ \text{m/s}\)

Astuces

Pour tout système initialement au repos, la quantité de mouvement totale est toujours nulle. C'est un cas de figure très courant dans les exercices.

Schéma (Avant les calculs)

Situation Initiale

Calcul(s)

Puisque les vitesses initiales sont nulles, les quantités de mouvement individuelles le sont aussi.

\begin{aligned} \vec{p}_{\text{totale, avant}} &= \vec{p}_{A, \text{avant}} + \vec{p}_{B, \text{avant}} \\ &= (m_A \cdot \vec{v}_A) + (m_B \cdot \vec{v}_B) \\ &= (80 \ \text{kg} \cdot \vec{0}) + (60 \ \text{kg} \cdot \vec{0}) \\ &= \vec{0} \ \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste inchangé car aucun mouvement n'a encore eu lieu.

Situation Initiale Inchangée

Réflexions

Une quantité de mouvement totale nulle signifie que le centre de masse du système est immobile et le restera même après la poussée, car le système est isolé.

Points de vigilance

Ne pas oublier l'unité de la quantité de mouvement, le kilogramme-mètre par seconde (\(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)).

Points à retenir

La quantité de mouvement d'un objet immobile est toujours nulle. La quantité de mouvement totale d'un système d'objets immobiles est donc toujours nulle.

Le saviez-vous ?

En astronautique, le principe de conservation de la quantité de mouvement est utilisé pour les manœuvres orbitales. En éjectant du gaz à haute vitesse dans une direction, la fusée gagne une quantité de mouvement égale et opposée, ce qui modifie sa trajectoire.

FAQ

Résultat Final

La quantité de mouvement totale du système avant l'interaction est nulle (\(\vec{p}_{\text{totale, avant}} = \vec{0} \ \text{kg} \cdot \text{m/s}\)).

A vous de jouer

Si le patineur A (80 kg) avançait à 2 m/s et le patineur B (60 kg) était immobile, quelle serait la quantité de mouvement initiale du système ?

Question 3 : Déterminer la vitesse \(v'_A\) du patineur A après la poussée.

Principe

Le système étant isolé (Question 1) et sa quantité de mouvement initiale étant nulle (Question 2), on en déduit que sa quantité de mouvement finale doit aussi être nulle. Cette condition va nous permettre de trouver la vitesse inconnue.

Mini-Cours

La loi de conservation se traduit par l'équation \(\sum \vec{p}_{\text{avant}} = \sum \vec{p}_{\text{après}}\). Pour la résoudre, on projette cette équation vectorielle sur un axe de coordonnée. Le choix de l'axe est arbitraire, mais il est judicieux de l'aligner avec le mouvement pour simplifier les calculs.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape clé de l'exercice. On applique la loi physique principale pour résoudre le problème. Soyez méthodique : écrivez l'équation vectorielle, choisissez un axe, projetez l'équation, puis isolez l'inconnue avant de faire l'application numérique.

Normes

Aucune norme spécifique n'est applicable ici.

Formule(s)

L'équation de conservation :

\vec{p}_{\text{totale, avant}} = \vec{p}_{\text{totale, après}} \Rightarrow \vec{0} = m_A \vec{v'}_A + m_B \vec{v'}_B

Après projection sur un axe horizontal (Ox) orienté dans la direction du mouvement de B :

0 = m_A v'_{A,x} + m_B v'_{B,x}

Hypothèses

On suppose que le mouvement après la poussée est une translation rectiligne le long de l'axe horizontal.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé.

Masse de A, \(m_A = 80 \ \text{kg}\)
Masse de B, \(m_B = 60 \ \text{kg}\)
Vitesse de B après, \(v'_{B,x} = +4 \ \text{m/s}\) (positive car dans le sens de l'axe Ox)

Astuces

Avant tout calcul, on peut anticiper que le patineur A va reculer. Sa vitesse devrait donc être négative. Si le calcul donne un résultat positif, c'est qu'il y a probablement une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Situation Finale à Analyser

Calcul(s)

On part de l'équation de conservation projetée pour isoler l'inconnue \(v'_{A,x}\) et on procède à l'application numérique.

\begin{aligned} 0 &= m_A v'_{A,x} + m_B v'_{B,x} \\ m_A v'_{A,x} &= - m_B v'_{B,x} \\ v'_{A,x} &= - \frac{m_B}{m_A} v'_{B,x} \\ &= - \frac{60 \ \text{kg}}{80 \ \text{kg}} \times 4 \ \text{m/s} \\ &= - 0.75 \times 4 \ \text{m/s} \\ &= -3 \ \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter les vecteurs quantité de mouvement après la poussée. Ils sont égaux en norme et opposés en sens.

Vecteurs quantité de mouvement après l'interaction

Réflexions

Le résultat \(v'_{A,x} = -3 \ \text{m/s}\) est cohérent. Le signe négatif indique que A part dans le sens opposé à B. De plus, A étant plus lourd que B, il est logique que sa vitesse soit plus faible en valeur absolue (\(3 \ \text{m/s} < 4 \ \text{m/s}\)).

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le signe "-" dans la formule littérale. C'est une erreur fréquente. Il provient directement du principe de conservation appliqué à une situation de "séparation" à partir du repos.

Points à retenir

Dans une interaction où un système isolé se sépare en deux parties à partir du repos, les quantités de mouvement des deux parties sont opposées : \(\vec{p'}_1 = - \vec{p'}_2\). Le corps le plus massif acquiert la vitesse la plus faible.

Le saviez-vous ?

