Le Principe d'Incertitude de Heisenberg
Contexte : La dualité onde-corpuscule et les limites de la mesure.
Au cœur de la mécanique quantique se trouve une idée contre-intuitive : les particules, comme les électrons, peuvent se comporter à la fois comme des ondes et comme des corpuscules. Le Principe d'incertitude de HeisenbergUn principe fondamental de la mécanique quantique stipulant qu'on ne peut pas connaître simultanément avec une précision infinie la position et la quantité de mouvement d'une particule., formulé par Werner Heisenberg en 1927, est une conséquence directe de cette dualité. Il impose une limite fondamentale à la précision avec laquelle nous pouvons connaître simultanément certaines paires de propriétés physiques d'une particule, comme sa position et sa quantité de mouvementProduit de la masse d'un objet par sa vitesse (p = mv). C'est une mesure de l'inertie en mouvement.. Cet exercice explore ce principe à travers l'expérience classique d'un électron passant par une fente fine.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous aidera à comprendre que l'incertitude en physique quantique n'est pas due à des instruments de mesure imparfaits, mais qu'elle est une propriété intrinsèque et fondamentale de la nature.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la relation d'incertitude de Heisenberg dans un cas concret.
- Calculer l'incertitude sur la quantité de mouvement et la vitesse d'une particule.
- Comprendre le lien entre la localisation d'une particule et la dispersion de sa trajectoire.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Particule
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Particule étudiée | Électron |
| Masse de l'électron \((m)\) | \(9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}\) |
| Constante de Planck réduite \((\hbar)\) | \(1.054 \times 10^{-34}\ \text{J.s}\) |
Schéma de l'expérience
| Nom du Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale de l'électron | \(v_y\) (selon l'axe y) | \(2.0 \times 10^6\) | m/s |
| Largeur de la fente | \(a\) | \(50\) | nm (nanomètres) |
Questions à traiter
- Quelle est l'incertitude sur la position horizontale (\(\Delta x\)) de l'électron au moment où il traverse la fente ?
- En utilisant le principe d'incertitude de Heisenberg, calculer l'incertitude minimale sur la composante horizontale de sa quantité de mouvement (\(\Delta p_x\)).
- En déduire l'incertitude minimale sur la composante horizontale de sa vitesse (\(\Delta v_x\)).
- Comparer cette incertitude \(\Delta v_x\) à la vitesse initiale de l'électron \(v_y\). Le résultat vous semble-t-il négligeable ? Conclure sur l'effet du passage par la fente.
Les bases sur le Principe d'Incertitude
Le principe d'incertitude de Heisenberg est l'une des pierres angulaires de la physique quantique. Il ne s'agit pas d'une limite technologique, mais bien d'une caractéristique fondamentale de l'univers à l'échelle atomique.
L'inégalité de Heisenberg
Pour une particule, l'incertitude sur sa position selon un axe (notée \(\Delta x\)) et l'incertitude sur sa quantité de mouvement selon ce même axe (notée \(\Delta p_x\)) sont liées par la relation suivante :
\[ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \]
Où \(\hbar\) est la constante de Planck réduite. Cette formule signifie que si l'on connaît très précisément la position d'une particule (\(\Delta x\) est très petit), alors on connaît très mal sa quantité de mouvement (\(\Delta p_x\) est très grand), et vice-versa.
Correction : Le Principe d'Incertitude de Heisenberg
Question 1 : Incertitude sur la position horizontale (\(\Delta x\))
Principe
L'énoncé nous dit que l'électron passe par une fente de largeur \(a\). Au moment du passage, la seule chose que nous savons sur sa position horizontale est qu'il se trouve quelque part à l'intérieur de cette fente. La largeur de la fente définit donc directement l'incertitude maximale sur sa position.
Mini-Cours
En mécanique quantique, une "mesure" de position n'est pas toujours active. Le simple fait de contraindre une particule à passer par un espace défini (ici, la fente) constitue une mesure de sa position. L'incertitude \(\Delta x\) représente l'intervalle dans lequel on est certain de trouver la particule. Ici, cet intervalle est la largeur de la fente elle-même.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours de bien traduire les informations de l'énoncé en termes physiques. "L'électron passe par une fente de largeur a" se traduit mathématiquement par : "l'incertitude sur sa position horizontale est \(\Delta x = a\)". C'est un réflexe à acquérir.
