Variation de la Célérité avec la Température
Contexte : La célérité du sonVitesse de propagation d'une onde sonore dans un milieu donné. Elle dépend des propriétés du milieu, comme sa température et sa compressibilité..
La vitesse de propagation d'une onde sonore n'est pas une constante universelle. Elle dépend intimement des propriétés du milieu qu'elle traverse. Dans l'air, assimilé à un gaz parfaitModèle thermodynamique décrivant le comportement des gaz réels à basse pression. Les interactions entre les molécules y sont négligées., l'un des facteurs les plus influents est la température. Cet exercice a pour but d'étudier et de quantifier cette relation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre et d'appliquer la relation fondamentale entre une propriété macroscopique du milieu (la température) et la vitesse de propagation d'une onde, un concept clé en acoustique et en thermodynamique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre l'influence de la température sur la célérité du son.
- Appliquer la formule de la célérité du son dans un gaz parfait en utilisant les bonnes unités.
- Calculer un temps de parcours et analyser l'impact d'une variation de température.
Données de l'étude
Constantes Physiques
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Coefficient adiabatique de l'air (\(\gamma\)) | 1,40 (adimensionnel) |
| Constante des gaz parfaits (R) | 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Masse molaire de l'air (M) | 29,0 g·mol⁻¹ |
Dispositif Expérimental
Questions à traiter
- Calculer la célérité du son dans l'air un jour d'hiver où la température est de \(\theta_1 = 5,0\) °C.
- En déduire la durée \(\Delta t_1\) nécessaire au son pour parcourir la distance \(d\) entre les deux microphones à cette température.
- Calculer la célérité du son dans l'air un jour d'été où la température est de \(\theta_2 = 35,0\) °C.
- En déduire la nouvelle durée de parcours \(\Delta t_2\) à cette température.
- Comparer les deux durées. Conclure sur l'influence de la température.
Les bases sur la Propagation du Son dans un Gaz
Une onde sonore est une onde mécanique qui se propage par une suite de compressions et de dilatations du milieu. Dans un gaz considéré comme parfait, sa célérité (ou vitesse de propagation) ne dépend pas de la pression ni de sa fréquence, mais principalement de la température et de la nature du gaz.
1. Formule de la Célérité du Son
La célérité \(v\) (en m/s) du son dans un gaz parfait est donnée par la relation de Laplace :
\[ v = \sqrt{\frac{\gamma \cdot R \cdot T}{M}} \]
Où :
- \(\gamma\) (gamma) est le coefficient adiabatique du gaz (sans unité).
- \(R\) est la constante des gaz parfaits (8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹).
- \(T\) est la température absolue du gaz en Kelvin (K)Unité de température du Système International. La conversion depuis les degrés Celsius est : T(K) = θ(°C) + 273,15..
- \(M\) est la masse molaire du gaz en kilogrammes par mole (kg·mol⁻¹).
2. Relation Vitesse, Distance et Temps
Pour une propagation à vitesse constante, la durée de parcours \(\Delta t\) (en s) est liée à la distance \(d\) (en m) et à la célérité \(v\) (en m/s) par la relation :
\[ \Delta t = \frac{d}{v} \]
Correction : Variation de la Célérité avec la Température
Question 1 : Calculer la célérité du son à 5,0 °C.
Principe
Le concept physique clé est que la célérité du son dans un gaz dépend de son agitation thermique. Plus la température est élevée, plus les molécules du gaz sont agitées, et plus la perturbation (l'onde sonore) se propage rapidement. On utilise la formule de Laplace qui modélise ce phénomène.
Mini-Cours
La formule \(v = \sqrt{\gamma RT/M}\) découle de l'étude des transformations adiabatiques (sans échange de chaleur) rapides que subit le gaz lors du passage de l'onde. Le terme \(\sqrt{RT/M}\) est lié à la vitesse quadratique moyenne des molécules du gaz, montrant bien le lien direct entre agitation moléculaire et vitesse de l'onde.
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul en physique, prenez l'habitude de lister les données et de vérifier leurs unités. C'est la source d'erreur la plus fréquente. Ici, la température et la masse molaire nécessitent une conversion. C'est un réflexe à acquérir.
