Perturbation le long d’une corde
Analyser les caractéristiques d'une onde sinusoïdale progressive se propageant le long d'une corde.
Une onde progressive sinusoïdale se propageant le long d'une corde (par exemple, l'axe Ox) peut être décrite par l'élongation \(y(x,t)\) de chaque point \(x\) de la corde à un instant \(t\). L'équation générale d'une telle onde se propageant dans le sens des \(x\) positifs est :
Ou, en utilisant la pulsation \(\omega = 2\pi/T\) et le nombre d'onde \(k = 2\pi/\lambda\) :
Où :
- \(A\) est l'amplitude de l'onde (élongation maximale).
- \(T\) est la période temporelle (durée d'une oscillation complète d'un point).
- \(\lambda\) (lambda) est la longueur d'onde (période spatiale).
- \(f = 1/T\) est la fréquence temporelle.
- \(\phi_0\) est la phase à l'origine (à \(x=0\) et \(t=0\)).
- La célérité (vitesse de propagation) de l'onde est \(c = \lambda / T = \lambda f\).
L'élongation d'un point M d'abscisse \(x\) à l'instant \(t\) est la même que celle de la source S (à \(x=0\)) à un instant antérieur \(t' = t - \tau\), où \(\tau = x/c\) est le retard de la perturbation.
Données du Problème
Une corde tendue horizontalement est excitée à son extrémité S (prise comme origine des abscisses, \(x_S=0\)) par un vibreur qui lui impose un mouvement sinusoïdal vertical. L'élongation de la source S en fonction du temps est donnée par :
\(y_S(t) = 0.020 \sin(50\pi t)\)
où \(y_S\) est en mètres et \(t\) en secondes. L'onde se propage le long de la corde sans amortissement ni réflexion avec une célérité \(c = 10 \text{ m/s}\).
Questions
- Déterminer l'amplitude \(A\) de l'onde.
- Déterminer la pulsation \(\omega\) de l'onde.
- Calculer la période temporelle \(T\) de l'onde.
- Calculer la fréquence \(f\) de l'onde.
- Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) de cette onde.
- Écrire l'équation de l'élongation \(y(x,t)\) d'un point M d'abscisse \(x\) de la corde à l'instant \(t\).
- Calculer l'élongation du point M d'abscisse \(x_M = 0.25 \text{ m}\) à l'instant \(t_1 = 0.030 \text{ s}\).
- Déterminer le retard \(\tau\) de la perturbation entre la source S et le point M d'abscisse \(x_M = 0.25 \text{ m}\).
- Comparer l'état vibratoire du point M à celui de la source S à l'instant \(t_1\). Sont-ils en phase, en opposition de phase, ou dans un autre état ?
Correction : Perturbation le long d’une corde
1. Amplitude \(A\) de l'Onde
L'équation de l'élongation de la source est \(y_S(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)\). Par identification avec \(y_S(t) = 0.020 \sin(50\pi t)\).
L'amplitude de l'onde est \(A = 0.020 \text{ m}\) (soit 2.0 cm).
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2. Pulsation \(\omega\) de l'Onde
Par identification avec \(y_S(t) = A \sin(\omega t)\) (puisque \(\phi_0 = 0\) implicitement).
Données :
\(y_S(t) = 0.020 \sin(50\pi t)\)
Approximation numérique : \(\omega \approx 50 \times 3.14159 \approx 157.08 \text{ rad/s}\).
La pulsation de l'onde est \(\omega = 50\pi \text{ rad/s} \approx 157 \text{ rad/s}\).
3. Période Temporelle \(T\) de l'Onde
La pulsation \(\omega\) est liée à la période \(T\) par \(\omega = 2\pi/T\), donc \(T = 2\pi/\omega\).
Données :
\(\omega = 50\pi \text{ rad/s}\)
La période temporelle de l'onde est \(T = 0.040 \text{ s}\) (soit 40 ms).
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4. Fréquence \(f\) de l'Onde
La fréquence \(f\) est l'inverse de la période \(T\), ou \(f = \omega / (2\pi)\).
Données :
\(T = 0.040 \text{ s}\) (ou \(\omega = 50\pi \text{ rad/s}\))
Ou :
La fréquence de l'onde est \(f = 25 \text{ Hz}\).
5. Longueur d'Onde \(\lambda\)
La célérité \(c\) est liée à la longueur d'onde \(\lambda\) et à la fréquence \(f\) par \(c = \lambda f\), donc \(\lambda = c/f\).
Données :
\(c = 10 \text{ m/s}\)
\(f = 25 \text{ Hz}\)
La longueur d'onde est \(\lambda = 0.40 \text{ m}\) (soit 40 cm).
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6. Équation de l'Élongation \(y(x,t)\)
On utilise la forme \(y(x,t) = A \sin\left(2\pi \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right)\) car la phase à l'origine \(\phi_0\) est nulle (le mouvement de la source S est \(A\sin(\omega t)\)).
Données :
\(A = 0.020 \text{ m}\)
\(T = 0.040 \text{ s}\)
\(\lambda = 0.40 \text{ m}\)
On peut aussi utiliser la forme avec \(\omega\) et \(k = 2\pi/\lambda = \omega/c\).
