Exercices Physique Chimie

Calcul de la Résultante des Forces

Calcul de la Résultante des Forces

Calcul de la Résultante de Plusieurs Forces Concourantes

Comprendre le Calcul de la Résultante des Forces

En physique, une force est une action capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. C'est une grandeur vectorielle, caractérisée par une direction, un sens, et une intensité (ou module), exprimée en Newtons (N). Lorsqu'un objet est soumis à plusieurs forces simultanément, l'effet combiné de ces forces peut être représenté par une unique force appelée force résultante (\(\vec{R}\)). Déterminer cette résultante est crucial pour analyser le mouvement de l'objet ou vérifier son équilibre.

Données de l'étude

Un objet ponctuel M, situé à l'origine d'un repère (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)), est soumis à trois forces concourantes \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\), et \(\vec{F_3}\).

Caractéristiques des forces :

  • Force \(\vec{F_1}\) : module \(F_1 = 10 \, \text{N}\), direction : horizontale vers la droite (formant un angle \(\theta_1 = 0^\circ\) avec l'axe horizontal Ox).
  • Force \(\vec{F_2}\) : module \(F_2 = 15 \, \text{N}\), direction : formant un angle \(\theta_2 = 60^\circ\) avec l'axe horizontal Ox.
  • Force \(\vec{F_3}\) : module \(F_3 = 12 \, \text{N}\), direction : verticale vers le bas (formant un angle \(\theta_3 = -90^\circ\) ou \(270^\circ\) avec l'axe horizontal Ox).
Schéma : Forces appliquées à l'objet M
Ox Oy M F₁ F₂ 60° F₃

Schéma des trois forces concourantes appliquées au point M.

Questions à traiter

  1. Déterminer les composantes horizontales (\(F_{\text{ix}}\)) et verticales (\(F_{\text{iy}}\)) de chaque force \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\), et \(\vec{F_3}\). Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Calculer les composantes \(R_x\) et \(R_y\) de la force résultante \(\vec{R}\).
  3. Calculer le module (ou norme) \(R\) de la force résultante \(\vec{R}\).
  4. Déterminer l'angle \(\alpha\) que fait la force résultante \(\vec{R}\) avec l'axe horizontal Ox. Préciser le quadrant.
  5. (Optionnel) Représenter graphiquement la force résultante \(\vec{R}\) sur un schéma.

Correction : Calcul de la Résultante des Forces

Question 1 : Composantes des forces (\(F_{\text{ix}}\), \(F_{\text{iy}}\))

Principe :

Pour trouver les composantes d'une force \(\vec{F}\) de module \(F\) et formant un angle \(\theta\) avec l'axe Ox, on utilise les relations trigonométriques :
Composante horizontale : \(F_x = F \cdot \cos(\theta)\)
Composante verticale : \(F_y = F \cdot \sin(\theta)\)
L'angle \(\theta\) est mesuré dans le sens trigonométrique (anti-horaire) à partir de l'axe Ox positif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_x = F \cos \theta\] \[F_y = F \sin \theta\]
Données spécifiques et Calculs :

On rappelle : \(\cos(0^\circ)=1\), \(\sin(0^\circ)=0\); \(\cos(60^\circ)=0.5\), \(\sin(60^\circ) \approx 0.866\); \(\cos(-90^\circ)=0\), \(\sin(-90^\circ)=-1\).

  • Pour \(\vec{F_1}\) ( \(F_1 = 10 \, \text{N}\), \(\theta_1 = 0^\circ\) ) :
    \[ \begin{aligned} F_{1x} &= 10 \cdot \cos(0^\circ) \\ &= 10 \cdot 1 \\ &= 10 \, \text{N} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} F_{1y} &= 10 \cdot \sin(0^\circ) \\ &= 10 \cdot 0 \\ &= 0 \, \text{N} \end{aligned} \]
  • Pour \(\vec{F_2}\) ( \(F_2 = 15 \, \text{N}\), \(\theta_2 = 60^\circ\) ) :
    \[ \begin{aligned} F_{2x} &= 15 \cdot \cos(60^\circ) \\ &= 15 \cdot 0.5 \\ &= 7.5 \, \text{N} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} F_{2y} &= 15 \cdot \sin(60^\circ) \\ &\approx 15 \cdot 0.866 \\ &= 12.99 \, \text{N} \end{aligned} \]
  • Pour \(\vec{F_3}\) ( \(F_3 = 12 \, \text{N}\), \(\theta_3 = -90^\circ\) ) :
    \[ \begin{aligned} F_{3x} &= 12 \cdot \cos(-90^\circ) \\ &= 12 \cdot 0 \\ &= 0 \, \text{N} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} F_{3y} &= 12 \cdot \sin(-90^\circ) \\ &= 12 \cdot (-1) \\ &= -12 \, \text{N} \end{aligned} \]
Tableau récapitulatif des composantes :
Force Module (N) Angle \(\theta\) (°) Composante \(F_x\) (N) Composante \(F_y\) (N)
\(\vec{F_1}\) 10 0 10.00 0.00
\(\vec{F_2}\) 15 60 7.50 12.99
\(\vec{F_3}\) 12 -90 0.00 -12.00
Résultat Question 1 : Les composantes sont :
  • \(\vec{F_1}\) : \(F_{1x} = 10 \, \text{N}\), \(F_{1y} = 0 \, \text{N}\)
  • \(\vec{F_2}\) : \(F_{2x} = 7.5 \, \text{N}\), \(F_{2y} \approx 12.99 \, \text{N}\)
  • \(\vec{F_3}\) : \(F_{3x} = 0 \, \text{N}\), \(F_{3y} = -12 \, \text{N}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Une force de 5 N est dirigée selon l'axe Oy négatif. Ses composantes sont :

