Diffraction à travers une fente simple
Contexte : La diffractionPhénomène par lequel une onde (lumineuse, sonore, etc.) est déviée et s'étale en rencontrant un obstacle ou une ouverture de petite dimension., une preuve de la nature ondulatoire de la lumière.
Lorsqu'un faisceau de lumière laser, que l'on pourrait croire parfaitement rectiligne, traverse une ouverture très fine (une fente), il se passe un phénomène surprenant : la lumière s'étale et forme sur un écran une série de taches lumineuses et sombres. Cette figure, appelée figure de diffraction, est la manifestation directe du comportement ondulatoire de la lumière. Cet exercice a pour but d'analyser quantitativement ce phénomène.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la relation fondamentale de la diffraction pour lier les caractéristiques de l'onde (sa longueur d'onde) et de l'ouverture (la largeur de la fente) aux dimensions de la figure observée sur l'écran.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et décrire qualitativement le phénomène de diffraction.
- Savoir exploiter la relation liant l'écart angulaire, la longueur d'onde et la largeur de la fente.
- Utiliser l'approximation des petits angles pour mener un calcul.
- Calculer la largeur de la tache centrale de diffraction.
Données de l'étude
Fiche Technique du Laser
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Laser | Hélium-Néon (He-Ne) |
| Couleur d'émission | Rouge |
| Longueur d'onde dans le vide, \(\lambda\) | \(632.8 \text{ nm}\) |
Schéma du montage expérimental
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de la fente | \(a\) | \(0.10\) | \(\text{mm}\) |
| Distance fente-écran | \(D\) | \(2.50\) | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Décrire qualitativement la figure observée sur l'écran. Quelle est la particularité de la tache centrale ?
- Donner l'expression de l'écart angulaire \(\theta\) (demi-largeur angulaire de la tache centrale) en fonction de la longueur d'onde \(\lambda\) et de la largeur de la fente \(a\). Préciser les unités.
- En utilisant le schéma et dans l'approximation des petits angles où \(\tan(\theta) \approx \theta\) (avec \(\theta\) en radians), exprimer \(\theta\) en fonction de la largeur de la tache centrale \(L\) et de la distance \(D\).
- À partir des deux relations précédentes, déduire l'expression littérale de la largeur de la tache centrale \(L\).
- Calculer la valeur numérique de \(L\). Donner le résultat en centimètres avec deux chiffres significatifs.
Les bases sur la Diffraction
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de comprendre deux concepts clés liés à la nature de la lumière.
1. La nature ondulatoire de la lumière
Bien que l'on parle souvent de "rayons lumineux", la lumière est fondamentalement une onde électromagnétique. Comme toutes les ondes (vagues à la surface de l'eau, son), elle peut être caractérisée par sa longueur d'ondeLa distance qui sépare deux crêtes successives d'une onde. Pour la lumière visible, elle détermine la couleur perçue., notée \(\lambda\). C'est ce comportement ondulatoire qui est à l'origine de la diffraction.
2. Le phénomène de diffraction
La diffraction est l'étalement des ondes lorsqu'elles rencontrent une ouverture dont la taille est du même ordre de grandeur que leur longueur d'onde. Pour la lumière passant par une fente fine, la demi-largeur angulaire \(\theta\) de la tache centrale est donnée par la relation :
Où :
- \(\theta\) est l'écart angulaire en \(\text{radians (rad)}\).
- \(\lambda\) est la longueur d'onde de la lumière en \(\text{mètres (m)}\).
- \(a\) est la largeur de la fente en \(\text{mètres (m)}\).
Correction : Diffraction à travers une fente simple
Question 1 : Description de la figure de diffraction
Principe (le concept physique)
Cette question porte sur l'observation et l'interprétation du phénomène. Il s'agit de décrire ce que la nature ondulatoire de la lumière produit lorsqu'elle traverse une petite ouverture.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Chaque point de la fente se comporte comme une source secondaire d'ondes (principe de Huygens-Fresnel). Ces ondes interfèrent les unes avec les autres pour créer la figure de diffraction. Au centre, toutes les ondes arrivent en phase, créant une interférence constructive maximale. Ailleurs, les déphasages créent des interférences alternativement constructives et destructives.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La physique commence par l'observation. Avant tout calcul, il est crucial de bien visualiser et de pouvoir décrire avec des mots précis ce qu'il se passe. C'est la première étape pour comprendre un phénomène.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable pour cette question de physique fondamentale.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Non applicable pour cette question qualitative.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Non applicable pour cette question qualitative.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Non applicable pour cette question qualitative.
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour décrire une figure de diffraction, concentrez-vous sur les 3 points clés : la forme (taches), la distribution de la lumière (tache centrale très brillante), et la géométrie (tache centrale plus large que les autres).
