La force du vent sur un voilier
Comprendre La force du vent sur un voilier
Un voilier navigue sur un lac. Le bateau subit deux forces principales dues au vent : une force due au vent qui souffle et une force due à la réaction de la voile. Nous considérons que ces forces agissent dans le plan horizontal.
Données :
- Le vent exerce une force de 200 N vers le nord sur la voile.
- La voile, ajustée pour une navigation optimale, crée une force de 150 N qui fait un angle de 30° vers l’est par rapport au nord.
Questions :
1. Représenter les vecteurs forces sur un schéma.
2. Décomposer la force de la voile en ses composantes nord-sud et est-ouest.
3. Calculer le vecteur résultant des forces subies par le voilier.
4. Déterminer la direction et la magnitude de la force résultante.
Correction : La force du vent sur un voilier
1. Représentation des vecteurs sur un schéma
-
Force du vent sur la voile :
Un vecteur de 200 N dirigé vers le nord. -
Force générée par la voile :
Un vecteur de 150 N faisant un angle de 30° vers l’est par rapport au nord.
2. Décomposition de la force de la voile en ses composantes
Pour la force de 150 N agissant à 30° de la direction nord :
-
Composante Nord (N) :
\[ F_N = 150 \times \cos(30°) \]
Sachant que \(\cos(30°) \approx 0,866\), on obtient
\[ F_N \approx 150 \times 0,866 \] \[ F_N = 129,9 \, \text{N} \]
- Composante Est (E) :
\[ F_E = 150 \times \sin(30°) \]
Sachant que \(\sin(30°) = 0,5\), on obtient
\[ F_E = 150 \times 0,5 \] \[ F_E = 75 \, \text{N} \]
3. Calcul du vecteur résultant
Données
-
Force due au vent :
- Nord : 200 N
- Est : 0 N
-
Force de la voile (décomposée) :
- Nord : 129,9 N
- Est : 75 N
Calcul des composantes résultantes :
- Composante Nord résultante :
\[ F_{N,res} = 200 + 129,9 \] \[ F_{N,res} = 329,9 \, \text{N} \]
- Composante Est résultante :
\[ F_{E,res} = 0 + 75 \] \[ F_{E,res} = 75 \, \text{N} \]
4. Détermination de la magnitude et de la direction de la force résultante
Magnitude de la force résultante
On utilise la formule de Pythagore :
\[ F_{res} = \sqrt{F_{N,res}^2 + F_{E,res}^2} \]
En substituant les valeurs :
\[ F_{res} = \sqrt{(329,9)^2 + (75)^2} \] \[ F_{res} \approx \sqrt{108870 + 5625} \] \[ F_{res} \approx \sqrt{114495} \] \[ F_{res} \approx 338,2 \, \text{N} \]
Direction de la force résultante
L’angle \(\theta\) (par rapport au nord, vers l’est) est donné par :
\[ \tan(\theta) = \frac{F_{E,res}}{F_{N,res}} = \frac{75}{329,9} \approx 0,2273 \] \[ \theta = \arctan(0,2273) \approx 12,9° \]
Ainsi, la force résultante fait environ 12,9° vers l’est par rapport au nord.
La force du vent sur un voilier
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