Normes
En physique fondamentale, la "norme" est le principe théorique lui-même, validé par d'innombrables expériences. Il n'y a pas de code de construction, mais un principe fondamental de la nature que nous appliquons : le concept de mesure et d'incertitude en mécanique quantique.
Formule(s)
Identification de l'incertitude sur la position
Hypothèses
On suppose que la fente a des bords parfaitement définis et que sa largeur \(a\) est la seule contrainte sur la position de l'électron sur l'axe x.
Donnée(s)
Nous utilisons la seule donnée pertinente pour cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de la fente | a | 50 | nm |
Astuces
Toujours vérifier les unités ! Le nanomètre (nm) est très courant en physique des particules. Ayez en tête la conversion : \(1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la contrainte physique : l'électron est obligé de passer par l'ouverture, ce qui nous permet d'associer la largeur de la fente à l'incertitude sur la position horizontale.
Localisation par la fente
Calcul(s)
Conversion d'unités
Schéma (Après les calculs)
Le schéma suivant représente la fente avec sa dimension calculée en mètres, qui correspond à l'intervalle d'incertitude \(\Delta x\).
Visualisation de l'incertitude \(\Delta x\)
Réflexions
En forçant l'électron à passer par la fente, nous l'avons "localisé" sur l'axe horizontal avec une précision de 50 nm. Cette action de mesure, même passive, va avoir des conséquences inévitables sur d'autres propriétés de la particule, comme nous le verrons dans la question suivante.
Points de vigilance
Ne pas confondre la position \(x\) (qui est une coordonnée) et l'incertitude sur la position \(\Delta x\) (qui est un intervalle). La question porte bien sur l'intervalle d'incertitude.
Points à retenir
La contrainte physique imposée à une particule (comme une ouverture) définit l'incertitude sur sa position. C'est une étape clé pour appliquer le principe de Heisenberg.
Le saviez-vous ?
50 nanomètres, c'est environ 500 atomes de silicium mis côte à côte. C'est aussi la taille typique des plus petits virus !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la fente avait une largeur de 0.1 micromètre (µm), quelle serait l'incertitude \(\Delta x\) en mètres ? (1 µm = 1000 nm)
Question 2 : Incertitude minimale sur la quantité de mouvement (\(\Delta p_x\))
Principe
Maintenant que nous connaissons l'incertitude sur la position (\(\Delta x\)), nous pouvons utiliser la relation d'incertitude de Heisenberg pour trouver la valeur minimale de l'incertitude sur la quantité de mouvement (\(\Delta p_x\)). Le principe nous donne une inégalité, mais on s'intéresse ici au cas limite, c'est-à-dire à l'incertitude minimale possible, qui correspond au cas d'égalité.
Mini-Cours
La quantité de mouvement, \(p = mv\), représente l'inertie d'une particule en mouvement. L'incertitude \(\Delta p_x\) signifie que la particule n'a pas une quantité de mouvement parfaitement définie le long de l'axe x après être passée par la fente. Elle a acquis une "dispersion" de quantités de mouvement possibles, et \(\Delta p_x\) quantifie l'étendue de cette dispersion.
Remarque Pédagogique
Le mot "minimale" dans la question est crucial. Il nous indique d'utiliser le cas d'égalité dans la relation de Heisenberg. C'est le scénario le plus "parfait" où le produit des incertitudes atteint sa limite fondamentale la plus basse.
Normes
La "norme" ici est l'inégalité de Heisenberg, \(\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2\), qui est un pilier de la théorie quantique.
Formule(s)
Relation d'incertitude de Heisenberg
Hypothèses
On se place dans le cas idéal où le produit des incertitudes est minimal, c'est-à-dire égal à \(\hbar/2\). En réalité, il pourrait être plus grand, mais jamais plus petit.