Normes
En physique, nous n'utilisons pas de "normes" de construction, mais nous nous basons sur des constantes et des unités fondamentales définies par le Système International (SI). Les valeurs de \(R\) et les définitions du Kelvin et du kilogramme sont standardisées mondialement pour garantir l'universalité des résultats.
Formule(s)
Formule de conversion de la température
Formule de la célérité (Laplace)
Hypothèses
Pour que ces calculs soient valides, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'air est assimilé à un gaz parfait.
- Le milieu de propagation (l'air) est homogène et au repos (pas de vent).
- La propagation de l'onde est une transformation adiabatique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température | \(\theta_1\) | 5,0 | °C |
| Coefficient adiabatique | \(\gamma\) | 1,40 | - |
| Cste. des gaz parfaits | \(R\) | 8,314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Masse molaire de l'air | \(M\) | 29,0 | g·mol⁻¹ |
Astuces
Pour vérifier rapidement votre résultat, souvenez-vous que la célérité du son dans l'air à température ambiante (~20°C) est d'environ 343 m/s. Pour une température plus basse comme 5°C, votre résultat doit être logiquement un peu inférieur.
Schéma (Avant les calculs)
Propagation du son de A vers B
Calcul(s)
Conversion de la température
Conversion de la masse molaire
Calcul de la célérité \(v_1\)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
Réflexions
Le résultat de 334 m/s est cohérent avec l'astuce de vérification. Il montre que même une température proche de 0°C ne réduit pas drastiquement la vitesse du son par rapport aux valeurs usuelles. Cela signifie que le son se propage toujours très rapidement, même en hiver.
Points de vigilance
Les deux erreurs à éviter absolument :
1. Oublier de convertir les degrés Celsius en Kelvin. C'est une erreur conceptuelle grave car la relation de proportionnalité est avec la température absolue.
2. Utiliser la masse molaire en g/mol. Cela conduirait à un résultat 1000 fois trop grand sous la racine, donc environ 31.6 fois trop grand au final (ex: ~10500 m/s), ce qui est physiquement absurde pour le son dans l'air.
Points à retenir
- La célérité du son dépend de la racine carrée de la température absolue \(T\).
- Toutes les unités doivent être converties dans le Système International avant l'application numérique.
Le saviez-vous ?
Le "mur du son" a été franchi pour la première fois en 1947 par Chuck Yeager. La vitesse à atteindre dépendait de la température en altitude. Plus il faisait froid, plus la célérité du son était faible, et donc plus le "mur" était "facile" à franchir en termes de vitesse absolue.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
À la même température de 5,0°C, quelle serait la célérité du son dans du dioxyde de carbone (\(M=44,0 \text{ g/mol}\), \(\gamma=1,30\)) ?
Question 2 : Calculer la durée de parcours \(\Delta t_1\) à 5,0 °C.
Principe
Le concept ici est la définition même de la vitesse pour un mouvement uniforme : la vitesse est la distance parcourue par unité de temps. En réarrangeant cette relation, on peut isoler le temps de parcours.
Mini-Cours
La relation \(v = d/\Delta t\) est fondamentale en cinématique. Elle suppose que la vitesse de propagation est constante sur toute la distance \(d\), ce qui est une excellente approximation pour le son sur des distances terrestres, en l'absence de forts gradients de température ou de vent.
Remarque Pédagogique
Pour une meilleure précision, il est conseillé d'utiliser la valeur non arrondie de la célérité \(v_1\) (334,15 m/s) dans ce calcul intermédiaire. Vous n'arrondirez le résultat final qu'à la toute fin, en respectant les règles sur les chiffres significatifs.
Normes
Cette question n'invoque pas de norme particulière, mais repose sur la définition des unités de base du SI : le mètre (m) pour la distance, la seconde (s) pour le temps, et donc le mètre par seconde (m/s) pour la vitesse.
