La Grande Course des Billes

1. Calcul de l’énergie potentielle

L’énergie potentielle (EP) d’un objet situé à une hauteur \( h \) s’exprime par la formule :

\[ EP = m \times g \times h \]

Substitution des valeurs :

\[ EP = 0,05\ \text{kg} \times 9,8\ \text{m/s}^2 \times 2\ \text{m} \]

Calcul détaillé :

1. Calcul de \( g \times h \) : \( 9,8 \times 2 = 19,6 \) m²/s²

2. Multiplier par la masse \( m \) : \( 0,05 \times 19,6 = 0,98 \)

Résultat :

\[ EP = 0,98\ \text{Joule} \]

2. Transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique

En appliquant la loi de la conservation de l’énergie (en l'absence de frottements), toute l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique (EC) en bas de la rampe. La formule de l’énergie cinétique est :

\[ EC = \frac{1}{2} \times m \times v^2 \]

Comme \( EP = EC \), nous avons :

\[ m \times g \times h = \frac{1}{2} \times m \times v^2 \]

Détail du raisonnement :

- La masse \( m \) apparaît de chaque côté de l’équation. Puisqu’elle est différente de zéro, nous pouvons diviser l’équation par \( m \) pour simplifier :

\[ g \times h = \frac{1}{2} \times v^2 \]

- Ensuite, pour isoler \( v^2 \), multiplions les deux côtés par 2 :

\[ 2 \times g \times h = v^2 \]

Substitution des valeurs :

\[ v^2 = 2 \times 9,8 \times 2 \]

1. Calcul intermédiaire : \( 2 \times 9,8 = 19,6 \), puis \( 19,6 \times 2 = 39,2 \)

Donc :

\[ v^2 = 39,2 \]

3. Calcul de la vitesse

Nous avons établi que :

\[ v^2 = 39,2 \]

Pour obtenir la vitesse \( v \), nous prenons la racine carrée des deux côtés :

\[ v = \sqrt{39,2} \]

Calcul de la racine carrée :

\[ v \approx 6,258\ \text{m/s} \]

Résultat :

\[ v \approx 6,26\ \text{m/s} \]

(On peut arrondir à deux décimales.)

4. Réflexion sur la vitesse calculée et impact des frottements

Explication :

1. Hypothèse théorique : Dans notre calcul, nous avons supposé qu’il n’y avait aucune force de frottement (ni frottement de roulement ni frottement de l’air). Cette hypothèse mène à l’application directe de la conservation de l’énergie, où l’énergie potentielle se convertit intégralement en énergie cinétique.

2. Réalité expérimentale :
- Frottement de roulement : La bille en roulant sur la rampe subit une résistance due aux frottements avec la surface. Ce frottement tend à transformer une partie de l’énergie mécanique en chaleur.
- Frottement de l’air : La résistance de l’air, bien que souvent moins significative à basse vitesse, dissipe également une partie de l’énergie sous forme de chaleur.

3. Conséquence : En présence de ces forces de frottement, toute l’énergie potentielle ne se convertira pas en énergie cinétique. En effet, une partie de l’énergie sera "perdue" lors du trajet, ce qui signifie que la vitesse réelle de la bille en bas de la rampe sera inférieure à la valeur théorique de \( 6,26 \) m/s.

4. Impact numérique (éventuel) : Un calcul plus détaillé intégrant un coefficient de friction ou une estimation de la perte d’énergie permettrait de corriger la valeur de \( v \). Toutefois, dans le cadre de cet exercice, il est suffisant de noter que des pertes d’énergie (énergie dissipée en chaleur) diminueraient la vitesse maximale atteinte.