Étude de mouvement sur une pente inclinée

Remarque :

La composante parallèle de la force de gravité dépend de l’angle \( \theta \) via la fonction trigonométrique sinus \( \sin(\theta) \). Ainsi, il faut utiliser \( \sin(10°) \) pour déterminer la part de la force qui agit dans la direction du mouvement le long de la pente.

1. Calcul de la force gravitationnelle composante parallèle à la pente

La force gravitationnelle totale pesant sur l’objet est donnée par :

\[ F_{\text{grav}} = m \times g \]

Mais seule une partie de cette force est responsable du mouvement le long de la pente. Cette composante est obtenue en multipliant \( F_{\text{grav}} \) par le sinus de l’angle de la pente :

\[ F_{\parallel} = m \times g \times \sin(\theta) \]

Substitution numérique :

1. Calcul du sinus de 10° :
\[ \sin(10°) \approx 0,17365 \]

2. Force parallèle :
\[ F_{\parallel} = 50 \times 9,81 \times 0,17365 \]

3. Effectuons les multiplications successives :
- \( 9,81 \times 0,17365 \approx 1,703 \; \text{m/s}^2 \) (ce résultat représente le facteur de conversion de la force de gravité dans la direction de la pente par unité de masse)
- \( 50 \times 1,703 \approx 85,15 \; \text{N} \)

Résultat :
La composante de la force gravitationnelle parallèle à la pente est d'environ 85,15 N.

2. Calcul de l’accélération de la caisse

En l’absence de friction, la seule force agissant sur la caisse dans la direction de la pente est \( F_{\parallel} \). D’après la deuxième loi de Newton :

\[ F = m \times a \quad \text{ce qui implique} \quad a = \frac{F}{m} \]

Ici, on peut substituer \( F_{\parallel} \) directement, ce qui donne :

\[ a = \frac{F_{\parallel}}{m} = \frac{m \times g \times \sin(\theta)}{m} = g \times \sin(\theta) \]

Substitution numérique :

1. \( \sin(10°) \approx 0,17365 \)
2. Calcul de l'accélération :
\[ a = 9,81 \times 0,17365 \] \[ a \approx 1,703 \; \text{m/s}^2 \]

Explication des données :
Même si la masse est donnée, elle se simplifie dans le calcul car la force et l'inertie (masse) sont proportionnels. Ainsi, l'accélération dépend uniquement de l'accélération due à la gravité et de l'angle de la pente.

Résultat :
L’accélération de la caisse est d’environ 1,703 m/s².

3. Calcul du temps pour parcourir la distance de la pente

La caisse descend en partant du repos, donc on peut utiliser la relation de la cinématique pour un mouvement uniformément accéléré depuis le repos :

\[ s = \frac{1}{2} a t^2 \]

Nous souhaitons trouver \( t \). En isolant \( t \) dans l’équation, nous obtenons :

\[ t^2 = \frac{2s}{a} \quad \Longrightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \]

Substitution numérique :

1. Remplaçons \( s = 100 \) m et \( a \approx 1,703 \; \text{m/s}^2 \) :
\[ t = \sqrt{\frac{2 \times 100}{1,703}} \]

2. Calcul de l’expression sous la racine :
\[ \frac{2 \times 100}{1,703} \] \[ = \frac{200}{1,703} \] \[ \approx 117,43 \]

3. Donc,
\[ t \approx \sqrt{117,43} \] \[ t \approx 10,84 \; \text{s} \]

Résultat :
Le temps pour parcourir la pente de 100 mètres est d’environ 10,84 secondes.

4. Calcul de la vitesse finale de la caisse à la fin de la pente

Pour trouver la vitesse finale, on peut utiliser l’équation de la cinématique (partant du repos) :

\[ v^2 = 2 a s \quad \text{ou} \quad v = \sqrt{2 a s} \]

Substitution numérique :

1. Remplaçons \( a \approx 1,703 \; \text{m/s}^2 \) et \( s = 100 \; \text{m} \) :
\[ v = \sqrt{2 \times 1,703 \times 100} \]

2. Calcul intermédiaire :
\[ 2 \times 1,703 \times 100 = 340,6 \]

3. Donc,
\[ v \approx \sqrt{340,6} \] \[ v \approx 18,46 \; \text{m/s} \]

Explication supplémentaire :
On peut aussi obtenir \( v \) en multipliant l’accélération par le temps calculé précédemment (puisque \( v = a \times t \) pour un mouvement à accélération constante à partir du repos). En utilisant \( a \approx 1,703 \; \text{m/s}^2 \) et \( t \approx 10,84 \; \text{s} \), nous trouvons :
\[ v \approx 1,703 \times 10,84 \] \[ v \approx 18,46 \; \text{m/s} \]
Cela confirme la validité du calcul obtenu avec l’équation de la vitesse.

Résultat :
La vitesse finale de la caisse au bas de la pente est d’environ 18,46 m/s.