Étude de la Transformation de l’Énergie
Comprendre l’Étude de la Transformation de l’Énergie
Alice et Bob participent à une compétition de saut en longueur dans leur école. Pour améliorer sa performance, Alice utilise un petit trampoline placé juste avant la ligne de saut.
Lorsqu’elle saute sur le trampoline, elle est propulsée en l’air avant de retomber et d’atterrir dans le sable.
On considère que le point le plus haut atteint par Alice lors de son saut est de 2 mètres au-dessus du trampoline. La masse d’Alice est de 40 kg.
Données:
- Hauteur maximale atteinte par Alice: h = 2 mètres
- Masse d’Alice: m = 40 kg
- Accélération due à la gravité: g = 9,8 m/s²
Questions:
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle au point le plus haut du saut:
2. Transformation en énergie cinétique
En supposant qu’au moment où Alice quitte le trampoline toute son énergie potentielle gravitationnelle se transforme en énergie cinétique, calculez cette énergie cinétique \(E_k\) en utilisant l’énergie potentielle calculée précédemment.
3. Vitesse d’Alice au moment de quitter le trampoline
En utilisant la formule de l’énergie cinétique, calculez la vitesse v d’Alice au moment où elle quitte le trampoline.
4. Réflexion
Discutez de l’importance de la hauteur et de la masse dans la transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique. Que se passerait-il si Alice pesait plus lourd ou si elle sautait de plus haut ?
Correction : Étude de la Transformation de l’Énergie
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\))
La formule de l’énergie potentielle gravitationnelle est :
\[ E_p = m \times g \times h \]
Substitution des valeurs :
- \( m = 40 \) kg
- \( g = 9,8 \) m/s²
- \( h = 2 \) m
Calcul détaillé :
-
Multiplier la masse par l’accélération due à la gravité :
\[ 40 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^2 = 392 \, \text{N} \]
(puisque \( 1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg}\cdot\text{m/s}^2 \))
-
Multiplier le résultat par la hauteur :
\[ 392 \, \text{N} \times 2 \, \text{m} = 784 \, \text{J} \]
Résultat : \[ E_p = 784 \, \text{Joules} \]
2. Transformation en énergie cinétique
On suppose que, lors du saut, toute l’énergie potentielle gravitationnelle se transforme en énergie cinétique. Ainsi :
\[ E_k = E_p = 784 \, \text{Joules} \]
3. Calcul de la vitesse d’Alice au moment de quitter le trampoline
L’énergie cinétique est donnée par la formule :
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
Isolons la vitesse \( v \) :
\[ v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} \]
Substitution des valeurs :
- \( E_k = 784 \) J
- \( m = 40 \) kg
Calcul détaillé :
-
Calculer le numérateur :
\[ 2 \times E_k = 2 \times 784 \, \text{J} = 1568 \, \text{J} \]
-
Diviser par la masse :
\[ \frac{1568 \, \text{J}}{40 \, \text{kg}} = 39,2 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
-
Prendre la racine carrée du résultat :
\[ v = \sqrt{39,2 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \] \[ v \approx 6,26 \, \text{m/s} \]
Résultat : La vitesse d’Alice au moment de quitter le trampoline est d’environ 6,26 m/s.
4. Réflexion sur l’importance de la hauteur et de la masse
Influence de la hauteur :
La hauteur \( h \) apparaît directement dans le calcul de l’énergie potentielle :
\[ E_p = mgh \]
Une augmentation de \( h \) augmente proportionnellement \( E_p \) et par conséquent l’énergie cinétique, ce qui se traduit par une vitesse de départ plus élevée.Influence de la masse :
La masse \( m \) apparaît dans la formule :
\[ E_p = mgh \]
et influe sur la quantité totale d’énergie accumulée. Néanmoins, dans le calcul de la vitesse :\[ v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} \]
pour un saut où toute l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique, la masse se simplifie :\[ v = \sqrt{2gh} \]
Ainsi, pour une même hauteur, la vitesse de départ ne dépend pas de la masse. Toutefois, en pratique, une masse plus importante nécessiterait plus d’efforts pour atteindre la même hauteur.
Scénarios :
- Si Alice pesait plus lourd avec la même hauteur, \( E_p \) serait plus élevé, mais la vitesse reste donnée par \( v = \sqrt{2gh} \).
- Si Alice sautait de plus haut, \( h \) augmenterait, entraînant une augmentation de \( E_p \) et, par conversion, une vitesse de départ plus importante.
Conclusion
- Énergie potentielle au point le plus haut : \( E_p = 784 \, \text{J} \)
- Énergie cinétique (après conversion complète) : \( E_k = 784 \, \text{J} \)
- Vitesse d’Alice au moment de quitter le trampoline : \( v \approx 6,26 \, \text{m/s} \)
-
Réflexion sur les paramètres :
- La hauteur influe directement sur l’énergie potentielle et la vitesse : plus le saut est haut, plus la vitesse est élevée.
- La masse détermine la quantité totale d’énergie accumulée, bien que la vitesse, en cas de conversion totale, ne dépende que de la hauteur et de la gravité.
Étude de la Transformation de l’Énergie
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