Calcul de k dans un ressort
Contexte : L'élasticité des matériaux.
Des suspensions de votre voiture au petit mécanisme de votre stylo, les ressorts sont partout. Leur capacité à se déformer puis à revenir à leur forme initiale, l'élasticité, est une propriété fondamentale en physique et en ingénierie. Le scientifique anglais Robert Hooke fut l'un des premiers à étudier ce phénomène au XVIIe siècle et à formuler une loi simple mais puissante pour le décrire. Cet exercice vous propose de redécouvrir cette loi à travers une expérience simple : la mesure de l'allongementDifférence entre la longueur du ressort étiré et sa longueur à vide. C'est la déformation subie par le ressort. Symbole : ΔL. d'un ressort en fonction de la masse qu'on y suspend.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la démarche scientifique. À partir de mesures expérimentales (masse, longueur), nous allons effectuer des calculs (poids, allongement), visualiser les données sur un graphique, modéliser la relation par une droite et enfin, extraire une caractéristique intrinsèque du ressort : sa constante de raideurNotée 'k', elle représente la "dureté" du ressort. Un ressort avec un k élevé est difficile à étirer. Unité : Newton par mètre (N/m)..
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la Loi de HookeRelation de proportionnalité entre la force appliquée à un ressort et son allongement : F = k * ΔL. Valable dans la limite d'élasticité..
- Distinguer la masse (en kg) et le poids (en N).
- Déterminer graphiquement une constante de raideur \( k \).
- Utiliser un modèle physique pour faire des prédictions.
Données de l'étude
Schéma de l'expérience
Simulation 3D interactive du ressort
Cliquez et faites glisser pour faire pivoter la vue. Le ressort s'étire et oscille en fonction des paramètres de la simulation interactive ci-dessous.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur à vide du ressort | \(L_0\) | 15.0 | \(\text{cm}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{N/kg}\) |
| Tableau des mesures | |||
| \(\text{Masse suspendue } (m)\) | 50 g | 100 g | 150 g | 200 g | 250 g | ||
| \(\text{Longueur totale } (L)\) | 17.5 cm | 20.0 cm | 22.5 cm | 25.0 cm | 27.5 cm | ||
Questions à traiter
- Pour chaque masse, calculer l'allongement \( \Delta L \) du ressort en mètres.
- Pour chaque masse, calculer la valeur du poids \( P \) (la force de traction exercée sur le ressort).
- Tracer le graphique représentant le poids \( P \) (en ordonnée) en fonction de l'allongement \( \Delta L \) (en abscisse).
- À partir du graphique, déterminer la constante de raideur \( k \) du ressort.
Les bases de la mécanique : Force et Déformation
Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de physique.
1. Masse et Poids :
Il est crucial de ne pas les confondre :
- La masse (\(m\)) est une mesure de la quantité de matière d'un objet. Son unité est le kilogramme (kg).
- Le poids (\(P\)) est la force exercée par la gravité sur cet objet. Son unité est le Newton (N). La relation est : \( P = m \cdot g \).
2. La Loi de Hooke :
Cette loi décrit le comportement des corps élastiques. Elle stipule que la force de rappel (\(F\)) exercée par un ressort est proportionnelle à son allongement (\(\Delta L\)).
\[ F = k \cdot \Delta L \]
Où \(k\) est la constante de raideur du ressort en N/m.
3. Modélisation Graphique :
La relation \( F = k \cdot \Delta L \) est une fonction linéaire de la forme \( y = a \cdot x \), où \(y=F\), \(x=\Delta L\) et \(a=k\). Cela signifie que la représentation graphique de \(F\) en fonction de \(\Delta L\) est une droite passant par l'origine, dont le coefficient directeur (la pente) est égal à \(k\).
