Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement
Comprendre l’Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement
Dans un chantier de construction, une grue est utilisée pour déplacer des matériaux d’un point à un autre.
Le mécanisme de la grue permet à sa flèche de se déplacer en suivant une trajectoire parabolique pour optimiser le déplacement des charges.
Nous allons calculer la trajectoire suivie par un objet lorsque la grue le lâche à un certain angle et avec une certaine vitesse initiale.
Données:
- Vitesse initiale de l’objet, \( v_0 \) : 15 m/s
- Angle de lancement par rapport à l’horizontale, \( \theta \) : 30\(^{\circ}\)
- Accélération due à la gravité, \( g \) : 9.81 m/s\(^2\)
- Hauteur initiale de la flèche de la grue au moment du lâcher, \( h \) : 25 m
Questions:
1. Équation de la trajectoire :
Dériver l’équation de la trajectoire \( y(x) \) que suit l’objet en fonction de \( x \), la distance horizontale parcourue.
2. Portée maximale:
Calculer la distance horizontale maximale (portée) que l’objet atteindra avant de toucher le sol.
3. Hauteur maximale :
Déterminer la hauteur maximale atteinte par l’objet durant son trajet.
Correction : Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement
Données fournies:
- Vitesse initiale de l’objet \( v_0 = 15 \, \text{m/s} \)
- Angle de lancement \( \theta = 30^\circ \)
- Accélération due à la gravité \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
- Hauteur initiale \( h = 25 \, \text{m} \)
Conversion de l’angle en radians:
L’angle doit être converti en radians pour les calculs trigonométriques :
\[ \theta_{\text{radians}} = \frac{30 \times \pi}{180} \] \[ \theta_{\text{radians}} = \frac{\pi}{6} \, \text{radians} \]
1. Équation de la trajectoire
L’équation de la trajectoire \( y \) en fonction de \( x \) est donnée par :
\[ y = x \tan(\theta) – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\theta)} + h \]
En substituant les valeurs :
\[ y = x \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) – \frac{9.81 x^2}{2 \times (15)^2 \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} + 25 \] \[ y = x \times 0.577 – \frac{9.81 x^2}{337.5} + 25 \] \[ y = 0.577x – 0.0291 x^2 + 25 \]
2. Portée maximale
Pour trouver la portée maximale, résolvez \( y = 0 \) :
\[ 0 = 0.577x – 0.0291 x^2 + 25 \] \[ 0.0291 x^2 – 0.577x – 25 = 0 \]
En utilisant la formule quadratique
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
où \( a = 0.0291 \), \( b = -0.577 \), et \( c = -25 \) :
\[ x = \frac{0.577 \pm \sqrt{0.332929 + 2.9125}}{0.0582} \] \[ x \approx \frac{0.577 \pm 1.8015}{0.0582} \]
Calculons les deux solutions possibles pour \( x \) :
- \(x_1 \approx \frac{2.3785}{0.0582} \approx 40.88 \, \text{m}\)
- \(x_2 \approx \frac{-1.2245}{0.0582} \approx -21.04 \, \text{m} \, (\text{non valide puisque la distance ne peut pas être négative})\)
La portée maximale valide est donc d’environ 40.88 mètres.
3. Hauteur maximale
Le temps atteint à la hauteur maximale est :
\[ t = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \] \[ t = \frac{15 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{9.81} \] \[ t = \frac{15 \times 0.5}{9.81} \] \[ t \approx 0.765 \, \text{s} \]
La hauteur maximale \( y_{\text{max}} \) est :
\[ y_{\text{max}} = 15 \times 0.765 \times 0.5 – \frac{1}{2} \times 9.81 \times (0.765)^2 + 25 \] \[ y_{\text{max}} = 5.7375 – 2.87051 + 25 \] \[ y_{\text{max}} \approx 27.87 \, \text{m} \]
Résumé:
- L’équation de la trajectoire est \( y = 0.577x – 0.0291 x^2 + 25 \).
- La portée maximale est d’environ 40.88 mètres.
- La hauteur maximale atteinte est d’environ 27.87 mètres.
Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement
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