Donnée(s)
Nous avons besoin de la constante de Planck réduite et du résultat de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de Planck réduite | \(\hbar\) | \(1.054 \times 10^{-34}\) | J.s |
| Incertitude sur la position | \(\Delta x\) | \(5.0 \times 10^{-8}\) | m |
Astuces
Le produit \(2 \cdot \Delta x\) au dénominateur est \(2 \times 5.0 \times 10^{-8} = 10 \times 10^{-8} = 1.0 \times 10^{-7}\). Calculer avec des puissances de 10 simples rend le calcul mental plus facile et moins sujet aux erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la relation comme une balance : si \(\Delta x\) diminue (on localise mieux), \(\Delta p_x\) doit augmenter pour maintenir l'équilibre dicté par \(\hbar/2\).
Balance de l'Incertitude
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre l'effet de la mesure : avant de passer la fente, la quantité de mouvement horizontale est nulle. Après, elle est "étalée" sur un intervalle d'incertitude \(\Delta p_x\).
Distribution de la quantité de mouvement \(p_x\)
Réflexions
Ce résultat, bien que très petit en valeur absolue, n'est pas nul. Cela signifie qu'après avoir traversé la fente, l'électron a nécessairement acquis une composante de quantité de mouvement horizontale incertaine. Il n'est plus possible de dire qu'il se déplace uniquement tout droit (selon l'axe y).
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier le facteur 2 au dénominateur. La formule est bien \(\hbar/2\). Une autre erreur est d'utiliser \(h\) (\(6.626 \times 10^{-34}\) J.s) au lieu de \(\hbar\) (\(h/2\pi\)). L'inégalité est plus souvent écrite avec \(\hbar\).
Points à retenir
La relation de Heisenberg est une relation inverse : plus l'incertitude sur la position (\(\Delta x\)) est petite, plus l'incertitude minimale sur la quantité de mouvement (\(\Delta p_x\)) est grande.
Le saviez-vous ?
Le principe d'incertitude ne s'applique pas qu'à la position et la quantité de mouvement. Il existe une autre paire célèbre : l'énergie et le temps (\(\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar/2\)). Cela explique par exemple que des particules "virtuelles" peuvent exister pendant un temps très court en "empruntant" de l'énergie à l'univers !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de \(\Delta p_{x, \text{min}}\) si la particule était un proton (masse \(\approx 1.67 \times 10^{-27}\) kg) passant par la même fente ?
Question 3 : Incertitude minimale sur la vitesse (\(\Delta v_x\))
Principe
La quantité de mouvement (\(p\)) est liée à la vitesse (\(v\)) par la relation simple \(p = mv\). Par conséquent, l'incertitude sur la quantité de mouvement (\(\Delta p_x\)) est directement proportionnelle à l'incertitude sur la vitesse (\(\Delta v_x\)), la masse \(m\) étant la constante de proportionnalité. On peut donc écrire \(\Delta p_x = m \cdot \Delta v_x\).
Mini-Cours
Puisque la masse \(m\) d'une particule comme l'électron est considérée comme une constante parfaitement connue dans ce contexte (non-relativiste), toute l'incertitude sur la quantité de mouvement \(\Delta p_x\) se reporte entièrement sur la vitesse \(\Delta v_x\). C'est cette incertitude de vitesse qui va concrètement modifier la trajectoire de la particule.
Remarque Pédagogique
Cette étape est une transition entre le monde abstrait de la quantité de mouvement et le monde plus concret de la vitesse. C'est la vitesse qui nous permet de visualiser la "dispersion" du faisceau après la fente. C'est un calcul simple mais conceptuellement important.
Normes
La "norme" ici est la définition classique de la quantité de mouvement, \(p=mv\), valable pour des vitesses non-relativistes (très inférieures à la vitesse de la lumière), ce qui est le cas ici.
Formule(s)
Relation Vitesse et Quantité de Mouvement
Hypothèses
On suppose que la masse de l'électron est constante et connue avec une précision parfaite. On se place dans un cadre non-relativiste.