Correction : Calcul de k dans un ressort
Question 1 : Calculer l'allongement ΔL
Principe (le concept physique)
L'allongement est la déformation réelle du ressort. Ce n'est pas sa longueur totale, mais la différence entre sa longueur lorsqu'il est étiré et sa longueur initiale au repos. C'est cette déformation qui est directement liée à la force appliquée.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La déformation est une grandeur relative. En physique des matériaux, on parle souvent d' "allongement relatif" (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)), qui est un nombre sans dimension. Pour la loi de Hooke, on utilise l'allongement absolu \(\Delta L\), qui a la dimension d'une longueur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Prenez l'habitude de toujours commencer par identifier la grandeur "utile" pour le calcul. Ici, ce n'est pas la longueur totale \(L\) qui compte, mais bien sa variation \(\Delta L\). C'est une étape clé pour bien poser le problème.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la variation d'une grandeur (\(\Delta X = X_{\text{final}} - X_{\text{initial}}\)) est un principe de base en physique, utilisé pour la vitesse, l'énergie, la température, etc. Il n'est pas régi par une norme mais par la définition même de la variation.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'allongement \( \Delta L \) se calcule par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la longueur à vide \(L_0\) est mesurée précisément et ne change pas au cours de l'expérience (le ressort n'est pas endommagé).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Longueur à vide, \(L_0 = 15.0 \, \text{cm}\)
- Longueurs mesurées \(L\): 17.5 cm, 20.0 cm, 22.5 cm, 25.0 cm, 27.5 cm
Astuces(Pour aller plus vite)
La loi de Hooke utilise des unités du Système International (mètres, Newtons, kg). Il est indispensable de convertir toutes les longueurs en mètres dès le début pour éviter les erreurs de calcul. Pour passer des cm aux m, on divise par 100.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'allongement
Calcul(s) (l'application numérique)
| \(\text{Masse (g)}\) | \(L \text{ (cm)}\) | \(L \text{ (m)}\) | \(\text{Calcul de } \Delta L \text{ (m)}\) | \(\text{Résultat } \Delta L \text{ (m)}\) |
|---|---|---|---|---|
| 50 | 17.5 | 0.175 | \(0.175 - 0.150\) | 0.025 |
| 100 | 20.0 | 0.200 | \(0.200 - 0.150\) | 0.050 |
| 150 | 22.5 | 0.225 | \(0.225 - 0.150\) | 0.075 |
| 200 | 25.0 | 0.250 | \(0.250 - 0.150\) | 0.100 |
| 250 | 27.5 | 0.275 | \(0.275 - 0.150\) | 0.125 |
Schéma (Après les calculs)
Allongement pour m=100g
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On observe que l'allongement augmente à chaque fois qu'on ajoute une masse. De plus, il semble augmenter de manière régulière : pour chaque ajout de 50g, l'allongement augmente de 0.025 m. Cela suggère une relation de proportionnalité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est d'utiliser la longueur totale \(L\) dans les calculs au lieu de l'allongement \( \Delta L \). La loi de Hooke ne s'applique qu'à la déformation du ressort, pas à sa longueur absolue.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'allongement \( \Delta L \) est la variation de longueur, pas la longueur totale.
- Toujours travailler avec les unités du Système International (mètres).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Certains matériaux, comme le caoutchouc, ont un comportement "hyperélastique". Leur courbe force-allongement n'est pas une droite, ce qui rend leur modélisation beaucoup plus complexe que la simple loi de Hooke.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si une masse inconnue allonge le ressort jusqu'à une longueur totale de 21.0 cm, quel est l'allongement \(\Delta L\) en mètres ?
Question 2 : Calculer le poids P
Principe (le concept physique)
La force qui étire le ressort est le poids de la masse suspendue. Le poids est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet. Il est directement proportionnel à la masse de l'objet.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le poids est un vecteur, toujours dirigé verticalement vers le centre de la Terre. Dans cet exercice, on s'intéresse à sa norme (sa valeur), car c'est elle qui est égale à la tension du ressort à l'équilibre. La constante \(g\) (intensité de la pesanteur) varie légèrement selon le lieu sur Terre (elle est plus faible à l'équateur qu'aux pôles), mais on utilise une valeur moyenne pour les exercices.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La distinction masse/poids est fondamentale en physique. Imaginez un astronaute sur la Lune : sa masse est la même que sur Terre, mais son poids est six fois plus faible. Le ressort s'allongerait donc six fois moins pour la même masse !