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du montage expérimental
Calcul(s) (l'application numérique)
Non applicable pour cette question qualitative.
Schéma (Après les calculs)
Profil d'intensité lumineuse
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La figure observée sur l'écran est une série de taches lumineuses alignées horizontalement. La particularité la plus notable est la tache centrale : elle est beaucoup plus large (deux fois plus que les autres) et beaucoup plus intense (lumineuse) que les taches secondaires qui l'entourent. Ces taches sont séparées par des zones d'ombre, appelées extinctions.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Il ne faut pas confondre la figure de diffraction par une fente (une grande tache centrale) avec la figure d'interférences par deux fentes (une succession de franges fines et équidistantes).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La diffraction produit un étalement de la lumière.
- La figure est composée d'une tache centrale large et brillante, et de taches secondaires plus petites et plus faibles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le phénomène de diffraction a été l'un des arguments décisifs au début du 19ème siècle, grâce aux travaux d'Augustin Fresnel, pour abandonner le modèle corpusculaire de la lumière de Newton au profit du modèle ondulatoire.
FAQ (pour lever les doutes)
La diffraction se produit toujours dans la direction où l'ouverture est la plus petite. Comme la fente est très fine horizontalement et très haute verticalement, la lumière s'étale principalement horizontalement.Pourquoi la tache est-elle étalée horizontalement si la fente est verticale ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Que se passerait-il si on utilisait de la lumière blanche (composée de toutes les couleurs) au lieu d'un laser ?
Question 2 : Expression de l'écart angulaire \(\theta\)
Principe (le concept physique)
La physique ondulatoire fournit une relation mathématique directe entre la taille de l'obstacle (la fente) et l'étalement de l'onde (l'écart angulaire).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'écart angulaire \(\theta\) correspond à la direction de la première extinction. Cette extinction se produit lorsque la différence de marche entre l'onde venant du haut de la fente et celle venant du bas de la fente est égale à une longueur d'onde, \(\lambda\). Une analyse plus poussée montre que cela correspond à un angle \(\theta\) tel que \(\sin(\theta) = \lambda/a\). Pour les petits angles, \(\sin(\theta) \approx \theta\), ce qui donne la formule simplifiée.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette formule est l'une des plus importantes de l'optique ondulatoire au lycée. Il est essentiel de la connaître et de savoir ce que chaque terme représente.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Expression de l'écart angulaire
Hypothèses (le cadre du calcul)
Cette formule est valable dans l'approximation des petits angles (diffraction de Fraunhofer), ce qui est presque toujours le cas dans les expériences au lycée.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(\lambda\) | Longueur d'onde de la lumière |
| \(a\) | Largeur de la fente |
Astuces(Pour aller plus vite)
Non applicable.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre \(\lambda\), \(a\) et \(\theta\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Non applicable.
Schéma (Après les calculs)
Influence des paramètres sur \(\theta\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La formule montre que l'étalement de la lumière (\(\theta\)) est d'autant plus grand que la longueur d'onde \(\lambda\) est grande (le rouge s'étale plus que le bleu) et que la fente \(a\) est petite. C'est contre-intuitif : plus le trou est petit, plus la lumière s'étale !
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La plus grande source d'erreur est l'unité de l'angle. Cette formule n'est valide que si \(\theta\) est exprimé en radians. De plus, \(\lambda\) et \(a\) doivent être exprimés dans la même unité de longueur (généralement le mètre).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Retenir la formule \(\theta = \lambda/a\) et la signification de chaque terme : \(\theta\) (écart angulaire en rad), \(\lambda\) (longueur d'onde en m), \(a\) (largeur de la fente en m).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le même principe de diffraction s'applique aux ondes radio. La taille des antennes des radiotélescopes est directement liée à la longueur d'onde qu'elles doivent capter et à la résolution angulaire (la finesse des détails) souhaitée.
FAQ (pour lever les doutes)
C'est une approximation pour les petits angles. La formule exacte est \(\sin(\theta) = \lambda/a\). Cependant, pour les angles rencontrés en TP (quelques degrés au maximum), l'approximation est excellente et simplifie grandement les calculs.Cette formule est-elle toujours exacte ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la formule qui donne l'angle de la *deuxième* extinction (la deuxième bande noire de chaque côté) ?