Question 2 : Composantes de la force résultante (\(R_x, R_y\))

Principe :

Les composantes de la force résultante \(\vec{R}\) sont obtenues en additionnant algébriquement les composantes correspondantes de chaque force individuelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_x = \sum F_{\text{ix}} = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x}\] \[R_y = \sum F_{\text{iy}} = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_x &= 10 \, \text{N} + 7.5 \, \text{N} + 0 \, \text{N} \\ &= 17.5 \, \text{N} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} R_y &= 0 \, \text{N} + 12.99 \, \text{N} + (-12 \, \text{N}) \\ &= 0.99 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les composantes de la force résultante sont \(R_x = 17.5 \, \text{N}\) et \(R_y \approx 0.99 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(R_x\) est positive et \(R_y\) est négative, la force résultante est dirigée vers :

Question 3 : Module de la force résultante (\(R\))

Principe :

Le module (ou norme) de la force résultante \(\vec{R}\) est calculé à partir de ses composantes \(R_x\) et \(R_y\) en utilisant le théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{(17.5)^2 + (0.99)^2} \\ &= \sqrt{306.25 + 0.9801} \\ &= \sqrt{307.2301} \\ &\approx 17.528 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le module de la force résultante est \(R \approx 17.53 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Le module d'une force est :

Question 4 : Angle \(\alpha\) de la force résultante \(\vec{R}\)

Principe :

L'angle \(\alpha\) que fait la force résultante \(\vec{R}\) avec l'axe horizontal Ox peut être déterminé à partir de ses composantes \(R_x\) et \(R_y\) en utilisant la fonction arc tangente. Il est important de considérer les signes de \(R_x\) et \(R_y\) pour déterminer le bon quadrant de l'angle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan \alpha = \frac{R_y}{R_x} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{R_y}{R_x} \\ &= \frac{0.99}{17.5} \\ &\approx 0.05657 \\ \alpha &= \arctan(0.05657) \\ &\approx 3.24^\circ \end{aligned} \]

Puisque \(R_x > 0\) (17.5 N) et \(R_y > 0\) (0.99 N), la force résultante se situe dans le premier quadrant. L'angle calculé est donc correct.

Résultat Question 4 : L'angle que fait la force résultante \(\vec{R}\) avec l'axe Ox est \(\alpha \approx 3.24^\circ\). Elle se situe dans le premier quadrant.

Quiz Q4 : Si \(R_x < 0\) et \(R_y > 0\), dans quel quadrant se situe la force résultante ?

Question 5 : Représentation graphique de \(\vec{R}\) (Optionnel)

Principe :

Pour représenter graphiquement la force résultante \(\vec{R}\), on peut utiliser ses composantes \(R_x\) et \(R_y\). Partant de l'origine M, on trace un segment horizontal de longueur proportionnelle à \(R_x\) (vers la droite si \(R_x > 0\), vers la gauche si \(R_x < 0\)), puis un segment vertical de longueur proportionnelle à \(R_y\) (vers le haut si \(R_y > 0\), vers le bas si \(R_y < 0\)). Le vecteur \(\vec{R}\) est le vecteur qui joint l'origine M à l'extrémité du second segment. Alternativement, on peut tracer un vecteur de longueur proportionnelle au module \(R\) et faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe Ox.

Schéma :
Schéma : Force Résultante R
Ox Oy M Rₓ = 17.5 N Rᵧ = 0.99 N R α ≈ 3.24°

Représentation de la force résultante R et de ses composantes.

Résultat Question 5 : Le schéma ci-dessus illustre la force résultante R avec son module \(R \approx 17.53 \, \text{N}\) et son angle \(\alpha \approx 3.24^\circ\) par rapport à l'horizontale.