Normes (la référence réglementaire)
La relation \(P=m \cdot g\) est une application de la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)) dans le cas particulier de la force gravitationnelle près de la surface de la Terre, où l'accélération est \(g\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le poids \(P\) se calcule avec la formule :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le poids du ressort lui-même est négligeable par rapport au poids des masses suspendues. Dans un cas de haute précision, il faudrait en tenir compte.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{N/kg}\)
- Masses \(m\): 50 g, 100 g, 150 g, 200 g, 250 g
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour convertir rapidement les grammes en kilogrammes, il suffit de décaler la virgule de trois rangs vers la gauche. Exemple : 50 g devient 0.050 kg.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces à l'équilibre
Calcul(s) (l'application numérique)
| \(\text{Masse (g)}\) | \(\text{Masse (kg)}\) | \(\text{Calcul du Poids } P \text{ (N)}\) | \(\text{Résultat } P \text{ (N)}\) |
|---|---|---|---|
| 50 | 0.050 | \(0.050 \cdot 9.81\) | 0.49 |
| 100 | 0.100 | \(0.100 \cdot 9.81\) | 0.98 |
| 150 | 0.150 | \(0.150 \cdot 9.81\) | 1.47 |
| 200 | 0.200 | \(0.200 \cdot 9.81\) | 1.96 |
| 250 | 0.250 | \(0.250 \cdot 9.81\) | 2.45 |
Schéma (Après les calculs)
Équilibre pour m=100g
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les valeurs de poids calculées sont les forces qui provoquent les allongements mesurés. À l'équilibre, la force de tension du ressort vers le haut est exactement égale et opposée au poids de la masse vers le bas.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les masses de grammes (g) en kilogrammes (kg) avant de calculer le poids. La formule \(P=m \cdot g\) n'est correcte que si \(m\) est en kg.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le poids est une force, exprimée en Newtons (N).
- La masse doit être en kilogrammes (kg) pour le calcul du poids.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le kilogramme est la seule unité de base du Système International qui contient encore un préfixe ("kilo"). Des discussions sont en cours depuis des années pour renommer le gramme comme unité de base, mais aucun consensus n'a été trouvé.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le poids, en N, d'une masse de 800 g ?
Question 3 : Tracer le graphique P = f(ΔL)
Principe (le concept physique)
La représentation graphique permet de visualiser la relation entre deux grandeurs physiques. Ici, en plaçant le poids \(P\) en ordonnée (axe vertical) et l'allongement \( \Delta L \) en abscisse (axe horizontal), nous allons vérifier si les points de mesure s'alignent, ce qui confirmerait la relation de proportionnalité prédite par la loi de Hooke.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette démarche s'appelle la modélisation. On compare des données expérimentales (les points) à un modèle théorique (la droite de la loi de Hooke). Si les points sont bien alignés sur la droite, on peut dire que le modèle décrit correctement l'expérience. L'écart entre les points et la droite représente les "incertitudes de mesure".
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Savoir tracer et interpréter un graphique est une compétence essentielle en sciences. Assurez-vous de bien nommer les axes, de préciser les unités et de choisir une échelle adaptée pour que le graphique occupe tout l'espace disponible.
