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Exercices Physique Chimie

Principe d’incertitude de Heisenberg

Principe d’incertitude de Heisenberg

Principe d’incertitude de Heisenberg

Appliquer le principe d'incertitude de Heisenberg pour calculer les incertitudes minimales sur la quantité de mouvement, la vitesse, et la durée de vie d'un état énergétique pour un électron.

Le principe d'incertitude de Heisenberg est un concept fondamental de la mécanique quantique. Il stipule qu'il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle certaines paires de propriétés physiques d'une particule, connues sous le nom de variables conjuguées, peuvent être connues simultanément.

Les deux relations d'incertitude les plus courantes sont :

  • Incertitude sur la position et la quantité de mouvement : Si \(\Delta x\) est l'incertitude sur la position d'une particule selon un axe et \(\Delta p_x\) est l'incertitude sur la composante de sa quantité de mouvement selon ce même axe, alors :
    \[ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \]
  • Incertitude sur l'énergie et le temps : Si \(\Delta E\) est l'incertitude sur l'énergie d'un système et \(\Delta t\) est l'intervalle de temps pendant lequel le système reste dans cet état énergétique (ou la durée de la mesure de l'énergie), alors :
    \[ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \]

Où \(\hbar\) (prononcé "h-barre") est la constante de Planck réduite, définie par \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\), et \(h\) est la constante de Planck.

La quantité de mouvement \(p\) d'une particule de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est \(p = mv\).

Données du Problème

On s'intéresse à un électron.

  • Masse de l'électron : \(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
  • La position d'un électron est connue avec une incertitude \(\Delta x = 0.10 \text{ nm}\).
  • Dans une autre situation, l'énergie d'un électron dans un état excité est connue avec une incertitude \(\Delta E = 1.0 \text{ eV}\).

Constantes utiles :

  • Constante de Planck : \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\)
  • Constante de Planck réduite : \(\hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\)
  • Conversion : 1 nanomètre (nm) = \(10^{-9}\) mètre (m)
  • Conversion d'énergie : 1 électronvolt (eV) = \(1.602 \times 10^{-19}\) Joule (J)
e- Δx Δpx Principe d'Incertitude de Heisenberg
Illustration de l'incertitude sur la position et la quantité de mouvement d'un électron.

Questions

  1. Convertir l'incertitude sur la position \(\Delta x\) en mètres.
  2. Calculer l'incertitude minimale sur la quantité de mouvement \(\Delta p_x\) de l'électron (selon l'axe x).
  3. En déduire l'incertitude minimale sur la vitesse \(\Delta v_x\) de l'électron.
  4. Convertir l'incertitude sur l'énergie \(\Delta E\) en Joules.
  5. Calculer la durée de vie minimale \(\Delta t\) de l'état excité de l'électron (incertitude minimale sur le temps).

Correction : Principe d’incertitude de Heisenberg

1. Conversion de l'Incertitude sur la Position \(\Delta x\)

On convertit les nanomètres (nm) en mètres (m).

Données :
\(\Delta x = 0.10 \text{ nm}\)
1 nm = \(10^{-9}\) m

\[ \begin{aligned} \Delta x &= 0.10 \text{ nm} \\ &= 0.10 \times 10^{-9} \text{ m} \\ &= 1.0 \times 10^{-10} \text{ m} \end{aligned} \]

L'incertitude sur la position est \(\Delta x = 1.0 \times 10^{-10} \text{ m}\).

2. Calcul de l'Incertitude Minimale sur la Quantité de Mouvement \(\Delta p_x\)

On utilise la relation d'incertitude de Heisenberg : \(\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}\). L'incertitude minimale correspond à l'égalité.

Données :
\(\Delta x = 1.0 \times 10^{-10} \text{ m}\)
\(\hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\)

\[ \begin{aligned} \Delta p_{x, min} &= \frac{\hbar}{2 \Delta x} \\ &\approx \frac{1.054 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{2 \times 1.0 \times 10^{-10} \text{ m}} \\ &\approx \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2.0 \times 10^{-10}} \\ &\approx 0.527 \times 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m/s} \\ &\approx 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]

(Note : 1 J·s/m = 1 (kg·m²/s²)·s/m = 1 kg·m/s, l'unité de la quantité de mouvement).

L'incertitude minimale sur la quantité de mouvement est \(\Delta p_{x, min} \approx 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si l'incertitude sur la position \(\Delta x\) d'une particule augmente, l'incertitude minimale sur sa quantité de mouvement \(\Delta p_x\) :

3. Incertitude Minimale sur la Vitesse \(\Delta v_x\)

La quantité de mouvement est \(p_x = m_e v_x\), donc \(\Delta p_x = m_e \Delta v_x\) (si la masse est connue avec précision).

