Perturbation le long d’une corde

L'équation de l'élongation de la source est \(y_S(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)\). Par identification avec \(y_S(t) = 0.020 \sin(50\pi t)\).

Par identification avec \(y_S(t) = A \sin(\omega t)\) (puisque \(\phi_0 = 0\) implicitement).

Données :
\(y_S(t) = 0.020 \sin(50\pi t)\)

Approximation numérique : \(\omega \approx 50 \times 3.14159 \approx 157.08 \text{ rad/s}\).

La pulsation \(\omega\) est liée à la période \(T\) par \(\omega = 2\pi/T\), donc \(T = 2\pi/\omega\).

Données :
\(\omega = 50\pi \text{ rad/s}\)

La fréquence \(f\) est l'inverse de la période \(T\), ou \(f = \omega / (2\pi)\).

Données :
\(T = 0.040 \text{ s}\) (ou \(\omega = 50\pi \text{ rad/s}\))

Ou :

La célérité \(c\) est liée à la longueur d'onde \(\lambda\) et à la fréquence \(f\) par \(c = \lambda f\), donc \(\lambda = c/f\).

Données :
\(c = 10 \text{ m/s}\)
\(f = 25 \text{ Hz}\)

On utilise la forme \(y(x,t) = A \sin\left(2\pi \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right)\) car la phase à l'origine \(\phi_0\) est nulle (le mouvement de la source S est \(A\sin(\omega t)\)).

Données :
\(A = 0.020 \text{ m}\)
\(T = 0.040 \text{ s}\)
\(\lambda = 0.40 \text{ m}\)

On peut aussi utiliser la forme avec \(\omega\) et \(k = 2\pi/\lambda = \omega/c\).
\(k = \frac{50\pi \text{ rad/s}}{10 \text{ m/s}} = 5\pi \text{ rad/m}\).

Les deux expressions sont équivalentes.

On remplace \(x\) et \(t\) par leurs valeurs dans l'équation de \(y(x,t)\).

Données :
\(y(x,t) = 0.020 \sin(50\pi t - 5\pi x)\)
\(x_M = 0.25 \text{ m}\)
\(t_1 = 0.030 \text{ s}\)

Le retard \(\tau\) est le temps mis par l'onde pour parcourir la distance \(x_M\) à la célérité \(c\). \(\tau = x_M / c\).

Données :
\(x_M = 0.25 \text{ m}\)
\(c = 10 \text{ m/s}\)

L'élongation de M à \(t_1\) est \(y_M(t_1)\). L'élongation de S à \(t_1\) est \(y_S(t_1)\). On peut aussi comparer la phase.

Phase de S à \(t_1=0.030 \text{ s}\) : \(\Phi_S(t_1) = 50\pi t_1 = 50\pi \times 0.030 = 1.5\pi \text{ rad}\).

Phase de M à \(t_1=0.030 \text{ s}\) : \(\Phi_M(t_1) = 50\pi t_1 - 5\pi x_M = 1.5\pi - 5\pi \times 0.25 = 1.5\pi - 1.25\pi = 0.25\pi \text{ rad}\).

Différence de phase : \(\Delta\Phi = \Phi_S(t_1) - \Phi_M(t_1) = 1.5\pi - 0.25\pi = 1.25\pi \text{ rad}\).

On peut aussi écrire \(\Delta\Phi = k x_M = (2\pi/\lambda) x_M = (2\pi/0.40) \times 0.25 = 2\pi \times (0.25/0.40) = 2\pi \times (5/8) = 1.25\pi \text{ rad}\).

Une différence de phase de \(1.25\pi\) n'est ni en phase (multiple de \(2\pi\)) ni en opposition de phase (multiple impair de \(\pi\)).

\(1.25\pi = \pi + 0.25\pi\). Donc M est en retard sur S d'un angle de \(1.25\pi\).

Réponses Correctes :

Question 1 : b) La distance parcourue par l'onde pendant une période.

Question 2 : c) \(c = \lambda \times f\).

Question 3 : b) Un multiple entier de \(\lambda\).

Question 4 : b) Radian par seconde (rad/s).

Onde Progressive Sinusoïdale :

Perturbation qui se propage dans un milieu, dont l'élongation en un point donné varie sinusoïdalement avec le temps, et dont la forme à un instant donné est une sinusoïde.

Amplitude (A) :

Élongation maximale d'un point du milieu par rapport à sa position d'équilibre.

Période Temporelle (T) :

Durée minimale au bout de laquelle le mouvement d'un point de la corde se répète identiquement à lui-même.

Fréquence (f) :

Nombre de périodes par unité de temps (\(f=1/T\)). Unité : Hertz (Hz).

Longueur d'Onde (\(\lambda\)) :

Distance minimale séparant deux points de la corde vibrant en phase à un instant donné (période spatiale).

Célérité (c) :

Vitesse de propagation de l'onde dans le milieu.

Pulsation (\(\omega\)) :

Vitesse angulaire de l'onde, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : rad/s.

Nombre d'Onde (k) :

Lié à la longueur d'onde par \(k = 2\pi/\lambda\). Unité : rad/m.

Phase à l'Origine (\(\phi_0\)) :

Constante qui détermine l'état vibratoire de la source à l'instant initial \(t=0\).

Retard Temporel (\(\tau\)) :

Temps mis par l'onde pour parcourir une distance \(x\) : \(\tau = x/c\).