Étude d'une Flèche de Grue en Mouvement

Énoncé : Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement

Une grue de chantier est utilisée pour déplacer des charges. Nous nous intéressons au mouvement du chariot qui se déplace le long de la flèche horizontale de la grue. La flèche est supposée parfaitement horizontale.

Contexte

Les grues sont des engins de levage essentiels sur les chantiers de construction pour déplacer des matériaux lourds. Le contrôle précis du mouvement du chariot le long de la flèche, ainsi que du levage de la charge, est crucial pour la sécurité et l'efficacité des opérations. Comprendre les principes de base de ces mouvements, comme la vitesse et la distance, permet d'optimiser les manœuvres et de prévenir les accidents.

Schéma simplifié d'une flèche de grue avec le chariot se déplaçant de A vers B.

Données du Problème

Le chariot se déplace horizontalement le long de la flèche.
La position initiale du centre du chariot est au point A, d'abscisse \(x_A = 2,0 \, \text{m}\) par rapport à l'origine O (base de la flèche).
Le chariot se déplace vers la droite à une vitesse constante \(v = 0,5 \, \text{m/s}\).
Le mouvement dure un temps \( \Delta t = 10,0 \, \text{s}\).

Questions

Quelle est la nature du mouvement du chariot le long de la flèche ? Justifier.
Calculer la distance \(d\) parcourue par le chariot pendant la durée \( \Delta t \).
Déterminer l'abscisse \(x_B\) de la position finale B du centre du chariot après ce déplacement.
Si le chariot doit atteindre une position C d'abscisse \(x_C = 15,0 \, \text{m}\) en partant de A, combien de temps \( \Delta t' \) mettra-t-il à cette même vitesse ?
Représenter sur un axe horizontal (Ox) les positions A, B et C. Choisir une échelle appropriée.

Correction : Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement

1. Nature du Mouvement du Chariot

Pour déterminer la nature du mouvement, il faut considérer la trajectoire et l'évolution de la vitesse.

Analyse

La flèche de la grue est horizontale, donc la trajectoire du chariot est une ligne droite. Il est indiqué que la vitesse du chariot est constante (\(v = 0,5 \, \text{m/s}\)).

Résultat

Le mouvement du chariot est rectiligne (car il se déplace le long d'une droite) et uniforme (car sa vitesse est constante). C'est donc un mouvement rectiligne uniforme.

2. Distance \(d\) Parcourue par le Chariot

Pour un mouvement uniforme, la distance parcourue \(d\) est donnée par la relation : \(d = v \times \Delta t\), où \(v\) est la vitesse et \(\Delta t\) est la durée du mouvement.

Données pour cette étape

Vitesse \(v = 0,5 \, \text{m/s}\)
Durée \(\Delta t = 10,0 \, \text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} d &= v \times \Delta t \\ &= 0,5 \, \text{m/s} \times 10,0 \, \text{s} \\ &= 5,0 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

La distance parcourue par le chariot est \(d = 5,0 \, \text{m}\).

3. Abscisse Finale \(x_B\) du Chariot

Le chariot se déplace vers la droite (sens positif de l'axe Ox). Sa nouvelle abscisse \(x_B\) est son abscisse initiale \(x_A\) augmentée de la distance parcourue \(d\).

Données pour cette étape

Abscisse initiale \(x_A = 2,0 \, \text{m}\)
Distance parcourue \(d = 5,0 \, \text{m}\) (calculée à l'étape 2)

Calcul

\begin{aligned} x_B &= x_A + d \\ &= 2,0 \, \text{m} + 5,0 \, \text{m} \\ &= 7,0 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

L'abscisse finale du centre du chariot est \(x_B = 7,0 \, \text{m}\).

4. Temps \( \Delta t' \) pour Atteindre la Position C

D'abord, calculons la distance \(d_{AC}\) à parcourir entre A et C. Ensuite, utilisons la relation \(\Delta t' = \frac{d_{AC}}{v}\) pour trouver le temps.

Données pour cette étape

Abscisse initiale \(x_A = 2,0 \, \text{m}\)
Abscisse finale \(x_C = 15,0 \, \text{m}\)
Vitesse \(v = 0,5 \, \text{m/s}\)

Calculs

a) Distance \(d_{AC}\) :

\begin{aligned} d_{AC} &= x_C - x_A \\ &= 15,0 \, \text{m} - 2,0 \, \text{m} \\ &= 13,0 \, \text{m} \end{aligned}

b) Temps \( \Delta t' \) :

\begin{aligned} \Delta t' &= \frac{d_{AC}}{v} \\ &= \frac{13,0 \, \text{m}}{0,5 \, \text{m/s}} \\ &= 26,0 \, \text{s} \end{aligned}

Résultat

Le chariot mettra \( \Delta t' = 26,0 \, \text{s} \) pour atteindre la position C en partant de A.

5. Représentation des Positions sur un Axe

Nous allons représenter les points O (origine, \(x_O = 0 \, \text{m}\)), A (\(x_A = 2,0 \, \text{m}\)), B (\(x_B = 7,0 \, \text{m}\)) et C (\(x_C = 15,0 \, \text{m}\)) sur un axe horizontal Ox. Choisissons une échelle : par exemple, 1 cm sur le dessin représente 1 m dans la réalité.

Schéma

Représentation des positions sur l'axe Ox. (Échelle : 20 pixels pour 1m sur ce schéma)

Résultat

Le schéma ci-dessus représente les positions A, B et C sur l'axe Ox, avec l'origine O. L'échelle doit être choisie en fonction de la place disponible pour le dessin.