Quiz Q5 : La méthode graphique pour trouver la résultante de deux forces (règle du parallélogramme) est équivalente à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La force résultante de plusieurs forces concourantes est :

7. Pour calculer les composantes d'une force \(\vec{F}\) d'angle \(\theta\) avec l'axe Ox, on utilise :

8. Si un objet est en équilibre sous l'action de plusieurs forces, sa force résultante est :

Glossaire

Force
Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. C'est une grandeur vectorielle.
Vecteur
Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (module). Utilisé pour représenter des grandeurs comme la force, la vitesse, le déplacement.
Module (ou Norme)
Intensité ou "longueur" d'un vecteur. Pour une force, c'est sa valeur numérique exprimée en Newtons (N).
Direction
Droite sur laquelle le vecteur agit (ex: horizontale, verticale, oblique à 30°).
Sens
Indique vers où le vecteur pointe sur sa direction (ex: vers la droite, vers le haut).
Composantes (ou Coordonnées) d'un vecteur
Projections d'un vecteur sur les axes d'un système de coordonnées (ex: \(F_x\) et \(F_y\)).
Force Résultante (\(\vec{R}\))
Force unique qui produit le même effet que l'ensemble des forces appliquées à un objet. C'est la somme vectorielle de toutes les forces.
Newton (N)
Unité de mesure de la force dans le Système International.
Trigonométrie
Branche des mathématiques traitant des relations entre les distances et les angles dans les triangles, notamment via les fonctions cosinus (\(\cos\)), sinus (\(\sin\)), et tangente (\(\tan\)).
Forces Concourantes
Forces dont les droites d'action se coupent en un même point.
Calcul de la Résultante des Forces - Exercice d'Application (Niveau Seconde)

D’autres exercices de physique seconde:

Analyse de l’Inertie sur une Piste
Analyse de l’Inertie sur une Piste

Analyse de l’Inertie sur une Piste Analyse de l’Inertie d'un Objet sur une Piste Horizontale Comprendre le Principe d'Inertie Le principe d'inertie, également connu sous le nom de première loi de Newton, est un concept fondamental en physique. Il stipule que si la...

Étude d’une onde sonore
Étude d’une onde sonore

Étude d’une Onde Sonore Étude d’une Onde Sonore Comprendre les Ondes Sonores Une onde sonore est une perturbation qui se propage dans un milieu matériel (comme l'air, l'eau ou un solide), transportant de l'énergie sans transporter de matière. Les sons que nous...

Analyse d’un Concert en Plein Air
Analyse d’un Concert en Plein Air

Analyse d’un Concert en Plein Air Analyse d’un Concert en Plein Air Comprendre la Propagation du Son et de la Lumière Lors d'un événement en plein air comme un concert, nous percevons à la fois des signaux lumineux (par exemple, les lumières de la scène, les effets...

Calcul du Grandissement de l’image
Calcul du Grandissement de l’image

Calcul du Grandissement de l’Image Calcul du Grandissement de l’Image en Optique Comprendre le Grandissement Transversal d'une Image En optique géométrique, lorsqu'un objet est placé devant un système optique (comme une lentille mince), une image de cet objet peut...

La force du vent sur un voilier
La force du vent sur un voilier

La Force du Vent sur un Voilier La Force du Vent sur un Voilier Comprendre la Force du Vent et la Pression Le vent est de l'air en mouvement. Lorsqu'il rencontre un obstacle, comme la voile d'un bateau, il exerce une poussée sur cet obstacle. Cette poussée est une...

Propriétés des Ondes Mécaniques sur l’Eau
Propriétés des Ondes Mécaniques sur l’Eau

Propriétés des Ondes Mécaniques sur l’Eau Propriétés des Ondes Mécaniques sur l’Eau Comprendre les Ondes à la Surface de l'Eau Les vagues ou les rides à la surface de l'eau sont des exemples courants d'ondes mécaniques. Une onde mécanique est la propagation d'une...

Calcul de la poussée d’Archimède
Calcul de la poussée d’Archimède

Calcul de la Poussée d’Archimède Calcul de la Poussée d’Archimède Comprendre la Poussée d'Archimède Lorsqu'un objet est immergé dans un fluide (liquide ou gaz), il subit une force verticale, dirigée de bas en haut, exercée par ce fluide : c'est la poussée d'Archimède...

Lois de la Réfraction
Lois de la Réfraction

Lois de la Réfraction de la Lumière Lois de la Réfraction de la Lumière Comprendre la Réfraction de la Lumière La réfraction est le phénomène de déviation d'un rayon lumineux lorsqu'il traverse la surface de séparation (appelée dioptre) entre deux milieux transparents...

Calcul de la vitesse d’un parachutiste
Calcul de la vitesse d’un parachutiste

Calcul de la Vitesse d’un Parachutiste Calcul de la Vitesse d’un Parachutiste Comprendre les Phases d'un Saut en Parachute et les Vitesses Associées Un saut en parachute se décompose en plusieurs phases distinctes, caractérisées par des vitesses de chute très...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *