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Exercice : Principes de Newton dans l’Espace

Principes de Newton dans l’Espace

Contexte : Le mouvement d'un satelliteUn satellite est un objet artificiel mis en orbite autour d'un corps céleste. Son mouvement est principalement régi par les lois de la gravitation et de la mécanique..

Nous étudions les lois de Newton pour décrire le mouvement des objets. Dans l'espace, loin de toute influence gravitationnelle significative (ou lorsque ces influences se compensent), ces lois s'appliquent de manière particulièrement claire. Cet exercice se concentre sur une manœuvre de maintenance d'un satellite par un astronaute.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) et le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) dans un environnement sans pesanteur, un cas d'école idéal pour comprendre ces concepts fondamentaux.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la deuxième loi de Newton (\( \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} \)) pour déterminer l'accélération.
  • Utiliser la troisième loi de Newton pour comprendre l'interaction entre deux corps.
  • Calculer une vitesse et une distance à partir d'une accélération constante.

Données de l'étude

Une astronaute, initialement au repos par rapport à un satellite de communication, doit le pousser pour l'éloigner de la station spatiale. L'astronaute et le satellite sont considérés comme des systèmes isolés dans le référentiel de la station, supposé galiléen.

Scène de la manœuvre spatiale
Astronaute Satellite Force F
Visualisation 3D de l'Interaction
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse de l'astronaute (équipement inclus) \(m_{\text{a}}\) 120 kg
Masse du satellite \(m_{\text{s}}\) 480 kg
Force constante appliquée par l'astronaute \(F\) 60 N
Durée de la poussée \(\Delta t\) 2.0 s

Questions à traiter

  1. Calculer l'accélération du satellite pendant la poussée.
  2. En vertu du principe des actions réciproques, quelle est la force exercée par le satellite sur l'astronaute ? En déduire l'accélération de l'astronaute.
  3. Calculer la vitesse du satellite et la distance qu'il a parcourue à la fin de la poussée.

Les bases sur les Lois de Newton

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux des trois lois fondamentales du mouvement énoncées par Isaac Newton.

1. Deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique)
Cette loi stipule que la somme vectorielle des forces extérieures (\( \sum \vec{F} \)) appliquées à un objet est égale au produit de la masse (\(m\)) de l'objet par son vecteur accélération (\(\vec{a}\)). Dans un référentiel galiléen, on a : \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \] Cette relation est la clé pour déterminer comment un objet accélère sous l'effet d'une force.

2. Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques)
Si un corps A exerce une force \(\vec{F}_{\text{A/B}}\) sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément sur le corps A une force \(\vec{F}_{\text{B/A}}\) de même intensité, de même direction, mais de sens opposé. \[ \vec{F}_{\text{A/B}} = - \vec{F}_{\text{B/A}} \] C'est pour cela que l'astronaute recule en poussant le satellite.

Correction : Mouvement dans l'Espace

Question 1 : Accélération du satellite

Principe

Pour trouver l'accélération du satellite, on applique la deuxième loi de Newton. Le système étudié est le satellite, et la seule force extérieure qui cause son mouvement est la poussée de l'astronaute.

Mini-Cours

La deuxième loi de Newton, ou Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), est le pilier de la mécanique classique. Elle relie la cause du mouvement (les forces) à l'effet produit (l'accélération). Une force nette non nulle appliquée à un objet provoquera toujours une accélération proportionnelle à cette force et inversement proportionnelle à la masse de l'objet.

Remarque Pédagogique

La stratégie ici est simple : 1. Isoler le système (le satellite). 2. Faire le bilan des forces extérieures (ici, juste la poussée \(\vec{F}\)). 3. Appliquer le PFD pour trouver l'inconnue (\(\vec{a}_{\text{s}}\)).

Normes

Cet exercice relève de la physique fondamentale. Aucune norme d'ingénierie (comme les Eurocodes) n'est nécessaire ici. Nous utilisons les lois universelles de la mécanique newtonienne.

