Analyse du Mouvement d'un Camion

Appliquer les lois de Newton et le théorème de l'énergie cinétique pour analyser les différentes phases du mouvement rectiligne d'un camion.

Un camion de masse \(M\) se déplace sur une route horizontale. Son mouvement se décompose en trois phases distinctes, que nous allons étudier en détail :

Phase 1 : Accélération. Le camion démarre de l'arrêt (vitesse nulle) et accélère uniformément sur une distance \(d_1\), sous l'action d'une force motrice constante \(F_m\).
Phase 2 : Mouvement uniforme. Le camion atteint une vitesse de croisière \(v_c\) et la maintient constante sur une distance \(d_2\).
Phase 3 : Freinage. Le camion freine avec une décélération constante \(a_3\) (en valeur absolue) pour s'arrêter devant un feu rouge.

On négligera la résistance de l'air, mais on tiendra compte d'une force de frottement solide constante \(f\) opposée au mouvement, exercée par la route sur les pneus, pendant toute la durée du trajet.

Données du Problème

Masse du camion : \(M = 12000 \text{ kg}\)
Force motrice (Phase 1) : \(F_m = 30000 \text{ N}\)
Force de frottement solide : \(f = 6000 \text{ N}\)
Distance d'accélération (Phase 1, indicative) : \(d_1 = 400 \text{ m}\)
Vitesse de croisière (Phase 2) : \(v_c = 72 \text{ km/h}\)
Distance à vitesse constante (Phase 2) : \(d_2 = 10 \text{ km}\)
Décélération lors du freinage (Phase 3) : \(|a_3| = 2.5 \text{ m/s}^2\)
On prendra l'accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\) si nécessaire.

Illustration simplifiée des forces sur le camion (phase d'accélération) et du trajet.

Questions

Convertir la vitesse de croisière \(v_c = 72 \text{ km/h}\) en mètres par seconde (m/s).
Phase 1 : Accélération
1. Faire le bilan des forces s'exerçant sur le camion (schéma simple attendu).
2. Calculer la valeur de la force résultante horizontale s'exerçant sur le camion.
3. En appliquant la deuxième loi de Newton, calculer la valeur de l'accélération \(a_1\) du camion.
4. Calculer la vitesse \(v_1\) atteinte par le camion à la fin de cette phase d'accélération sur la distance \(d_1\). Cette vitesse est-elle égale à \(v_c\) ?
5. Calculer la durée \(t_1\) de cette phase d'accélération.
6. Calculer le travail \(W(F_m)\) de la force motrice et le travail \(W(f)\) de la force de frottement durant cette phase.
7. Calculer la variation d'énergie cinétique \(\Delta E_{c1}\) du camion durant cette phase. Vérifier la cohérence avec le théorème de l'énergie cinétique.
Phase 2 : Mouvement uniforme
1. Quelle doit être la valeur de la force motrice \(F'_m\) développée par le moteur du camion pour maintenir la vitesse \(v_c\) constante ? Justifier.
2. Calculer la durée \(t_2\) de cette phase.
3. Calculer la puissance \(P_2\) développée par la force motrice \(F'_m\) durant cette phase.
Phase 3 : Freinage
1. Le camion aborde cette phase à la vitesse \(v_c\). Calculer la distance de freinage \(d_3\) nécessaire pour que le camion s'arrête avec la décélération \(|a_3|\) donnée.
2. Calculer la valeur de la force de freinage totale \(F_{freinage,totale}\) (incluant les frottements \(f\)) nécessaire pour obtenir cette décélération.
3. En déduire la valeur de la force de freinage \(F_{freins}\) que les freins seuls doivent exercer.
4. Calculer la durée \(t_3\) du freinage.
Calculer la durée totale \(t_{total}\) du trajet.

Correction : Analyse du Mouvement d’un Camion

1. Conversion de la Vitesse de Croisière

Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3.6 (car 1 km = 1000 m et 1 h = 3600 s).

\begin{aligned} v_c &= 72 \text{ km/h} \\ &= \frac{72}{3.6} \text{ m/s} \\ &= 20 \text{ m/s} \end{aligned}

\(v_c = 20 \text{ m/s}\).

