Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

Comprendre le Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

Un petit avion réalise une mission de reconnaissance au-dessus d’une région montagneuse. Il doit survoler trois points d’intérêt, désignés A, B et C, situés sur un même plan horizontal.

Ces points sont atteints respectivement aux temps donnés ci-dessous, avec les positions suivantes :

Données:

  • Point A : Position \((0, 0)\) m au temps \(t_A = 0\) secondes.
  • Point B : Position \((1500, 1000)\) m au temps \(t_B = 300\) secondes.
  • Point C : Position \((3500, 500)\) m au temps \(t_C = 700\) secondes.
Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

Objectif:

Calculer le vecteur vitesse moyenne de l’avion entre chaque paire de points (de A à B, puis de B à C).

Questions:

1. Calculer le vecteur déplacement de A à B.

2. Calculer le vecteur déplacement de B à C.

3. Calculer les vecteurs vitesse moyenne:

  • Déterminer le vecteur vitesse moyenne de A à B.
  • Déterminer le vecteur vitesse moyenne de B à C.

4. Analyser et comparer les deux vecteurs vitesses.

Correction : Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

1. Calcul du vecteur déplacement de A à B

  • Position de A : \(\vec{r}_A = (0, 0)\) m
  • Position de B : \(\vec{r}_B = (1500, 1000)\) m
  • Temps écoulé : \(\Delta t_{AB} = t_B – t_A = 300 – 0 = 300\) s

Vecteur déplacement:

\[ \vec{d}_{AB} = \vec{r}_B – \vec{r}_A \] \[ \vec{d}_{AB} = (1500 – 0, 1000 – 0) \] \[ \vec{d}_{AB} = (1500, 1000)\, \text{m} \]

2. Calcul du vecteur déplacement de B à C

  • Position de C : \(\vec{r}_C = (3500, 500)\) m
  • Temps écoulé : \(\Delta t_{BC} = t_C – t_B = 700 – 300 = 400\) s

Vecteur déplacement:

\[ \vec{d}_{BC} = \vec{r}_C – \vec{r}_B \] \[ \vec{d}_{BC} = (3500 – 1500, 500 – 1000) \] \[ \vec{d}_{BC} = (2000, -500)\, \text{m} \]

3. Calcul des Vecteurs Vitesse Moyenne

Vecteur vitesse moyenne de A à B

\[ \vec{v}_{AB} = \frac{\vec{d}_{AB}}{\Delta t_{AB}} \] \[ \vec{v}_{AB} = \left(\frac{1500}{300}, \frac{1000}{300}\right) \] \[ \vec{v}_{AB} = (5, 3.33)\, \text{m/s} \]

Vecteur vitesse moyenne de B à C

\[ \vec{v}_{BC} = \frac{\vec{d}_{BC}}{\Delta t_{BC}} \] \[ \vec{v}_{BC} = \left(\frac{2000}{400}, \frac{-500}{400}\right) \] \[ \vec{v}_{BC} = (5, -1.25)\, \text{m/s} \]

4. Analyse et Comparaison des Vecteurs Vitesse

Comparaison des magnitudes des vitesses:

  • Magnitude de \(\vec{v}_{AB}\):

\[ |\vec{v}_{AB}| = \sqrt{5^2 + 3.33^2} \] \[ |\vec{v}_{AB}| = \sqrt{25 + 11.09} \] \[ |\vec{v}_{AB}| = \sqrt{36.09} \] \[ |\vec{v}_{AB}| \approx 6.01\, \text{m/s} \]

  • Magnitude de \(\vec{v}_{BC}\):

\[ |\vec{v}_{BC}| = \sqrt{5^2 + (-1.25)^2} \] \[ |\vec{v}_{BC}| = \sqrt{25 + 1.56} \] \[ |\vec{v}_{BC}| = \sqrt{26.56} \] \[ |\vec{v}_{BC}| \approx 5.16\, \text{m/s} \]

Discussion

Les calculs montrent que l’avion a maintenu une composante horizontale de la vitesse constante à 5 m/s tout au long du vol de A à C.

Cependant, la composante verticale de la vitesse a diminué, passant de 3.33 m/s à -1.25 m/s, indiquant une réduction dans la vitesse verticale alors que l’avion se dirigeait vers le point C.

La magnitude totale de la vitesse a également légèrement diminué, ce qui pourrait refléter une manœuvre délibérée pour ralentir lors de l’approche du point C ou une réponse aux conditions aériennes.

Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet

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