Question 3 : Expression géométrique de \(\theta\)
Principe (le concept physique)
On quitte temporairement la physique des ondes pour utiliser un outil simple : la géométrie. On relie l'angle \(\theta\) aux dimensions mesurables du montage expérimental (\(L\) et \(D\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'approximation des petits angles, \(\tan(\theta) \approx \theta\) (pour \(\theta\) en radians), vient du développement en série de Taylor de la fonction tangente au voisinage de 0 : \(\tan(\theta) = \theta + \frac{\theta^3}{3} + ...\). Si \(\theta\) est très petit, les termes en \(\theta^3\) et supérieurs sont négligeables.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Savoir passer d'une description physique (avec \(\lambda\) et \(a\)) à une description géométrique (avec \(L\) et \(D\)) est une compétence clé en physique. Cherchez toujours les triangles rectangles dans les schémas, ils sont souvent la clé pour appliquer la trigonométrie.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Relation trigonométrique
Approximation des petits angles
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans le cadre de l'approximation des petits angles. Cela suppose que la distance à l'écran \(D\) est très grande par rapport à la largeur de la tache \(L\) (\(D \gg L\)).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(L\) | Largeur totale de la tache centrale |
| \(D\) | Distance de la fente à l'écran |
Astuces(Pour aller plus vite)
En optique, si l'énoncé mentionne un écran "très éloigné" ou "placé à grande distance", c'est presque toujours un indice qu'il faudra utiliser l'approximation des petits angles.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle de l'expérience
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la tangente
Application de l'approximation
Schéma (Après les calculs)
Relation géométrique finale
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette formule est très pratique : elle permet de calculer un angle, difficile à mesurer directement, à partir de deux longueurs (\(L\) et \(D\)) que l'on peut facilement mesurer avec une règle ou un mètre ruban.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention, le côté opposé dans le triangle n'est pas \(L\), mais la moitié de \(L\), soit \(L/2\), car \(\theta\) est la demi-largeur angulaire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Dans une expérience de diffraction, l'angle \(\theta\) est toujours relié aux dimensions mesurables par la relation \(\theta \approx \frac{L}{2D}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette même approximation est utilisée en astronomie pour calculer la taille réelle d'un astre à partir de son diamètre angulaire (l'angle sous lequel on le voit) et de sa distance à la Terre.
FAQ (pour lever les doutes)
Pour un angle de 10° (environ 0.17 rad), l'erreur entre \(\tan(\theta)\) et \(\theta\) est inférieure à 1%. Dans nos expériences, les angles sont souvent bien plus petits, donc l'approximation est excellente.Jusqu'à quel angle l'approximation est-elle bonne ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on ne fait pas l'approximation des petits angles, quelle serait l'expression exacte de \(L\) ?
Question 4 : Expression de la largeur \(L\)
Principe (le concept physique)
Cette étape est purement mathématique. Elle consiste à combiner les deux relations (physique et géométrique) trouvées précédemment pour isoler la grandeur que l'on souhaite calculer, \(L\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La résolution de nombreux problèmes en physique passe par la mise en équation du système selon différents points de vue (par exemple, mécanique et thermique), puis par la résolution du système d'équations obtenu. C'est une méthode de travail très puissante.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est une démarche très courante en sciences : on établit plusieurs relations qui décrivent le même système sous des angles différents, puis on les combine pour trouver une information inaccessible directement.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Expression physique de l'angle
Expression géométrique de l'angle
Hypothèses (le cadre du calcul)
Toutes les hypothèses des questions précédentes (petits angles, etc.) sont reportées ici, car la nouvelle formule en dépend.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(\lambda, a, D, L\) | Grandeurs définies dans les questions précédentes |
Astuces(Pour aller plus vite)
Non applicable.
Schéma (Avant les calculs)
Synthèse des relations
Calcul(s) (l'application numérique)
Égalisation des expressions
Expression finale de L
Schéma (Après les calculs)
Formule finale et ses dépendances
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La formule finale est très riche d'enseignements : la largeur de la tache (\(L\)) est proportionnelle à la longueur d'onde (\(\lambda\)) et à la distance à l'écran (\(D\)), mais inversement proportionnelle à la largeur de la fente (\(a\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur fréquente est d'oublier le facteur 2. Il est fondamental car il vient du fait que \(L\) est la largeur totale alors que \(\theta\) est la demi-largeur angulaire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La formule \(L = \frac{2 \lambda D}{a}\) est le résultat principal à retenir de cet exercice. Elle permet de calculer n'importe laquelle des 4 grandeurs si les 3 autres sont connues.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette formule est utilisée pour contrôler la qualité de fabrication de fils très fins. En éclairant un fil avec un laser et en mesurant la figure de diffraction, on peut remonter très précisément à son diamètre (\(a\)).
FAQ (pour lever les doutes)
Oui ! Le principe de Babinet stipule qu'à grande distance, la figure de diffraction produite par un obstacle est identique à celle produite par une ouverture de même forme et de mêmes dimensions.Cette formule fonctionne-t-elle avec un obstacle (comme un cheveu) au lieu d'une fente ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Isolez la largeur de la fente, \(a\), dans la formule. Exprimez \(a\) en fonction de \(L\), \(\lambda\) et \(D\).
