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Exercices Physique Chimie

Compression Adiabatique et Ses Effets

Compression Adiabatique et Ses Effets

Compression Adiabatique et Ses Effets

Analyser les variations de pression, de température et le travail lors de la compression adiabatique d'un gaz parfait.

Une transformation adiabatique est un processus thermodynamique au cours duquel il n'y a aucun échange de chaleur entre le système et son environnement (\(Q = 0\)). Lorsqu'un gaz est comprimé adiabatiquement, le travail effectué sur le gaz augmente son énergie interne, ce qui se traduit par une augmentation de sa température.

Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible, les relations suivantes (lois de Laplace) s'appliquent :

  • \(P V^\gamma = \text{constante}\)
  • \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\)
  • \(T P^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{constante}\)

Où \(P\) est la pression, \(V\) le volume, \(T\) la température absolue, et \(\gamma\) (gamma) est l'indice adiabatique (ou coefficient de Laplace), défini comme le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante et à volume constant (\(\gamma = C_{p,m}/C_{v,m}\)).

Le travail \(W\) reçu par le gaz lors d'une transformation adiabatique est donné par :

\[ W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} = n C_{v,m} (T_2 - T_1) \]

D'après le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est : \(\Delta U = W + Q\). Pour une transformation adiabatique, \(Q=0\), donc \(\Delta U = W\).

Données du Problème

On comprime adiabatiquement et de manière réversible un volume \(V_1 = 5.0 \text{ L}\) d'air, initialement à une pression \(P_1 = 100 \text{ kPa}\) et à une température \(T_1 = 20^\circ\text{C}\).

Le volume final après compression est \(V_2 = 1.0 \text{ L}\).

L'air est considéré comme un gaz parfait diatomique, pour lequel l'indice adiabatique \(\gamma = 1.4\).

Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Pour un gaz parfait diatomique, la capacité thermique molaire à volume constant est \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\).

État initial (P1, V1, T1) W État final (P2, V2, T2) Compression Adiabatique d'un Gaz
Schéma d'une compression adiabatique d'un gaz dans un cylindre avec piston.

Questions

  1. Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvins (K) et les volumes \(V_1\) et \(V_2\) en mètres cubes (m\(^3\)).
  2. Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz après compression.
  3. Calculer la température finale \(T_2\) du gaz après compression, en Kelvins puis en degrés Celsius.
  4. Calculer la quantité de matière \(n\) de gaz (air) en utilisant l'équation des gaz parfaits pour l'état initial.
  5. Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz lors de cette compression adiabatique.
  6. Quelle est la variation de l'énergie interne \(\Delta U\) du gaz au cours de cette transformation ? Commenter.

Correction : Compression Adiabatique et Ses Effets

1. Conversion des Unités

Il est essentiel d'utiliser les unités du Système International (SI) pour les calculs en thermodynamique.

Données :
\(T_1 = 20^\circ\text{C}\)
\(V_1 = 5.0 \text{ L}\)
\(V_2 = 1.0 \text{ L}\)

Température :

\[ T_1(K) = T_1(^\circ C) + 273.15 = 20 + 273.15 = 293.15 \text{ K} \]

Volumes (sachant que 1 L = \(10^{-3}\) m\(^3\)) :

\[ \begin{aligned} V_1 &= 5.0 \text{ L} = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \\ V_2 &= 1.0 \text{ L} = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Pression initiale (sachant que 1 kPa = \(10^{3}\) Pa) :

\[ P_1 = 100 \text{ kPa} = 100 \times 10^3 \text{ Pa} = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa} \]

Les valeurs converties sont :

  • \(T_1 = 293.15 \text{ K}\)
  • \(V_1 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
  • \(V_2 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
  • \(P_1 = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\)
Quiz Intermédiaire

Question : Convertir 2.5 L en m³ et 50°C en Kelvin.

2. Calcul de la Pression Finale \(P_2\)

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, \(P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\).