2. Phase 1 : Accélération

Analyse de la première phase du mouvement.

a. Bilan des forces

Les forces s'exerçant sur le camion sont :

Le poids \(\vec{P}\), vertical, vers le bas.
La réaction normale du support \(\vec{R_N}\), verticale, vers le haut.
La force motrice \(\vec{F_m}\), horizontale, dans le sens du mouvement.
La force de frottement \(\vec{f}\), horizontale, opposée au mouvement.

(Le schéma est fourni dans l'énoncé).

b. Force résultante horizontale

Les forces verticales \(\vec{P}\) et \(\vec{R_N}\) se compensent car le mouvement est horizontal (\(P = Mg\), \(R_N = Mg\)).

La force résultante horizontale \(\vec{F}_{res}\) est la somme vectorielle de \(\vec{F_m}\) et \(\vec{f}\). Comme elles sont colinéaires et de sens opposés :

\begin{aligned} F_{res} &= F_m - f \\ &= 30000 \text{ N} - 6000 \text{ N} \\ &= 24000 \text{ N} \end{aligned}

La force résultante horizontale est \(F_{res} = 24000 \text{ N}\).

c. Accélération \(a_1\)

D'après la deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) : \(\sum \vec{F}_{ext} = M\vec{a}\). Projeté sur l'axe horizontal du mouvement :

\begin{aligned} F_{res} &= M a_1 \\ a_1 &= \frac{F_{res}}{M} \\ &= \frac{24000 \text{ N}}{12000 \text{ kg}} \\ &= 2.0 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

L'accélération est \(a_1 = 2.0 \text{ m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire : Accélération

d. Vitesse \(v_1\) atteinte après \(d_1\)

Le camion part de l'arrêt (\(v_0 = 0\)). On utilise la relation indépendante du temps : \(v_1^2 - v_0^2 = 2 a_1 d_1\).

\begin{aligned} v_1^2 &= 2 a_1 d_1 \\ &= 2 \times 2.0 \text{ m/s}^2 \times 400 \text{ m} \\ &= 1600 \text{ (m/s)}^2 \\ v_1 &= \sqrt{1600} \text{ m/s} \\ &= 40 \text{ m/s} \end{aligned}

Comparaison avec \(v_c = 20 \text{ m/s}\) :

La vitesse atteinte est \(v_1 = 40 \text{ m/s}\). Cette vitesse est supérieure à la vitesse de croisière \(v_c = 20 \text{ m/s}\). Cela signifie que le camion atteindra \(v_c\) avant la fin de la distance \(d_1\). Pour la suite, nous considérerons que la phase 1 se termine lorsque \(v=v_c\).

Recalculons la distance \(d'_1\) pour atteindre \(v_c = 20 \text{ m/s}\) avec \(a_1 = 2.0 \text{ m/s}^2\) :

\begin{aligned} v_c^2 - 0^2 &= 2 a_1 d'_1 \\ d'_1 &= \frac{v_c^2}{2a_1} \\ &= \frac{(20 \text{ m/s})^2}{2 \times 2.0 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{400}{4} \\ &= 100 \text{ m} \end{aligned}

La phase 1 se déroule donc sur \(d'_1 = 100 \text{ m}\) pour atteindre \(v_c = 20 \text{ m/s}\).

e. Durée \(t_1\) de la phase d'accélération (pour atteindre \(v_c\))

On utilise \(v_c = v_0 + a_1 t_1\), avec \(v_0 = 0\).

\begin{aligned} t_1 &= \frac{v_c}{a_1} \\ &= \frac{20 \text{ m/s}}{2.0 \text{ m/s}^2} \\ &= 10 \text{ s} \end{aligned}

La durée de la phase d'accélération est \(t_1 = 10 \text{ s}\) (sur la distance \(d'_1 = 100 \text{ m}\)).

f. Travail des forces \(W(F_m)\) et \(W(f)\) (sur \(d'_1\))

Le travail d'une force constante \(\vec{F}\) lors d'un déplacement rectiligne \(\vec{AB}\) est \(W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)\).

Pour la force motrice (angle \(\alpha = 0^\circ\)) sur \(d'_1 = 100 \text{ m}\):

\begin{aligned} W(F_m) &= F_m \times d'_1 \times \cos(0^\circ) \\ &= 30000 \text{ N} \times 100 \text{ m} \times 1 \\ &= 3 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

Pour la force de frottement (angle \(\alpha = 180^\circ\)) sur \(d'_1 = 100 \text{ m}\):

\begin{aligned} W(f) &= f \times d'_1 \times \cos(180^\circ) \\ &= 6000 \text{ N} \times 100 \text{ m} \times (-1) \\ &= -0.6 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

\(W(F_m) = 3 \text{ MJ}\) et \(W(f) = -0.6 \text{ MJ}\).

g. Variation d'énergie cinétique \(\Delta E_{c1}\) et théorème

L'énergie cinétique est \(E_c = \frac{1}{2} M v^2\).