Formule(s)
Formule du temps de parcours
Hypothèses
On conserve l'hypothèse que la célérité est constante sur tout le trajet de 50,0 m.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance | \(d\) | 50,0 | m |
| Célérité (non arrondie) | \(v_1\) | 334,15 | m/s |
Astuces
Un calcul mental rapide : 50 divisé par ~330, c'est comme 5 / 33, soit environ 1/6.6, ce qui donne à peu près 0,15 s. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Trajet du son à la vitesse v₁
Calcul(s)
Calcul de la durée de parcours \(\Delta t_1\)
Schéma (Après les calculs)
Durée du Trajet à 5,0 °C
Réflexions
Un temps de 150 millisecondes est très court, à la limite de la perception humaine. Cela illustre la très grande vitesse à laquelle le son se propage dans notre environnement quotidien.
Points de vigilance
L'erreur principale ici serait d'utiliser une valeur arrondie de \(v_1\) (334 m/s), ce qui introduirait une petite imprécision dans le résultat final. Utilisez toujours les valeurs les plus précises possibles pour les calculs intermédiaires.
Points à retenir
- La relation \(\Delta t = d/v\) est l'outil de base pour calculer un temps de parcours.
- Conserver la précision dans les calculs intermédiaires est une bonne pratique scientifique.
Le saviez-vous ?
C'est ce principe qui est utilisé pour estimer la distance d'un orage. On compte les secondes entre l'éclair (lumière quasi-instantanée) et le tonnerre (son se propageant à ~340 m/s). Si vous comptez 3 secondes, l'orage est à environ \(3 \times 340 \approx 1\) km.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance était de 1,00 km, quel serait le temps de parcours en secondes ?
Question 3 : Calculer la célérité du son à 35,0 °C.
Principe
Le principe physique est identique à la question 1 : l'augmentation de la température se traduit par une plus grande agitation des molécules d'air, ce qui permet à l'onde sonore de se propager plus vite. Nous appliquons la même loi physique (formule de Laplace) avec la nouvelle valeur de température.
Mini-Cours
La physique sous-jacente ne change pas. La relation \(v \propto \sqrt{T}\) est toujours valable. Cette question vise à renforcer la maîtrise de la méthode de calcul et à préparer la comparaison finale en obtenant la deuxième valeur de célérité.
Remarque Pédagogique
C'est un excellent exercice pour vérifier que vous avez bien assimilé la méthode. Répétez les étapes de la question 1 : conversion des unités, puis application numérique. La rigueur dans la répétition est la clé du succès.
Normes
Comme pour la question 1, nous nous appuyons sur les définitions et constantes du Système International (SI) pour garantir la cohérence et l'exactitude du calcul.
Formule(s)
Formule de conversion de la température
Formule de la célérité (Laplace)
Hypothèses
Les hypothèses (air = gaz parfait, milieu homogène, etc.) sont conservées pour pouvoir comparer les deux situations de manière cohérente.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température | \(\theta_2\) | 35,0 | °C |
| Coefficient adiabatique | \(\gamma\) | 1,40 | - |
| Cste. des gaz parfaits | \(R\) | 8,314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Masse molaire de l'air | \(M\) | 29,0 | g·mol⁻¹ |
Astuces
Puisque la température (35°C) est plus élevée que la température de référence (20°C), le résultat attendu pour la célérité doit être supérieur à 343 m/s. Cela constitue un bon point de contrôle avant de finaliser votre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Propagation du son en condition estivale
Calcul(s)
Conversion de la température
Calcul de la célérité \(v_2\)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation Comparative des Célérités
Réflexions
Le résultat \(v_2 \approx 352\) m/s est, comme attendu, supérieur à \(v_1 \approx 334\) m/s. L'augmentation est significative. Cela confirme que la température est un paramètre de premier ordre pour la célérité du son dans l'air.
Points de vigilance
Ne tombez pas dans le piège de penser que la relation est linéaire. Une augmentation de 5°C à 10°C n'entraîne pas la même augmentation de célérité qu'une augmentation de 30°C à 35°C. La relation en racine carrée de la température absolue rend l'augmentation non-constante.
Points à retenir
La méthode de calcul de la célérité du son est systématique : 1. Convertir \(\theta\) en \(T\). 2. Convertir \(M\) en kg/mol. 3. Appliquer la formule de Laplace. Cette méthode est applicable pour n'importe quelle température et n'importe quel gaz parfait.
