Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

Un scientifique amateur décide de mener une expérience pour mesurer l’accélération due à la gravité (\(g\)) en laissant tomber une bille en métal depuis une certaine hauteur. Pour cela, il utilise un chronomètre précis pour mesurer le temps que met la bille à toucher le sol. Il effectue plusieurs essais pour obtenir des résultats fiables.

Données

Hauteur de la chute : \(h = 1.5 \, \text{m}\)
Temps mesurés pour la chute (\(t\)) :
- Essai 1 : \(t_1 = 0.55 \, \text{s}\)
- Essai 2 : \(t_2 = 0.56 \, \text{s}\)
- Essai 3 : \(t_3 = 0.54 \, \text{s}\)
Valeur théorique de g : \(g_{theo} \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions

Calcul de la durée moyenne de la chute (\(t_{moy}\)).
Calcul de l’accélération gravitationnelle expérimentale (\(g_{exp}\)) en utilisant la formule de la chute libre sans vitesse initiale (\(h = \frac{1}{2} g t^2\)).
Comparaison avec la valeur théorique de \(g\) et discussion des sources d’erreur.
Extension de l’expérience :
- Si la hauteur de la chute était doublée (\(h' = 3 \, \text{m}\)), calculez le nouveau temps de chute théorique (\(t'_{theo}\)).
- Si la bille était lâchée depuis une hauteur de \(h'' = 5 \, \text{m}\), quel serait le temps de chute théorique (\(t''_{theo}\)) ?

Correction : Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

1. Calcul de la Durée Moyenne de la Chute (\(t_{moy}\))

Pour obtenir une valeur plus fiable du temps de chute, on calcule la moyenne des temps mesurés lors des différents essais. \[ t_{moy} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{\text{Nombre d'essais}} \]

Données pour cette étape

\(t_1 = 0.55 \, \text{s}\)
\(t_2 = 0.56 \, \text{s}\)
\(t_3 = 0.54 \, \text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} t_{moy} &= \frac{0.55 \, \text{s} + 0.56 \, \text{s} + 0.54 \, \text{s}}{3} \\ t_{moy} &= \frac{1.65 \, \text{s}}{3} \\ t_{moy} &= 0.55 \, \text{s} \end{aligned}

Résultat

La durée moyenne de la chute est \(t_{moy} = 0.55 \, \text{s}\).

2. Calcul de l'Accélération Gravitationnelle Expérimentale (\(g_{exp}\))

Pour un objet en chute libre sans vitesse initiale (\(v_0 = 0\)), la hauteur de chute \(h\) est liée au temps de chute \(t\) et à l'accélération gravitationnelle \(g\) par la formule : \[ h = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g t^2 \] On peut réarranger cette formule pour exprimer \(g\) : \[ g = \frac{2h}{t^2} \] Nous utilisons la hauteur \(h\) et le temps moyen \(t_{moy}\) pour calculer la valeur expérimentale de \(g\).

Données pour cette étape

Hauteur : \(h = 1.5 \, \text{m}\)
Temps moyen : \(t_{moy} = 0.55 \, \text{s}\) (calculé à l'étape 1)

Calcul

\begin{aligned} g_{exp} &= \frac{2h}{t_{moy}^2} \\ g_{exp} &= \frac{2 \times 1.5 \, \text{m}}{(0.55 \, \text{s})^2} \\ g_{exp} &= \frac{3 \, \text{m}}{0.3025 \, \text{s}^2} \\ g_{exp} &\approx 9.917 \, \text{m/s}^2 \end{aligned}

Résultat

La valeur expérimentale de l'accélération gravitationnelle obtenue est \(g_{exp} \approx 9.92 \, \text{m/s}^2\).

3. Comparaison avec la Valeur Théorique et Sources d'Erreur

Comparaison

La valeur théorique standard de \(g\) est \(g_{theo} \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\). Comparons notre résultat expérimental \(g_{exp} \approx 9.92 \, \text{m/s}^2\). L'écart absolu est \(|g_{exp} - g_{theo}| \approx |9.92 - 9.81| = 0.11 \, \text{m/s}^2\). L'écart relatif (en pourcentage) est :

\text{Ecart relatif} = \frac{|g_{exp} - g_{theo}|}{g_{theo}} \times 100\% \] \[ \text{Ecart relatif} \approx \frac{0.11}{9.81} \times 100\% \] \[ \text{Ecart relatif} \approx 1.1\%

La valeur expérimentale est légèrement supérieure à la valeur théorique, avec un écart d'environ 1.1%.