Question 5 : Calcul numérique de \(L\)
Principe (le concept physique)
C'est l'application numérique finale. On utilise l'expression littérale dérivée précédemment avec les valeurs concrètes de l'énoncé pour obtenir un résultat chiffré.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La maîtrise des unités et des puissances de 10 est fondamentale en physique. Le Système International (SI) garantit que si toutes les entrées sont dans les unités de base (mètre, kilogramme, seconde...), le résultat sera également dans l'unité de base correspondante (ici, le mètre pour une longueur).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La rigueur est essentielle ici. Une application numérique se fait en trois temps : 1. On pose la formule littérale. 2. On remplace par les valeurs numériques en s'assurant que les unités sont cohérentes. 3. On donne le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs et la bonne unité.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule littérale de la largeur L
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses des questions précédentes (petits angles, etc.) doivent être valides pour que ce calcul ait un sens.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | \(632.8 \text{ nm}\) | \(632.8 \times 10^{-9} \text{ m}\) |
| Largeur de fente | \(a\) | \(0.10 \text{ mm}\) | \(1.0 \times 10^{-4} \text{ m}\) |
| Distance fente-écran | \(D\) | \(2.50 \text{ m}\) | \(2.50 \text{ m}\) |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour manipuler les puissances de 10 : \(\frac{10^{-9}}{10^{-4}} = 10^{-9 - (-4)} = 10^{-9+4} = 10^{-5}\).
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du montage expérimental
Calcul(s) (l'application numérique)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Résultat sur l'écran
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat est \(0.03164\) mètres. C'est une distance macroscopique, facilement mesurable avec une règle. L'énoncé demande le résultat en cm et avec deux chiffres significatifs. \(0.03164 \text{ m} = 3.164 \text{ cm}\). En arrondissant à deux chiffres significatifs, on obtient \(3.2 \text{ cm}\).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La conversion des unités est la source d'erreur n°1. nm \(\rightarrow\) m (\(10^{-9}\)), mm \(\rightarrow\) m (\(10^{-3}\)). Attention aussi aux chiffres significatifs demandés dans la réponse finale.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La méthodologie est toujours la même : 1. Convertir les unités en SI (mètres). 2. Appliquer la formule \(L = 2\lambda D/a\). 3. Convertir le résultat final dans l'unité demandée et arrondir correctement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La couleur rouge du laser He-Ne (632.8 nm) est si précisément connue qu'elle a servi de standard international pour la définition du mètre jusqu'en 1983.
FAQ (pour lever les doutes)
La longueur d'onde de la lumière dépend du milieu dans lequel elle se propage. Dans l'eau, \(\lambda_{\text{eau}} = \lambda_{\text{vide}} / n_{\text{eau}}\), où \(n_{\text{eau}} \approx 1.33\). La longueur d'onde serait plus courte, et donc la figure de diffraction serait plus resserrée (\(L\) serait plus petit).Que se passerait-il si on réalisait l'expérience dans l'eau ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Recalculez la largeur \(L\) si on utilise une fente deux fois plus fine (\(a = 0.050 \text{ mm}\)). Entrez votre réponse en cm.
Outil Interactif : Simulateur de Diffraction
Utilisez les curseurs pour voir comment la largeur de la fente et la longueur d'onde de la lumière influencent la largeur de la tache centrale de diffraction sur l'écran.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour D = 2.5 m)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'on diminue la largeur de la fente \(a\), la largeur de la tache centrale \(L\)...
2. On remplace le laser rouge (\(\lambda \approx 650 \text{ nm}\)) par un laser vert (\(\lambda \approx 530 \text{ nm}\)). La tache centrale devient...
3. Le phénomène de diffraction est une conséquence de...
4. Dans la formule \(\theta = \lambda/a\), l'angle \(\theta\) est exprimé en...
- Diffraction
- Phénomène d'étalement d'une onde lorsqu'elle passe à travers une ouverture ou contourne un obstacle dont les dimensions sont de l'ordre de sa longueur d'onde.
- Longueur d'onde (\(\lambda\))
- Caractéristique d'une onde périodique, c'est la plus petite distance séparant deux points de l'onde qui vibrent en phase. Pour la lumière visible, elle est associée à la couleur.
- Écart angulaire (\(\theta\))
- Angle sous lequel on observe un objet ou un phénomène. Dans le cas de la diffraction, il s'agit de l'angle qui caractérise la taille de la figure de diffraction.
- Radian (rad)
- Unité de mesure d'angle du Système International. Un tour complet correspond à \(2\pi\) radians.
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