Donnée(s)
On a besoin de la masse de l'électron et du résultat de la question 2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de l'électron | \(m\) | \(9.11 \times 10^{-31}\) | kg |
| Incertitude sur la q.d.m. | \(\Delta p_x\) | \(1.054 \times 10^{-27}\) | kg.m/s |
Astuces
Pour les calculs avec des puissances de 10, traitez séparément les nombres et les puissances : \(1.054 / 9.11 \approx 0.116\) et \(10^{-27} / 10^{-31} = 10^{-27 - (-31)} = 10^4\). Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre la relation de proportionnalité entre la quantité de mouvement et la vitesse pour une particule de masse m.
Relation \(p = mv\)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Similaire au schéma pour la quantité de mouvement, cette visualisation montre la distribution de la composante de vitesse horizontale après le passage par la fente.
Distribution de la vitesse \(v_x\)
Réflexions
Une incertitude de plus de 1000 m/s est une vitesse énorme à l'échelle humaine (plus de 4000 km/h !). Même si la vitesse initiale de l'électron est très grande, cette nouvelle composante de vitesse latérale, apparue "de nulle part", est significative et va visiblement dévier la particule de sa trajectoire rectiligne.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International avant de faire la division : \(\Delta p_x\) en kg.m/s et \(m\) en kg. Le résultat sera alors bien en m/s.
Points à retenir
L'incertitude sur la quantité de mouvement se traduit directement par une incertitude sur la vitesse. Pour les particules légères comme l'électron, une petite incertitude sur \(p\) peut entraîner une grande incertitude sur \(v\).
Le saviez-vous ?
C'est cette incertitude qui empêche les électrons d'un atome de "tomber" sur le noyau. S'ils étaient immobiles sur le noyau, leur position serait parfaitement connue (\(\Delta x \approx 0\)), leur \(\Delta p_x\) serait infini, et donc leur énergie cinétique aussi, ce qui est impossible. L'incertitude leur confère une énergie minimale qui les maintient en "orbite".
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez \(\Delta v_{x, \text{min}}\) pour un proton (masse \(\approx 1.67 \times 10^{-27}\) kg) dans les mêmes conditions (\(\Delta p_x\) est le même). Comparez le résultat à celui de l'électron.
Question 4 : Comparaison et conclusion
Principe
Cette dernière question nous demande de mettre en perspective le résultat obtenu. En comparant l'incertitude sur la vitesse horizontale (\(\Delta v_x\)) avec la vitesse initiale verticale (\(v_y\)), on peut juger de l'importance de l'effet quantique. Si \(\Delta v_x\) est très petit par rapport à \(v_y\), l'effet est négligeable. Sinon, il modifie de manière significative la trajectoire de la particule.
Mini-Cours
Le rapport \(\Delta v_x / v_y\) est relié à l'angle de diffraction du faisceau. En trigonométrie, pour un petit angle \(\theta\), on a \(\tan(\theta) \approx \theta \approx \Delta v_x / v_y\). Cet angle représente la demi-ouverture du cône dans lequel l'électron est susceptible de se propager après la fente. Une valeur non nulle de cet angle est la signature de la diffraction et donc du comportement ondulatoire de la matière.
Remarque Pédagogique
La physique ne se résume pas à des calculs. La dernière question est toujours la plus importante : "Qu'est-ce que ce résultat signifie ?". Apprendre à commenter et à critiquer un résultat est une compétence essentielle.
Normes
Pas de norme réglementaire ici, mais une application des règles de la comparaison de grandeurs physiques et de l'analyse dimensionnelle.
Formule(s)
Calcul du rapport adimensionnel
Hypothèses
On suppose que la vitesse initiale \(v_y\) n'a pas été modifiée par le passage dans la fente, et que la composante \(v_x\) était nulle avant la fente.
Donnée(s)
On compare la vitesse initiale de l'énoncé au résultat de la question 3.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_y\) | \(2.0 \times 10^6\) | m/s |
| Incertitude sur la vitesse | \(\Delta v_x\) | \(\approx 1160\) | m/s |
Astuces
Pas d'astuce particulière, il s'agit d'une simple division.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma suivant illustre les vecteurs vitesse que nous comparons. Avant la fente, le vecteur vitesse est purement vertical. Après, une composante horizontale incertaine apparaît, faisant dévier la trajectoire.