Au début de la phase 1 : \(v_0 = 0 \rightarrow E_{c0} = 0 \text{ J}\).

À la fin de la phase 1 (atteinte de \(v_c = 20 \text{ m/s}\)) :

\begin{aligned} E_{c,fin1} &= \frac{1}{2} M v_c^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 12000 \text{ kg} \times (20 \text{ m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 12000 \times 400 \\ &= 2.4 \times 10^6 \text{ J} \\ \Delta E_{c1} &= E_{c,fin1} - E_{c0} \\ &= 2.4 \times 10^6 \text{ J} \end{aligned}

Théorème de l'énergie cinétique : \(\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})\).

La somme des travaux des forces extérieures horizontales est \(W(F_m) + W(f) = 3 \times 10^6 \text{ J} - 0.6 \times 10^6 \text{ J} = 2.4 \times 10^6 \text{ J}\).

\(\Delta E_{c1} = 2.4 \text{ MJ}\). Le théorème de l'énergie cinétique est vérifié (\(2.4 \text{ MJ} = 2.4 \text{ MJ}\)).

3. Phase 2 : Mouvement uniforme

Analyse de la deuxième phase du mouvement à vitesse constante \(v_c = 20 \text{ m/s}\).

a. Force motrice \(F'_m\)

Pour que la vitesse soit constante, l'accélération est nulle. D'après la première loi de Newton (principe d'inertie), si la vitesse est constante, la somme des forces extérieures est nulle.

Horizontalement : \(\vec{F}'_m + \vec{f} = \vec{0}\). Donc, en norme :

F'_m = f = 6000 \text{ N}

La force motrice durant la phase 2 est \(F'_m = 6000 \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire : Mouvement Uniforme

b. Durée \(t_2\)

La distance parcourue est \(d_2 = 10 \text{ km} = 10000 \text{ m}\) à la vitesse \(v_c = 20 \text{ m/s}\).

\begin{aligned} t_2 &= \frac{d_2}{v_c} \\ &= \frac{10000 \text{ m}}{20 \text{ m/s}} \\ &= 500 \text{ s} \end{aligned}

La durée de la phase 2 est \(t_2 = 500 \text{ s}\).

c. Puissance \(P_2\) développée

La puissance d'une force est \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\). Pour la force motrice \(\vec{F}'_m\) colinéaire à \(\vec{v_c}\) :

\begin{aligned} P_2 &= F'_m \times v_c \\ &= 6000 \text{ N} \times 20 \text{ m/s} \\ &= 120000 \text{ W} \end{aligned}

La puissance développée par le moteur est \(P_2 = 120 \text{ kW}\).

4. Phase 3 : Freinage

Analyse de la phase de freinage où le camion s'arrête.

a. Distance de freinage \(d_3\)

Le camion part de \(v_c = 20 \text{ m/s}\) et s'arrête (\(v_{fin3} = 0\)). La décélération est \(|a_3| = 2.5 \text{ m/s}^2\), donc \(a_3 = -2.5 \text{ m/s}^2\).

On utilise \(v_{fin3}^2 - v_c^2 = 2 a_3 d_3\).

\begin{aligned} 0^2 - (20 \text{ m/s})^2 &= 2 \times (-2.5 \text{ m/s}^2) \times d_3 \\ -400 &= -5 d_3 \\ d_3 &= \frac{-400}{-5} \text{ m} \\ &= 80 \text{ m} \end{aligned}

La distance de freinage est \(d_3 = 80 \text{ m}\).

Quiz Intermédiaire : Freinage

Question : Si la vitesse initiale du camion avant le freinage était de \(40 \text{ m/s}\) (au lieu de \(20 \text{ m/s}\)) avec la même décélération \(|a_3|\), la distance de freinage serait :

Deux fois plus grande (\(160 \text{ m}\)).
Quatre fois plus grande (\(320 \text{ m}\)).
La même (\(80 \text{ m}\)).

b. Force de freinage totale \(F_{freinage,totale}\)

La force résultante horizontale pendant le freinage est \(F_{freinage,totale} = M a_3\).

\begin{aligned} F_{freinage,totale} &= 12000 \text{ kg} \times (-2.5 \text{ m/s}^2) \\ &= -30000 \text{ N} \end{aligned}

La valeur de cette force est \(30000 \text{ N}\), dirigée dans le sens opposé au mouvement.