Discussion des Sources d'Erreur Possibles

Plusieurs facteurs peuvent expliquer l'écart entre la valeur expérimentale et la valeur théorique :

Erreur de mesure du temps (\(t\)) : La principale source d'erreur est souvent le chronométrage manuel. Le temps de réaction pour démarrer et arrêter le chronomètre introduit une incertitude. Si le temps mesuré est systématiquement sous-estimé (par exemple, arrêt du chrono un peu trop tôt), cela conduit à une valeur de \(g\) surestimée (car \(t\) est au dénominateur au carré). Inversement, si le temps est surestimé, \(g\) sera sous-estimée. La dispersion des mesures (0.54s à 0.56s) montre cette incertitude.
Erreur de mesure de la hauteur (\(h\)) : Une imprécision dans la mesure de la hauteur de chute affecte directement le calcul de \(g\).
Résistance de l'air : La formule \(h = \frac{1}{2}gt^2\) néglige la résistance de l'air. Cette force de frottement s'oppose au mouvement et ralentit légèrement la chute, augmentant le temps réel de chute par rapport au temps théorique. Prendre en compte la résistance de l'air tendrait à *diminuer* la valeur calculée de \(g\). Notre valeur étant légèrement supérieure, la résistance de l'air n'est probablement pas l'erreur dominante ici, ou elle est masquée par l'erreur de chronométrage.
Vitesse initiale non nulle : Si la bille n'est pas lâchée parfaitement sans vitesse initiale (par exemple, légèrement poussée vers le bas), le temps de chute sera plus court, conduisant à une surestimation de \(g\).
Valeur locale de \(g\) : La valeur de \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\) est une moyenne. La valeur réelle varie légèrement avec la latitude et l'altitude.

Conclusion de l'analyse

La valeur expérimentale \(g_{exp} \approx 9.92 \, \text{m/s}^2\) est proche de la valeur théorique \(g_{theo} \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\), avec un écart d'environ 1.1%. Les erreurs de mesure, notamment le chronométrage, sont les causes les plus probables de cet écart.

4. Extension de l’Expérience (Nouvelles Hauteurs)

Pour calculer le temps de chute théorique (\(t_{theo}\)) pour différentes hauteurs, nous utilisons la formule de la chute libre réarrangée, avec la valeur théorique de \(g\). \[ t_{theo} = \sqrt{\frac{2h}{g_{theo}}} \]

Données pour cette étape

Accélération gravitationnelle théorique : \(g_{theo} = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Nouvelle hauteur 1 : \(h' = 3 \, \text{m}\)
Nouvelle hauteur 2 : \(h'' = 5 \, \text{m}\)

Calculs

Temps de chute théorique pour \(h' = 3 \, \text{m}\) :

\begin{aligned} t'_{theo} &= \sqrt{\frac{2h'}{g_{theo}}} \\ t'_{theo} &= \sqrt{\frac{2 \times 3 \, \text{m}}{9.81 \, \text{m/s}^2}} \\ t'_{theo} &= \sqrt{\frac{6}{9.81}} \, \text{s} \\ t'_{theo} &\approx \sqrt{0.6116} \, \text{s} \\ t'_{theo} &\approx 0.782 \, \text{s} \end{aligned}

Temps de chute théorique pour \(h'' = 5 \, \text{m}\) :

\begin{aligned} t''_{theo} &= \sqrt{\frac{2h''}{g_{theo}}} \\ t''_{theo} &= \sqrt{\frac{2 \times 5 \, \text{m}}{9.81 \, \text{m/s}^2}} \\ t''_{theo} &= \sqrt{\frac{10}{9.81}} \, \text{s} \\ t''_{theo} &\approx \sqrt{1.019} \, \text{s} \\ t''_{theo} &\approx 1.01 \, \text{s} \end{aligned}

Résultats (Extension)

Le temps de chute théorique pour une hauteur de 3 m est \(t'_{theo} \approx 0.78 \, \text{s}\).
Le temps de chute théorique pour une hauteur de 5 m est \(t''_{theo} \approx 1.01 \, \text{s}\).

Comme attendu, le temps de chute augmente avec la hauteur, mais pas linéairement (il augmente avec la racine carrée de la hauteur).

Chute Libre et Accélération Gravitationnelle