Composition des vecteurs vitesse
Calcul(s)
Application numérique du rapport
Le rapport est très faible (environ 0.06%). Cependant, une vitesse de plus de 1000 m/s (soit plus de 4000 km/h) dans une direction où il n'y en avait aucune au départ n'est absolument pas négligeable. Cela signifie que la trajectoire de l'électron n'est plus une ligne droite.
Schéma (Après les calculs)
Cette incertitude sur la vitesse horizontale se traduit par une dispersion du faisceau après la fente. L'angle de cette dispersion peut être estimé.
Dispersion de la trajectoire après la fente
Réflexions
Le fait de mesurer la position de l'électron (en le forçant à traverser la fente) a introduit une incertitude fondamentale sur sa direction. L'électron, qui arrivait en ligne droite, peut maintenant partir dans un cône de directions possibles. C'est l'essence même du principe d'incertitude : on ne peut pas "piéger" une particule quantique sans affecter son mouvement. L'acte de mesure perturbe le système.
Points de vigilance
Ne concluez pas trop vite que le résultat est "négligeable" juste parce que le rapport est petit. Il faut toujours se demander : "Négligeable par rapport à quoi et dans quel contexte ?". Une vitesse de 1160 m/s est tout sauf négligeable pour la trajectoire d'une particule.
Points à retenir
La localisation d'une particule quantique induit une dispersion de sa trajectoire. Cet effet est d'autant plus marqué que la particule est légère et que la localisation est précise (fente étroite).
Le saviez-vous ?
Le principe d'incertitude a des implications technologiques. Par exemple, dans les microscopes électroniques, pour voir des détails très fins (petit \(\Delta x\)), on doit utiliser des électrons de très haute énergie (grand \(p\)), ce qui peut endommager ou détruire l'échantillon observé. C'est un compromis permanent !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Une balle de fusil (masse 10g = 0.01 kg) passe par une porte de 1m de large (\(\Delta x = 1\) m). Calculez l'incertitude minimale sur sa vitesse latérale \(\Delta v_x\). Le résultat est-il mesurable ?
Outil Interactif : Explorez l'Incertitude
Utilisez ce simulateur pour voir comment l'incertitude sur la vitesse d'un électron change lorsque vous modifiez la largeur de la fente par laquelle il passe. Que se passe-t-il si vous rendez la fente de plus en plus étroite ?
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon le principe de Heisenberg, si l'on connaît la position d'une particule avec une très grande précision...
2. Dans notre exercice, si on utilisait une fente deux fois plus large (100 nm), l'incertitude minimale sur la vitesse (\(\Delta v_x\)) serait...
3. Le principe d'incertitude est-il observable pour des objets macroscopiques (ex: une balle de tennis) ?
4. L'unité de la constante de Planck (\(h\) ou \(\hbar\)) est le Joule-seconde (J.s). Cette unité est équivalente à :
5. Le phénomène physique qui illustre le mieux le comportement ondulatoire des électrons passant par une fente est :
- Principe d'incertitude de Heisenberg
- Un principe fondamental de la mécanique quantique stipulant qu'on ne peut pas connaître simultanément avec une précision infinie la position et la quantité de mouvement d'une particule.
- Quantité de mouvement (ou moment linéaire)
- Produit de la masse d'un objet par sa vitesse (\(p = mv\)). C'est une grandeur vectorielle qui caractérise l'état dynamique d'un point matériel.
- Constante de Planck réduite (\(\hbar\))
- Une constante fondamentale en physique quantique, égale à la constante de Planck \(h\) divisée par \(2\pi\). Elle apparaît dans la plupart des équations de la mécanique quantique.
- Diffraction
- Phénomène qui se produit lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture de dimension comparable à sa longueur d'onde. L'onde se propage alors dans des directions différentes après l'obstacle, ce qui se manifeste par un "étalement" du faisceau.
D’autres exercices de physique terminale:
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