Données :
\(P_1 = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(V_1 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(V_2 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(\gamma = 1.4\)

\[ \begin{aligned} P_2 &= P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \\ &= (1.0 \times 10^5 \text{ Pa}) \times \left(\frac{5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3}\right)^{1.4} \\ &= (1.0 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (5)^{1.4} \\ &\approx (1.0 \times 10^5 \text{ Pa}) \times 9.518... \\ &\approx 9.518 \times 10^5 \text{ Pa} \end{aligned} \]

La pression finale est \(P_2 \approx 9.52 \times 10^5 \text{ Pa}\) (ou 952 kPa).

Quiz Intermédiaire

Question : Si un gaz est comprimé adiabatiquement à la moitié de son volume initial (\(V_2 = V_1/2\)), sa pression finale \(P_2\) par rapport à sa pression initiale \(P_1\) sera (avec \(\gamma > 1\)) :

3. Calcul de la Température Finale \(T_2\)

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\).

Données :
\(T_1 = 293.15 \text{ K}\)
\(V_1 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(V_2 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(\gamma = 1.4\) (donc \(\gamma-1 = 0.4\))

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \\ &= 293.15 \text{ K} \times \left(\frac{5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3}\right)^{0.4} \\ &= 293.15 \text{ K} \times (5)^{0.4} \\ &\approx 293.15 \text{ K} \times 1.9036... \\ &\approx 558.0 \text{ K} \end{aligned} \]

Conversion en degrés Celsius :

\[ T_2(^\circ C) = T_2(K) - 273.15 = 558.0 - 273.15 \approx 284.85^\circ\text{C} \]

La température finale est \(T_2 \approx 558 \text{ K}\), soit environ \(285^\circ\text{C}\).

4. Calcul de la Quantité de Matière \(n\) de Gaz

On utilise l'équation des gaz parfaits pour l'état initial : \(P_1 V_1 = n R T_1\).

Données :
\(P_1 = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(V_1 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(T_1 = 293.15 \text{ K}\)
\(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

\[ \begin{aligned} n &= \frac{P_1 V_1}{R T_1} \\ &= \frac{(1.0 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3)}{(8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (293.15 \text{ K})} \\ &= \frac{500}{2437.13...} \\ &\approx 0.2051 \text{ mol} \end{aligned} \]

La quantité de matière de gaz est \(n \approx 0.205 \text{ mol}\).

5. Calcul du Travail \(W\) Reçu par le Gaz

Pour une transformation adiabatique, \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) ou \(W = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\). Utilisons la première formule.

Données :
\(P_1 = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(V_1 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(P_2 \approx 9.518 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(V_2 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
\(\gamma = 1.4\)

\[ \begin{aligned} W &= \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} \\ &= \frac{(9.518 \times 10^5 \text{ Pa} \times 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3) - (1.0 \times 10^5 \text{ Pa} \times 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3)}{1 - 1.4} \\ &= \frac{951.8 \text{ J} - 500 \text{ J}}{-0.4} \\ &= \frac{451.8 \text{ J}}{-0.4} \\ &\approx -1129.5 \text{ J} \end{aligned} \]

Le travail reçu par le gaz est positif car le gaz est comprimé (le milieu extérieur fournit du travail au système). Une erreur de signe s'est glissée. La formule est pour le travail fourni PAR le gaz. Le travail reçu par le gaz est \(W_{reçu} = - W_{fourni}\). Ou, plus directement, \(W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma-1}\) pour le travail reçu par le gaz.

\[ \begin{aligned} W_{reçu} &= \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} \quad \text{ou} \quad W_{reçu} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma-1} \\ &= \frac{(1.0 \times 10^5 \times 5.0 \times 10^{-3}) - (9.518 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^{-3})}{1.4 - 1} \\ &= \frac{500 - 951.8}{0.4} \\ &= \frac{-451.8}{0.4} \\ &= -1129.5 \text{ J} \end{aligned} \]

Correction : le travail reçu par le gaz lors d'une compression est positif. La formule \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) donne le travail reçu. Donc \(W = \frac{951.8 - 500}{1-1.4} = \frac{451.8}{-0.4} = -1129.5 \text{ J}\). Cela correspond au travail fourni par le gaz. Le travail reçu par le gaz est \(W_{reçu} = -(-1129.5 \text{ J}) = 1129.5 \text{ J}\).