Normes (la référence réglementaire)
Les conventions de représentation graphique (variable indépendante en abscisse, variable dépendante en ordonnée) sont une norme universelle en sciences pour faciliter la lecture et la comparaison des résultats entre différentes expériences.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il n'y a pas de formule de calcul ici, l'objectif est de placer les points de coordonnées \((\Delta L, P)\) dans un repère orthonormé.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les erreurs de mesure sur les longueurs et les masses sont suffisamment faibles pour ne pas disperser excessivement les points autour de la droite théorique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les couples de valeurs (ΔL ; P) calculés dans les questions 1 et 2.
| \(\Delta L \text{ (m) (Abscisse x)}\) | \(P \text{ (N) (Ordonnée y)}\) |
|---|---|
| 0.025 | 0.49 |
| 0.050 | 0.98 |
| 0.075 | 1.47 |
| 0.100 | 1.96 |
| 0.125 | 2.45 |
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de tracer, regardez les valeurs maximales de vos données (\(\Delta L_{\text{max}}=0.125\) m, \(P_{\text{max}}=2.45\) N) pour choisir les bonnes échelles sur vos axes. Prenez une marge pour que le graphique soit lisible (par ex: graduer jusqu'à 0.14 m et 2.5 N).
Schéma (Avant les calculs)
Repère vierge pour le graphique
Calcul(s) (l'application numérique)
Cette étape consiste à placer les points sur le graphique et à tracer la droite de tendance qui passe au mieux par ces points et par l'origine.
Schéma (Après les calculs)
Graphique du Poids en fonction de l'Allongement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le graphique montre que les points expérimentaux sont quasiment parfaitement alignés sur une droite qui passe par l'origine (0;0). Cette observation visuelle confirme que le poids \(P\) est bien proportionnel à l'allongement \( \Delta L \), validant ainsi la loi de Hooke pour ce ressort dans la plage de mesures effectuée.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas inverser les axes ! La consigne demande P en fonction de ΔL, donc P est en ordonnée (y) et ΔL en abscisse (x). Inverser les axes donnerait une pente qui correspond à \(1/k\), une erreur d'interprétation fréquente.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Un graphique est un outil de visualisation et de validation d'un modèle.
- Pour la loi de Hooke, on trace P (ordonnée) en fonction de ΔL (abscisse).
- Les points doivent être alignés sur une droite passant par l'origine.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En analyse de données, la méthode mathématique pour trouver la "meilleure" droite s'appelle la "régression linéaire par la méthode des moindres carrés". Elle minimise la somme des carrés des distances verticales entre chaque point et la droite.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sur le graphique, si on cherche l'allongement pour un poids de 1.2 N, on lirait une valeur d'environ :
Question 4 : Déterminer la constante de raideur k
Principe (le concept physique)
Comme la relation \(P = k \cdot \Delta L\) correspond à l'équation d'une droite \(y = a \cdot x\), la constante de raideur \(k\) n'est autre que le coefficient directeur (la pente) de la droite que nous venons de tracer. Il suffit donc de calculer cette pente pour trouver la valeur de \(k\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La constante de raideur \(k\) est une propriété intensive du ressort, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de son allongement mais de sa fabrication (matériau, diamètre du fil, nombre de spires, etc.). Le calcul de la pente du graphique permet de trouver cette propriété intrinsèque à partir de mesures externes.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul de la pente est une étape cruciale. Pour minimiser les erreurs de lecture graphique, il est toujours préférable de choisir deux points sur la droite de modélisation qui sont aussi éloignés que possible l'un de l'autre.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul du coefficient directeur d'une fonction linéaire est un outil mathématique standard. En physique, il permet d'identifier la constante de proportionnalité entre deux grandeurs, un concept central dans de nombreuses lois (loi d'Ohm U=RI, loi de la pression P=ρgh, etc.).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La pente d'une droite se calcule en choisissant deux points (A et B) sur cette droite et en appliquant la formule :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la droite de modélisation tracée à la question 3 représente fidèlement le comportement moyen du ressort.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On choisit deux points sur la droite de modélisation. Utiliser des points de mesure est possible s'ils sont exactement sur la droite. Le plus simple est de prendre l'origine et le dernier point.