Formule(s)

L'outil mathématique principal est la deuxième loi de Newton. En la projetant sur un axe orienté dans le sens de la poussée, l'équation vectorielle \(\sum \vec{F} = m_{\text{s}} \cdot \vec{a}_{\text{s}}\) devient une équation scalaire simple :

\[ F = m_{\text{s}} \cdot a_{\text{s}} \Rightarrow a_{\text{s}} = \frac{F}{m_{\text{s}}} \]
Hypothèses
  • Le référentiel lié à la station spatiale est supposé galiléen.
  • Le satellite et l'astronaute sont initialement au repos dans ce référentiel.
  • Toutes les autres forces (gravitationnelles, etc.) sont négligeables.
  • La masse du satellite reste constante pendant la poussée.
Donnée(s)
  • Force appliquée, \(F = 60 \text{ N}\)
  • Masse du satellite, \(m_{\text{s}} = 480 \text{ kg}\)
Astuces

Avant de calculer, on peut anticiper le résultat. La masse du satellite (480 kg) est bien plus grande que la force (60 N). On s'attend donc à une accélération assez faible, bien inférieure à 1 m/s².

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur le satellite
F
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} a_{\text{s}} &= \frac{60 \text{ N}}{480 \text{ kg}} \\ &= 0.125 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur accélération du satellite
a_s
Réflexions

Le résultat de 0.125 m/s² est une accélération modeste, ce qui confirme notre intuition. Cela signifie que chaque seconde, la vitesse du satellite augmente de 0.125 m/s.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier d'isoler le bon système. Ici, on étudie le satellite, donc on n'utilise que la masse du satellite. Il faut aussi s'assurer que toutes les unités sont dans le Système International (Newtons, kilogrammes, mètres, secondes).

Points à retenir
  • La deuxième loi de Newton est la relation fondamentale qui lie les forces et l'accélération.
  • Isoler correctement le système d'étude est la première étape cruciale de tout problème de mécanique.
Le saviez-vous ?

L'unité de force, le Newton (N), est une unité dérivée. Par définition, 1 Newton est la force requise pour accélérer une masse de 1 kilogramme de 1 mètre par seconde au carré (\(1 \text{ N} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m/s}^2\)).

FAQ
Pourquoi ne prend-on pas en compte le poids ?

En orbite, loin de l'attraction d'une planète, ou dans une situation d'impesanteur (chute libre), le poids est soit négligeable, soit compensé. Dans cet exercice, on suppose être dans un tel cas pour simplifier l'étude aux seules forces d'interaction.

Résultat Final
\[ a_{\text{s}} = 0.125 \text{ m/s}^2 \]
A vous de jouer

Si la masse du satellite était de 600 kg, quelle serait sa nouvelle accélération ?

Question 2 : Force sur l'astronaute et son accélération

Principe

On utilise la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques) pour déterminer la force que le satellite exerce sur l'astronaute. Puis, on applique à nouveau la deuxième loi de Newton, mais cette fois-ci au système {astronaute}.

Mini-Cours

Le principe des actions réciproques est fondamental : les forces vont toujours par paires. Une force isolée n'existe pas. La force que la Terre exerce sur vous (votre poids) a pour réciproque la force que vous exercez sur la Terre, de même valeur mais de sens opposé. C'est cette loi qui explique la propulsion : une fusée expulse des gaz vers l'arrière (action), et les gaz la propulsent vers l'avant (réaction).

Remarque Pédagogique

Attention, les deux forces d'une paire action-réaction s'appliquent sur des objets différents. \(\vec{F}_{\text{A/B}}\) s'applique sur B, et \(\vec{F}_{\text{B/A}}\) s'applique sur A. On ne les additionne donc jamais dans un même bilan de forces.

Normes

Comme pour la question 1, il s'agit de physique fondamentale et non de normes d'ingénierie.