\(k = \frac{50\pi \text{ rad/s}}{10 \text{ m/s}} = 5\pi \text{ rad/m}\).
Les deux expressions sont équivalentes.
L'équation de l'élongation est \(y(x,t) = 0.020 \sin\left(2\pi \left(\frac{t}{0.040} - \frac{x}{0.40}\right)\right)\) m, ou \(y(x,t) = 0.020 \sin(50\pi t - 5\pi x)\) m.
7. Élongation du Point M à \(x_M = 0.25 \text{ m}\) et \(t_1 = 0.030 \text{ s}\)
On remplace \(x\) et \(t\) par leurs valeurs dans l'équation de \(y(x,t)\).
Données :
\(y(x,t) = 0.020 \sin(50\pi t - 5\pi x)\)
\(x_M = 0.25 \text{ m}\)
\(t_1 = 0.030 \text{ s}\)
L'élongation du point M à l'instant \(t_1\) est \(y_M(t_1) \approx 0.0141 \text{ m}\) (soit 1.41 cm).
8. Retard \(\tau\) de la Perturbation entre S et M
Le retard \(\tau\) est le temps mis par l'onde pour parcourir la distance \(x_M\) à la célérité \(c\). \(\tau = x_M / c\).
Données :
\(x_M = 0.25 \text{ m}\)
\(c = 10 \text{ m/s}\)
Le retard de la perturbation entre S et M est \(\tau = 0.025 \text{ s}\).
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9. Comparaison de l'État Vibratoire de M et S à \(t_1\)
L'élongation de M à \(t_1\) est \(y_M(t_1)\). L'élongation de S à \(t_1\) est \(y_S(t_1)\). On peut aussi comparer la phase.
Phase de S à \(t_1=0.030 \text{ s}\) : \(\Phi_S(t_1) = 50\pi t_1 = 50\pi \times 0.030 = 1.5\pi \text{ rad}\).
Phase de M à \(t_1=0.030 \text{ s}\) : \(\Phi_M(t_1) = 50\pi t_1 - 5\pi x_M = 1.5\pi - 5\pi \times 0.25 = 1.5\pi - 1.25\pi = 0.25\pi \text{ rad}\).
Différence de phase : \(\Delta\Phi = \Phi_S(t_1) - \Phi_M(t_1) = 1.5\pi - 0.25\pi = 1.25\pi \text{ rad}\).
On peut aussi écrire \(\Delta\Phi = k x_M = (2\pi/\lambda) x_M = (2\pi/0.40) \times 0.25 = 2\pi \times (0.25/0.40) = 2\pi \times (5/8) = 1.25\pi \text{ rad}\).
Une différence de phase de \(1.25\pi\) n'est ni en phase (multiple de \(2\pi\)) ni en opposition de phase (multiple impair de \(\pi\)).
\(1.25\pi = \pi + 0.25\pi\). Donc M est en retard sur S d'un angle de \(1.25\pi\).
La différence de phase entre S et M est \(\Delta\Phi = 1.25\pi\) rad. Les points ne sont ni en phase, ni en opposition de phase. M est en retard sur S.
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Glossaire des Termes Clés
Onde Progressive Sinusoïdale :
Perturbation qui se propage dans un milieu, dont l'élongation en un point donné varie sinusoïdalement avec le temps, et dont la forme à un instant donné est une sinusoïde.
Amplitude (A) :
Élongation maximale d'un point du milieu par rapport à sa position d'équilibre.
Période Temporelle (T) :
Durée minimale au bout de laquelle le mouvement d'un point de la corde se répète identiquement à lui-même.
Fréquence (f) :
Nombre de périodes par unité de temps (\(f=1/T\)). Unité : Hertz (Hz).
Longueur d'Onde (\(\lambda\)) :
Distance minimale séparant deux points de la corde vibrant en phase à un instant donné (période spatiale).
Célérité (c) :
Vitesse de propagation de l'onde dans le milieu.
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire de l'onde, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : rad/s.
Nombre d'Onde (k) :
Lié à la longueur d'onde par \(k = 2\pi/\lambda\). Unité : rad/m.
Phase à l'Origine (\(\phi_0\)) :
Constante qui détermine l'état vibratoire de la source à l'instant initial \(t=0\).
Retard Temporel (\(\tau\)) :
Temps mis par l'onde pour parcourir une distance \(x\) : \(\tau = x/c\).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la tension de la corde et sa masse linéique (masse par unité de longueur) influencent-elles la célérité de l'onde ?
2. Qu'est-ce qu'une onde stationnaire ? Comment peut-on en créer une sur une corde fixée à ses deux extrémités ?
3. L'énergie transportée par une onde sinusoïdale sur une corde est proportionnelle au carré de son amplitude et au carré de sa fréquence. Discutez de cette affirmation.
4. Si l'onde rencontrait une discontinuité de milieu (par exemple, une corde plus épaisse attachée à la première), que se passerait-il (réflexion, transmission) ?
5. Comment le concept de "retard" est-il utilisé pour décrire la différence d'état vibratoire entre deux points de la corde ?
D’autres exercices de physique terminale:
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