La force de freinage totale est de \(30000 \text{ N}\) (opposée au mouvement).

c. Force de freinage exercée par les freins seuls \(F_{freins}\)

La force de freinage totale est la somme de la force des freins \(\vec{F}_{freins}\) et de la force de frottement \(\vec{f}\), toutes deux opposées au mouvement.

\( |F_{freinage,totale}| = F_{freins} + f \)

\begin{aligned} 30000 \text{ N} &= F_{freins} + 6000 \text{ N} \\ F_{freins} &= 30000 \text{ N} - 6000 \text{ N} \\ &= 24000 \text{ N} \end{aligned}

La force exercée par les freins seuls est \(F_{freins} = 24000 \text{ N}\).

d. Durée \(t_3\) du freinage

On utilise \(v_{fin3} = v_c + a_3 t_3\).

\begin{aligned} 0 &= 20 \text{ m/s} + (-2.5 \text{ m/s}^2) t_3 \\ 2.5 t_3 &= 20 \\ t_3 &= \frac{20}{2.5} \text{ s} \\ &= 8 \text{ s} \end{aligned}

La durée du freinage est \(t_3 = 8 \text{ s}\).

5. Durée totale du trajet

Somme des durées des trois phases.

\begin{aligned} t_{total} &= t_1 + t_2 + t_3 \\ &= 10 \text{ s} + 500 \text{ s} + 8 \text{ s} \\ &= 518 \text{ s} \end{aligned}

La durée totale du trajet est \(t_{total} = 518 \text{ s}\) (soit 8 minutes et 38 secondes).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Lors de la phase d'accélération (Phase 1), si la masse du camion était deux fois plus grande, avec les mêmes forces \(F_m\) et \(f\), son accélération \(a_1\) serait :

Deux fois plus grande.
Deux fois plus petite.
Identique.

Question 2 : L'unité SI (Système International) de la puissance est :

Le Joule (J).
Le Newton (N).
Le Watt (W).

Question 3 : Pendant la phase de mouvement à vitesse constante (Phase 2), le travail total des forces s'exerçant sur le camion sur une distance \(d\) est :

Positif.
Négatif.
Nul.

Glossaire des Termes Clés

Force (\(\vec{F}\)) :

Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. Unité : Newton (N).

Deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par son vecteur accélération : \(\sum \vec{F}_{ext} = M\vec{a}\).

Travail d'une force (\(W\)) :

Énergie fournie par une force lorsque son point d'application se déplace. Pour une force constante \(\vec{F}\) et un déplacement rectiligne \(\vec{AB}\), \(W = \vec{F} \cdot \vec{AB}\). Unité : Joule (J).

Énergie Cinétique (\(E_c\)) :

Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Pour un solide de masse \(M\) et de vitesse \(v\), \(E_c = \frac{1}{2} M v^2\). Unité : Joule (J).

Théorème de l'Énergie Cinétique :

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide pendant cet intervalle : \(\Delta E_c = E_{c,final} - E_{c,initial} = \sum W(\vec{F}_{ext})\).

Puissance (\(P\)) :

Quantité d'énergie transférée ou convertie par unité de temps. Pour une force \(\vec{F}\) s'appliquant sur un objet se déplaçant à la vitesse \(\vec{v}\), la puissance instantanée est \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\). Unité : Watt (W).

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Taux de variation de la vitesse d'un objet par rapport au temps. C'est un vecteur. Unité : mètre par seconde carrée (m/s²).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la consommation de carburant du camion serait-elle affectée si la force de frottement \(f\) était plus élevée ?

2. Si la route présentait une pente ascendante lors de la phase d'accélération, comment cela modifierait-il l'accélération du camion pour la même force motrice ?

3. Discuter de l'importance de la distance de freinage pour la sécurité routière, notamment en fonction de la vitesse et des conditions météorologiques.

4. Comment pourrait-on modéliser plus précisément les forces de frottement, en tenant compte par exemple de la résistance de l'air qui dépend de la vitesse ?