Le saviez-vous ?
Sur Mars, l'atmosphère est principalement du dioxyde de carbone (\(M \approx 44\) g/mol) et la température moyenne est de -63°C. La célérité du son y est donc beaucoup plus faible que sur Terre, aux alentours de 240 m/s seulement !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la célérité du son par une température caniculaire de 40,0 °C ?
Question 4 : En déduire la nouvelle durée de parcours \(\Delta t_2\) à 35,0 °C.
Principe
Le son se propageant maintenant plus vite (célérité \(v_2 > v_1\)), il est logique qu'il mette moins de temps pour parcourir la même distance \(d\). Le principe est donc d'appliquer la relation cinématique de base avec la nouvelle célérité.
Mini-Cours
Cette question illustre la relation de proportionnalité inverse entre le temps de parcours et la vitesse, pour une distance fixe : \(\Delta t = d/v\). Si \(v\) augmente, \(\Delta t\) diminue nécessairement. C'est une relation fondamentale en physique.
Remarque Pédagogique
Comme pour la question 2, la rigueur impose d'utiliser la valeur non arrondie de la célérité \(v_2\) (351,77 m/s) pour ce calcul. Cela garantit que votre résultat final pour la comparaison sera le plus précis possible.
Normes
Les unités du Système International (mètre, seconde, m/s) garantissent que le résultat du calcul sera bien en secondes, sans nécessiter de facteur de conversion.
Formule(s)
Formule du temps de parcours
Hypothèses
Nous supposons que la distance \(d\) entre les microphones n'a pas changé avec la température. En réalité, les supports pourraient subir une dilatation thermique, mais cet effet est totalement négligeable ici.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance | \(d\) | 50,0 | m |
| Célérité (non arrondie) | \(v_2\) | 351,77 | m/s |
Astuces
Puisque \(v_2\) est un peu plus grand que \(v_1\), le résultat \(\Delta t_2\) doit être un peu plus petit que \(\Delta t_1\) (150 ms). Cela vous donne une attente qualitative pour votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Trajet du son à la vitesse v₂
Calcul(s)
Calcul de la durée de parcours \(\Delta t_2\)
Schéma (Après les calculs)
Durée du Trajet à 35,0 °C
Réflexions
Le temps de parcours est maintenant de 142 ms. C'est plus court que les 150 ms de l'hiver, ce qui confirme notre raisonnement initial : un son plus rapide parcourt une même distance en moins de temps.
Points de vigilance
L'erreur serait de se tromper de célérité et de réutiliser \(v_1\). Chaque calcul de temps de parcours doit utiliser la célérité correspondant à la température de l'expérience.
Points à retenir
La célérité du son et le temps de parcours sont inversement proportionnels. Cette relation est aussi importante que la formule de la célérité elle-même.
Le saviez-vous ?
Les systèmes de télémétrie laser utilisés en Formule 1 ou en athlétisme pour mesurer les distances et les vitesses sont basés sur le temps de parcours de la lumière, et non du son. La vitesse de la lumière est si grande (et quasi-indépendante de la température de l'air) que les mesures sont quasi-instantanées et extrêmement précises.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la célérité à 35,0°C (\(v_2 \approx 352\) m/s), combien de temps mettrait le son pour faire un aller-retour sur cette distance de 50,0 m (écho) ?
Question 5 : Comparer les deux durées. Conclure sur l'influence de la température.
Principe
Le principe est celui de l'analyse comparative. En ne faisant varier qu'un seul paramètre (la température) et en observant les conséquences sur les résultats (célérité et temps), on peut établir une relation de cause à effet et formuler une conclusion générale.
Mini-Cours
Cette démarche est au cœur de la méthode scientifique : isoler les variables pour comprendre leur influence respective. En comparant les cas "hiver" et "été", on met en évidence la fonction \(v(T)\) et, par conséquent, la fonction \(\Delta t(T)\). La conclusion de l'exercice est la description qualitative et quantitative de cette fonction.