Utilisons l'autre formule pour vérifier : \(W = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\)

\(C_{v,m} = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8.314 \text{ J/mol K} \approx 20.785 \text{ J/mol K}\)

\[ \begin{aligned} W &= n C_{v,m} (T_2 - T_1) \\ &\approx 0.2051 \text{ mol} \times 20.785 \text{ J/mol K} \times (558.0 \text{ K} - 293.15 \text{ K}) \\ &\approx 0.2051 \times 20.785 \times 264.85 \\ &\approx 4.263 \times 264.85 \\ &\approx 1129.1 \text{ J} \end{aligned} \]

Les résultats sont cohérents (la petite différence vient des arrondis).

Le travail reçu par le gaz lors de la compression est \(W \approx 1129 \text{ J}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Lors d'une compression adiabatique, si le travail \(W\) reçu par le gaz est positif, l'énergie interne du gaz :

6. Variation de l'Énergie Interne \(\Delta U\)

D'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = W + Q\). Pour une transformation adiabatique, \(Q=0\).

Données :
\(W \approx 1129 \text{ J}\)
\(Q = 0 \text{ J}\) (transformation adiabatique)

\[ \begin{aligned} \Delta U &= W + Q \\ &= W + 0 \\ &= W \\ &\approx 1129 \text{ J} \end{aligned} \]

Commentaire : Le travail reçu par le gaz est positif, ce qui signifie que le milieu extérieur a fourni de l'énergie au gaz. Comme il n'y a pas d'échange de chaleur, toute cette énergie est convertie en énergie interne. L'augmentation de l'énergie interne d'un gaz parfait se traduit par une augmentation de sa température, ce qui a été calculé à l'étape 3 (\(T_2 > T_1\)).

La variation de l'énergie interne du gaz est \(\Delta U \approx 1129 \text{ J}\). L'énergie interne du gaz a augmenté, ce qui correspond à l'augmentation de sa température.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle :

Question 2 : Lors d'une compression adiabatique d'un gaz parfait, sa température :

Question 3 : L'indice adiabatique \(\gamma\) pour un gaz parfait diatomique (comme l'air) est approximativement :

Question 4 : Selon le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé, \(\Delta U = W + Q\). Si \(W > 0\) et \(Q = 0\), alors :

Glossaire des Termes Clés

Transformation Adiabatique :

Processus thermodynamique au cours duquel aucun échange de chaleur n'a lieu entre le système et son milieu extérieur (\(Q=0\)).

Gaz Parfait :

Modèle théorique d'un gaz où les particules sont ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV=nRT\).

Indice Adiabatique (\(\gamma\)) :

Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_{p,m}\)) et à volume constant (\(C_{v,m}\)). Pour un gaz parfait diatomique, \(\gamma \approx 1.4\).

Lois de Laplace :

Relations entre P, V et T pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible (ex: \(PV^\gamma = \text{cte}\)).

Travail (\(W\)) :

Mode de transfert d'énergie résultant de l'action d'une force dont le point d'application se déplace. Par convention, \(W > 0\) si le travail est reçu par le système.

Énergie Interne (\(U\)) :

Somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle d'interaction) des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.

Premier Principe de la Thermodynamique :

Principe de conservation de l'énergie appliqué aux systèmes thermodynamiques : \(\Delta U = W + Q\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Citez des exemples concrets de compressions ou détentes adiabatiques dans la vie courante ou en technologie (ex: pompe à vélo, moteur diesel, réfrigérateur).

2. Quelle est la différence entre une transformation adiabatique réversible et une transformation adiabatique irréversible ? Les lois de Laplace s'appliquent-elles dans les deux cas ?

3. Comment la valeur de \(\gamma\) change-t-elle pour un gaz monoatomique (ex: Hélium) ou polyatomique (ex: CO\(_2\)) ? Quel impact cela a-t-il sur l'augmentation de température lors d'une compression adiabatique ?

4. Si un gaz se détend adiabatiquement (son volume augmente), comment varient sa pression et sa température ? Quel est le signe du travail reçu par le gaz ?

5. Expliquez pourquoi l'air se refroidit lorsqu'il s'élève rapidement en altitude (formation des nuages).

Compression Adiabatique et Ses Effets

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