Formule(s)

1. Principe des actions réciproques : \(\vec{F}_{\text{s/a}} = -\vec{F}\). En norme : \(F_{\text{s/a}} = F\).
2. Deuxième loi de Newton appliquée à l'astronaute :

\[ F = m_{\text{a}} \cdot a_{\text{a}} \Rightarrow a_{\text{a}} = \frac{F}{m_{\text{a}}} \]
Hypothèses
  • Les hypothèses de la question 1 restent valables.
  • Le système étudié est maintenant l'astronaute.
Donnée(s)
  • Force de réaction, \(F = 60 \text{ N}\)
  • Masse de l'astronaute, \(m_{\text{a}} = 120 \text{ kg}\)
Astuces

L'astronaute est moins massif que le satellite. Pour une même force, son accélération devrait donc être plus grande que celle du satellite. C'est un bon moyen de vérifier la cohérence du résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur l'astronaute
F_s/a
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} a_{\text{a}} &= \frac{60 \text{ N}}{120 \text{ kg}} \\ &= 0.5 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur accélération de l'astronaute
a_a
Réflexions

L'accélération de l'astronaute (0.5 m/s²) est 4 fois plus grande que celle du satellite (0.125 m/s²). C'est logique, car sa masse est 4 fois plus faible (120 kg contre 480 kg), et la force subie est la même. Le rapport des accélérations est l'inverse du rapport des masses : \(a_{\text{a}}/a_{\text{s}} = m_{\text{s}}/m_{\text{a}}\).

Points de vigilance

Ne jamais additionner les forces d'action et de réaction. Elles s'appliquent à des corps différents et ne se compensent donc pas. L'erreur serait de dire que la somme des forces sur l'ensemble {astronaute + satellite} est nulle, ce qui est vrai, mais cela ne permet pas de calculer l'accélération de chaque corps individuellement.

Points à retenir
  • Toute action entraîne une réaction égale et opposée.
  • Les forces d'action-réaction agissent sur des corps différents.
Le saviez-vous ?

Le concept de "recul" d'une arme à feu est une application directe de la troisième loi de Newton. Le fusil pousse la balle vers l'avant (action), et la balle pousse le fusil (et l'épaule du tireur) vers l'arrière (réaction).

FAQ
Si la force est la même, pourquoi l'astronaute bouge-t-il plus ?

Parce que son inertie (sa masse) est plus faible. Pour une même "poussée", un objet léger est plus facile à mettre en mouvement qu'un objet lourd. C'est ce que traduit l'équation \(a = F/m\).

Résultat Final
\[ a_{\text{a}} = 0.5 \text{ m/s}^2 \]
A vous de jouer

Si l'astronaute avait une masse de 150 kg, quelle serait son accélération ?

Question 3 : Vitesse et distance du satellite

Principe

Puisque la force est constante, l'accélération du satellite est aussi constante. Son mouvement est donc un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA). On utilise les équations cinématiques de ce type de mouvement pour trouver la vitesse et la position à un instant \(t\).

Mini-Cours

La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment de ses causes. Pour un MRUA, les équations horaires (qui donnent la position et la vitesse en fonction du temps) sont :
1. \(v(t) = v_0 + a \cdot t\)
2. \(d(t) = d_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\)
Où \(v_0\) et \(d_0\) sont la vitesse et la position initiales.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien définir l'origine du temps et de l'espace. Ici, on pose \(t_0 = 0\) au début de la poussée. Comme le satellite est initialement au repos (\(v_0 = 0\)) et qu'on peut choisir son point de départ comme origine (\(d_0 = 0\)), les équations se simplifient grandement.

Normes

Pas de normes applicables.