- Point A (origine) : \((\Delta L_A; P_A) = (0 \, \text{m}; 0 \, \text{N})\)
- Point B (dernier point de mesure) : \((\Delta L_B; P_B) = (0.125 \, \text{m}; 2.45 \, \text{N})\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque la droite passe par l'origine (0,0), le calcul de la pente se simplifie. Il suffit de prendre n'importe quel point \((\Delta L, P)\) sur la droite et de calculer le rapport \(k = P / \Delta L\). Utiliser le dernier point, qui a les plus grandes valeurs, réduit l'impact des erreurs de lecture.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la pente
Calcul(s) (l'application numérique)
Appliquons la formule de la pente :
Schéma (Après les calculs)
Pente calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur de k = 19.6 N/m signifie que pour étirer ce ressort de 1 mètre, il faudrait appliquer une force de 19.6 Newtons (soit environ le poids d'une masse de 2 kg). C'est une caractéristique propre à ce ressort, qui peut maintenant être utilisée pour prédire son comportement avec d'autres masses.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que les unités utilisées pour le calcul de la pente sont bien des Newtons et des mètres. Si vous calculez la pente avec des grammes et des centimètres, le résultat ne sera pas une constante de raideur en N/m et sera physiquement incorrect.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La constante de raideur \(k\) est la pente de la droite P = f(ΔL).
- Elle représente la "dureté" du ressort.
- Son unité est le Newton par mètre (N/m).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les dynamomètres, les instruments utilisés pour mesurer les forces, sont basés sur ce principe. Ils contiennent un ressort calibré (dont le 'k' est connu très précisément). En mesurant l'allongement, une échelle graduée donne directement la valeur de la force en Newtons.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec ce ressort (\(k=19.6 \, \text{N/m}\)), quelle masse en grammes faudrait-il suspendre pour obtenir un allongement de 15 cm (0.15 m) ?
Outil Interactif : Simulation d'un Ressort
Modifiez la masse suspendue et la raideur du ressort pour voir leur influence sur l'allongement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
Robert Hooke était un scientifique extraordinairement polyvalent, mais il est aussi connu pour sa grande rivalité avec Isaac Newton. Craignant que Newton ne lui vole ses idées sur la gravitation, Hooke a d'abord publié sa loi sur les ressorts sous la forme d'une anagramme latine : "ceiiinosssttuv". Il n'a révélé la solution, "Ut tensio, sic vis" ("Telle est la tension, telle est la force"), que des années plus tard.
Foire Aux Questions (FAQ)
La constante de raideur k est-elle toujours constante ?
Non. La loi de Hooke est une excellente approximation, mais si vous étirez trop un ressort, vous dépassez sa "limite d'élasticité". Il se déforme alors de façon permanente (il ne revient plus à sa longueur initiale) et la relation linéaire n'est plus valable. La constante k n'est donc constante que pour des déformations raisonnables.
Que signifie une valeur de k très élevée ou très faible ?
Une valeur de k élevée (ex: 20 000 N/m) correspond à un ressort très rigide, comme un amortisseur de voiture. Il faut une force énorme pour le comprimer ou l'étirer. Une valeur de k faible (ex: 5 N/m) correspond à un ressort très souple, comme un "slinky" ou le ressort d'un stylo, qui s'étire facilement.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la masse suspendue à un ressort idéal, son allongement ΔL...
2. L'unité de la constante de raideur (k) dans le Système International est :
- Loi de Hooke
- Principe physique selon lequel la force requise pour étirer ou comprimer un ressort est directement proportionnelle à la distance de cet allongement ou de cette compression.
- Constante de raideur (k)
- Propriété d'un corps élastique qui mesure sa résistance à la déformation. Elle correspond au coefficient de proportionnalité de la loi de Hooke. Unité : N/m.
- Allongement (ΔL)
- Variation de la longueur d'un ressort par rapport à sa longueur au repos (à vide). C'est la mesure de sa déformation.
- Limite d'élasticité
- Contrainte maximale qu'un matériau peut subir avant de commencer à se déformer de manière permanente. Au-delà de cette limite, la loi de Hooke n'est plus applicable.
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