Remarque Pédagogique
Une bonne conclusion ne se contente pas de dire "c'est différent". Elle doit quantifier la différence ("de combien ?") et qualifier la relation ("dans quel sens ?"). Soyez précis : "une augmentation de T entraîne une augmentation de v et une diminution de Δt".
Normes
Il n'y a pas de norme, mais une convention de présentation des résultats : on présente clairement les valeurs à comparer avant d'énoncer la conclusion qui en découle.
Formule(s)
Formule de l'écart de temps
Hypothèses
La validité de notre conclusion repose sur l'hypothèse que la température est le *seul* paramètre pertinent qui a changé entre les deux mesures.
Donnée(s)
| Condition | Célérité | Temps de parcours |
|---|---|---|
| Hiver (5,0 °C) | \(v_1 \approx 334\) m/s | \(\Delta t_1 \approx 150\) ms |
| Été (35,0 °C) | \(v_2 \approx 352\) m/s | \(\Delta t_2 \approx 142\) ms |
Astuces
Lorsque vous comparez deux résultats, le calcul de la différence absolue est souvent complété par le calcul de la variation relative (en pourcentage) pour mieux apprécier l'ampleur de l'effet. Ici, la variation serait de \((8/150) \times 100 \approx 5,3\%\).
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des deux scénarios
Calcul(s)
Calcul de l'écart de temps
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Temps de Parcours
Réflexions
La conclusion est sans équivoque : une hausse de la température de l'air accélère la propagation du son et réduit donc son temps de parcours sur une distance donnée. Cet effet, bien que modeste pour nos sens sur 50 mètres, devient un facteur crucial à corriger dans toutes les technologies de mesure basées sur le son (sonar, échographie, etc.).
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser la conclusion. Il est facile de se tromper et de dire "plus chaud, donc plus long". Ancrez bien le raisonnement : Plus chaud -> molécules plus rapides -> onde plus rapide -> trajet plus court.
Points à retenir
La conclusion générale de cet exercice est la relation qualitative fondamentale : lorsque la température d'un gaz augmente, la célérité du son dans ce gaz augmente, et par conséquent, le temps de parcours d'une onde sonore sur une distance fixe diminue.
Le saviez-vous ?
Dans l'océan, la célérité du son dépend à la fois de la température, de la salinité et de la pression (profondeur). Il existe une profondeur, appelée le canal SOFAR (SOund Fixing And Ranging), où la célérité du son est minimale. Les sons produits dans ce canal peuvent s'y retrouver piégés et voyager sur des milliers de kilomètres avec très peu de perte d'énergie.
Résultat Final
A vous de jouer
Sans faire le calcul, si la température était de -10°C, le temps de parcours serait-il supérieur, inférieur ou égal à 150 ms ?
Outil Interactif : Simulateur de Célérité
Utilisez cet outil pour explorer comment la célérité du son et le temps de parcours sur une distance donnée varient en fonction de la température de l'air.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lorsque la température de l'air augmente, la célérité du son...
2. Dans la formule de la célérité du son, la température doit être exprimée en :
3. Laquelle de ces grandeurs n'influence PAS directement la célérité du son dans un gaz parfait ?
4. Un son met 200 ms pour parcourir une distance. Si la température de l'air diminue fortement, le nouveau temps de parcours sera :
5. La masse molaire de l'air (29,0 g/mol) doit être convertie en kg/mol pour le calcul. Quelle est la valeur correcte ?
- Célérité
- Vitesse de propagation d'une onde dans un milieu donné. Pour une onde sonore, elle dépend des caractéristiques du milieu (température, densité, élasticité).
- Coefficient adiabatique (\(\gamma\))
- Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant d'un gaz. Pour l'air (diatomique), il vaut environ 1,40.
- Gaz parfait
- Modèle théorique d'un gaz où les interactions entre particules sont négligées. L'air à pression et température ambiantes peut être approximé par ce modèle.
- Kelvin (K)
- Unité de température du Système International, basée sur le zéro absolu (-273,15 °C). La conversion est : T(K) = θ(°C) + 273,15.
D’autres exercice de physique terminale:
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