Formule(s)

Avec \(v_0 = 0\) et \(d_0 = 0\), les formules deviennent :

\begin{aligned} v_{\text{f}} &= a_{\text{s}} \cdot \Delta t \\ d &= \frac{1}{2} a_{\text{s}} \cdot (\Delta t)^2 \end{aligned}
Hypothèses
  • Le mouvement est un MRUA.
  • La vitesse initiale est nulle.
  • La position initiale est l'origine du repère.
Donnée(s)
  • Accélération du satellite, \(a_{\text{s}} = 0.125 \text{ m/s}^2\)
  • Durée de la poussée, \(\Delta t = 2.0 \text{ s}\)
Astuces

Attention à la puissance 2 dans la formule de la distance. C'est une erreur fréquente de l'oublier. La distance parcourue n'est pas simplement la vitesse finale multipliée par le temps.

Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire du satellite
t=0sv=0t=2sv=v_f, d=?
Calcul(s)

Calcul de la vitesse finale (\(v_{\text{f}}\)) :

\[ \begin{aligned} v_{\text{f}} &= a_{\text{s}} \cdot \Delta t \\ &= 0.125 \text{ m/s}^2 \times 2.0 \text{ s} \\ &= 0.25 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul de la distance parcourue (\(d\)) :

\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{2} a_{\text{s}} \cdot (\Delta t)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.125 \text{ m/s}^2 \times (2.0 \text{ s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.125 \times 4 \text{ m} \\ &= 0.25 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Graphiques Vitesse et Distance en fonction du Temps
t (s)v, d0.51.01.52.0v(t)0.25 m/sd(t)0.25 m
Réflexions

En 2 secondes, le satellite a atteint une vitesse de 0.25 m/s (soit 0.9 km/h) et s'est déplacé de seulement 25 centimètres. C'est un mouvement lent, ce qui est attendu et souhaitable pour une manœuvre de précision dans l'espace.

Points de vigilance

Ne pas confondre les équations de vitesse et de distance. La vitesse dépend du temps (\(t\)), tandis que la distance dépend du carré du temps (\(t^2\)). Vérifiez toujours les unités à la fin : une accélération (\(\text{m/s}^2\)) multipliée par un temps (\(\text{s}\)) donne bien une vitesse (\(\text{m/s}\)).

Points à retenir
  • Un mouvement à accélération constante est un MRUA.
  • Les équations horaires permettent de prédire la vitesse et la position à tout instant.
Le saviez-vous ?

Une fois que l'astronaute lâche le satellite, sa force n'agit plus. En l'absence d'autres forces (1ère loi de Newton), le satellite continuera son mouvement en ligne droite à la vitesse constante de 0.25 m/s indéfiniment. C'est le principe d'inertie.

FAQ
Et si la vitesse initiale n'était pas nulle ?

Il faudrait utiliser les formules complètes du MRUA, en ajoutant le terme \(v_0 \cdot t\) pour la distance et \(v_0\) pour la vitesse. Le calcul serait légèrement plus long mais le principe resterait identique.

Résultat Final
\[ v_{\text{f}} = 0.25 \text{ m/s} \quad \text{et} \quad d = 0.25 \text{ m} \]
A vous de jouer

Quelle distance le satellite aurait-il parcourue si la poussée avait duré 4 secondes ?

Outil Interactif : Simulateur d'Accélération

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'accélération d'un objet dans l'espace change en fonction de sa masse et de la force qui lui est appliquée.

Paramètres d'Entrée
60 N
480 kg
Résultats Clés
Accélération (a) -
Vitesse après 2s (v) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'astronaute double la force de poussée, comment l'accélération du satellite change-t-elle ?

2. Que se passe-t-il après que l'astronaute a cessé de pousser le satellite (après les 2 secondes) ?

Référentiel Galiléen
Un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. En pratique, un référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen est lui-même galiléen.
Accélération
La variation de la vitesse d'un objet par unité de temps. C'est une grandeur vectorielle, mesurée en mètres par seconde au carré (m/s²).
Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
Le mouvement d'un objet qui se déplace en ligne droite avec une accélération constante.
Exercice : Principes de Newton dans l’Espace

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