Données :
\(\Delta p_{x, min} \approx 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s}\)
\(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)

\[ \begin{aligned} \Delta v_{x, min} &= \frac{\Delta p_{x, min}}{m_e} \\ &\approx \frac{5.27 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}} \\ &\approx 0.5785 \times 10^6 \text{ m/s} \\ &\approx 5.79 \times 10^5 \text{ m/s} \end{aligned} \]

L'incertitude minimale sur la vitesse est \(\Delta v_{x, min} \approx 5.79 \times 10^5 \text{ m/s}\).

4. Conversion de l'Incertitude sur l'Énergie \(\Delta E\)

On convertit les électronvolts (eV) en Joules (J).

Données :
\(\Delta E = 1.0 \text{ eV}\)
1 eV = \(1.602 \times 10^{-19}\) J

\[ \begin{aligned} \Delta E (J) &= 1.0 \text{ eV} \times (1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) \\ &= 1.602 \times 10^{-19} \text{ J} \end{aligned} \]

L'incertitude sur l'énergie est \(\Delta E = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}\).

5. Calcul de la Durée de Vie Minimale \(\Delta t\) de l'État Excité

On utilise la relation d'incertitude énergie-temps : \(\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}\). L'incertitude minimale sur le temps correspond à l'égalité.

Données :
\(\Delta E = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}\)
\(\hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_{min} &= \frac{\hbar}{2 \Delta E} \\ &\approx \frac{1.054 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{2 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}} \\ &\approx \frac{1.054 \times 10^{-34}}{3.204 \times 10^{-19}} \\ &\approx 0.32896 \times 10^{-15} \text{ s} \\ &\approx 3.29 \times 10^{-16} \text{ s} \end{aligned} \]

La durée de vie minimale de l'état excité est \(\Delta t_{min} \approx 3.29 \times 10^{-16} \text{ s}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si l'incertitude sur l'énergie \(\Delta E\) d'un état quantique diminue, la durée de vie minimale \(\Delta t\) de cet état :

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Le principe d'incertitude de Heisenberg stipule qu'il est impossible de connaître simultanément avec une précision infinie :

Question 2 : Si l'incertitude sur la position d'une particule est très faible, alors l'incertitude sur sa quantité de mouvement est :

Question 3 : La constante de Planck réduite \(\hbar\) est égale à :

Question 4 : L'incertitude d'Heisenberg est due à :

Glossaire des Termes Clés

Principe d'Incertitude de Heisenberg :

Principe fondamental de la mécanique quantique stipulant qu'il existe une limite à la précision avec laquelle certaines paires de propriétés physiques (variables conjuguées) d'une particule peuvent être connues simultanément.

Incertitude sur la Position (\(\Delta x\)) :

Indétermination ou imprécision dans la connaissance de la position d'une particule.

Incertitude sur la Quantité de Mouvement (\(\Delta p_x\)) :

Indétermination ou imprécision dans la connaissance de la quantité de mouvement d'une particule.

Quantité de Mouvement (\(p\)) :

Produit de la masse d'une particule par sa vitesse (\(p=mv\)).

Incertitude sur l'Énergie (\(\Delta E\)) :

Indétermination ou imprécision dans la connaissance de l'énergie d'un système.

Incertitude sur le Temps (\(\Delta t\)) :

Intervalle de temps pendant lequel un système reste dans un état énergétique donné, ou durée d'une mesure d'énergie.

Constante de Planck (\(h\)) :

Constante fondamentale de la physique quantique. \(h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\).

Constante de Planck Réduite (\(\hbar\)) :

Constante de Planck divisée par \(2\pi\). \(\hbar = h/(2\pi) \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\).

Électronvolt (eV) :

Unité d'énergie couramment utilisée en physique atomique et des particules, égale à l'énergie acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi le principe d'incertitude de Heisenberg n'est-il pas apparent pour les objets macroscopiques de notre quotidien ?

2. Comment le principe d'incertitude énergie-temps est-il lié à la largeur des raies spectrales émises par les atomes excités ?

3. Le principe d'incertitude implique-t-il que l'univers est fondamentalement indéterministe à l'échelle quantique ? Discutez.

4. Si l'on essaie de mesurer la position d'un électron avec une très grande précision (en utilisant par exemple de la lumière de très courte longueur d'onde), comment cela affecte-t-il sa quantité de mouvement ?

5. Recherchez le concept de "vide quantique" et comment le principe d'incertitude énergie-temps permet l'apparition de particules virtuelles.

Principe d’incertitude de Heisenberg

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