Le recul d'une arme à feu est un exemple parfait de ce principe. Le système {arme + balle} a une quantité de mouvement nulle avant le tir. Après, la quantité de mouvement de la balle (\(m_{\text{balle}} \vec{v}_{\text{balle}}\)) est compensée par celle de l'arme (\(m_{\text{arme}} \vec{v}_{\text{recul}}\)), ce qui explique pourquoi l'arme recule.

FAQ

Résultat Final

La vitesse du patineur A après la poussée est de -3 \(\text{m/s}\).

A vous de jouer

Si le patineur A avait une masse de 120 kg, quelle serait sa vitesse de recul ?

Question 4 : Commenter le signe de la vitesse \(v'_A\) obtenue. Est-ce cohérent avec la situation ?

Principe

Le signe d'une vitesse en physique indique sa direction par rapport à l'axe de référence que l'on a choisi. Une analyse de ce signe permet de valider la cohérence du résultat mathématique avec la réalité physique de l'expérience.

Mini-Cours

En physique, on travaille avec des grandeurs algébriques. Pour une grandeur vectorielle projetée sur un axe (comme la vitesse ici), le signe indique le sens : un signe positif signifie que le vecteur est dans le même sens que l'axe, un signe négatif signifie qu'il est dans le sens opposé.

Remarque Pédagogique

Ne vous contentez jamais d'un résultat numérique. Demandez-vous toujours ce qu'il signifie physiquement. L'interprétation est une compétence aussi importante que le calcul.

Normes

Aucune norme spécifique n'est applicable ici. Il s'agit d'une convention mathématique universelle.

Formule(s)

Pas de nouvelle formule, il s'agit d'interpréter le résultat de la question 3 : \(v'_{A,x} = -3 \ \text{m/s}\).

Hypothèses

L'interprétation dépend de notre hypothèse de départ sur l'orientation de l'axe (Ox), qui a été choisi dans le sens du mouvement de B.

Donnée(s)

Le résultat du calcul précédent est la seule donnée nécessaire : \(v'_{A,x} = -3 \ \text{m/s}\).

Astuces

Faites toujours un schéma rapide avec l'axe que vous avez choisi. Cela aide énormément à visualiser les directions et à interpréter correctement les signes.

Schéma (Avant les calculs)

On représente l'axe et les vecteurs vitesse après l'interaction.

Orientation de l'axe et des vitesses

Calcul(s)

Il n'y a pas de calcul à faire, seulement un raisonnement logique.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma confirme l'interprétation : le vecteur vitesse de A est opposé à l'axe Ox, ce qui correspond bien à un signe négatif.

Conclusion Visuelle

Réflexions

Nous avons choisi un axe (Ox) orienté dans le sens du mouvement du patineur B. Sa vitesse \(v'_B\) est donc positive (\(+4 \ \text{m/s}\)). Le calcul nous donne une vitesse \(v'_A\) négative (\(-3 \ \text{m/s}\)). Cela signifie que le vecteur vitesse \(\vec{v'}_A\) est orienté dans le sens opposé à l'axe Ox. Concrètement, le patineur A recule. Ceci est parfaitement cohérent avec le principe de l'action-réaction (3ème loi de Newton) : en poussant B vers l'avant, A subit une force de réaction égale et opposée qui le propulse vers l'arrière.

Points de vigilance

Une erreur courante est de considérer toutes les vitesses comme positives. La physique des interactions implique souvent des mouvements dans des directions opposées, qui doivent être représentés par des signes opposés.

Points à retenir

Le signe d'une grandeur projetée (vitesse, force, etc.) n'est pas une propriété intrinsèque de cette grandeur, mais dépend du choix de l'axe de projection. Il indique la direction relative à cet axe.

Le saviez-vous ?

La troisième loi de Newton ("Pour toute action, il existe une réaction égale et opposée") est en fait une autre formulation du principe de conservation de la quantité de mouvement pour un système de deux corps.

FAQ

Résultat Final

Le signe négatif de la vitesse \(v'_A\) indique que le patineur A recule, dans la direction opposée au patineur B. Le résultat est donc parfaitement cohérent.

A vous de jouer

Dans la situation de l'exercice, la quantité de mouvement du patineur A, \(p'_A\), est-elle positive ou négative ?

Outil Interactif : Simulateur de poussée

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier la masse des patineurs. Observez comment leur vitesse de recul respective change, en supposant que la vitesse du patineur B après la poussée reste constante à 4 m/s. Cela vous aidera à visualiser la relation inverse entre masse et vitesse.

Paramètres d'Entrée

Masse du patineur A (kg) 80 kg

Masse du patineur B (kg) 60 kg

Résultats Clés

Vitesse de A, v'_A (m/s) -3.00

Quantité de mouvement de A (kg.m/s) -240.00

Quantité de mouvement de B (kg.m/s) 240.00

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si les deux patineurs s'éloignent l'un de l'autre, la quantité de mouvement totale du système {A+B} est :

Positive
Nulle
Négative

2. Si on augmente la masse du patineur A, sa vitesse de recul va (en valeur absolue) :

Augmenter
Rester la même
Diminuer

3. L'unité de la quantité de mouvement est :

kg.m/s
kg.m/s²
N/kg

Système isolé: Un ensemble d'objets qui n'est soumis à aucune force extérieure nette. Sa quantité de mouvement totale est constante.
Quantité de mouvement: Produit de la masse d'un objet par sa vitesse (\(p=mv\)). C'est une mesure de l'inertie en mouvement d'un corps.
Vecteur: Outil mathématique qui possède une magnitude (une valeur), une direction et un sens. La vitesse et la quantité de mouvement sont des grandeurs vectorielles.