Étude d'un Circuit RC - Exercice corrigé

Les circuits RC, composés d'une résistance (R) et d'un condensateur (C), sont fondamentaux en électronique. Ils sont utilisés dans de nombreuses applications, comme les filtres, les temporisateurs, et les circuits de lissage. L'étude de la charge (ou de la décharge) d'un condensateur à travers une résistance permet de comprendre le comportement transitoire de ces circuits.

Lorsqu'un condensateur initialement déchargé est connecté à une source de tension continue \(E\) à travers une résistance \(R\), la tension \(u_C(t)\) à ses bornes et le courant \(i(t)\) dans le circuit varient avec le temps. L'équation différentielle régissant la tension \(u_C(t)\) pendant la charge est :

E = R C \frac{du_C}{dt} + u_C(t)

La solution de cette équation, avec \(u_C(0) = 0\), est de la forme :

u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})

Où \(\tau = RC\) est la constante de temps du circuit, qui caractérise la rapidité de la charge.

Données du Problème

On considère un circuit RC série alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. \(E\). À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K, et le condensateur, initialement déchargé, commence à se charger.

Force électromotrice du générateur (\(E\)) : \(12.0 \text{ V}\)
Résistance (\(R\)) : \(100 \ \Omega\)
Capacité du condensateur (\(C\)) : \(470 \ \mu F = 470 \times 10^{-6} \ F\)

Schéma d'un circuit RC série pour la charge d'un condensateur.

Questions

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur pendant sa charge, après la fermeture de l'interrupteur K à \(t=0\).
Vérifier que la solution \(u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\) est bien solution de cette équation différentielle, à condition d'exprimer \(\tau\) en fonction de R et C. Quelle est cette expression de \(\tau\) ? Que représente \(\tau\) ?
Calculer la valeur de la constante de temps \(\tau\) du circuit.
Calculer la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur à l'instant \(t = \tau\). Quel pourcentage de la tension maximale \(E\) cela représente-t-il ?
Déterminer l'expression de l'intensité du courant \(i(t)\) dans le circuit pendant la charge. (Rappel : \(i(t) = C \frac{du_C}{dt}\)).
Calculer la valeur de l'intensité du courant \(i(0)\) à \(t=0\) et l'intensité \(i(\tau)\) à \(t=\tau\).
Calculer l'énergie \(W_C\) emmagasinée par le condensateur lorsque celui-ci est complètement chargé (\(t \rightarrow \infty\)).

Correction : Étude d’un Circuit RC

1. Équation Différentielle de la Tension \(u_C(t)\)

Après la fermeture de l'interrupteur K (à \(t=0\)), on applique la loi des mailles (ou loi d'additivité des tensions) au circuit RC série. La tension aux bornes du générateur est \(E\). La tension aux bornes de la résistance est \(u_R(t)\) et celle aux bornes du condensateur est \(u_C(t)\).

Loi des mailles :

\[ E = u_R(t) + u_C(t) \]

La tension aux bornes de la résistance est donnée par la loi d'Ohm : \(u_R(t) = R i(t)\).

L'intensité du courant \(i(t)\) est liée à la charge \(q(t)\) du condensateur par \(i(t) = \frac{dq}{dt}\). La charge \(q(t)\) du condensateur est liée à la tension à ses bornes par \(q(t) = C u_C(t)\).

Donc, \(i(t) = \frac{d(C u_C(t))}{dt}\). Comme C est une constante :

i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}

En substituant \(u_R(t)\) et \(i(t)\) dans la loi des mailles :

\begin{aligned} E &= R \left(C \frac{du_C}{dt}\right) + u_C(t) \\ E &= RC \frac{du_C}{dt} + u_C(t) \end{aligned}

C'est l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par \(u_C(t)\).

L'équation différentielle est : \(E = RC \frac{du_C}{dt} + u_C(t)\) ou \(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\).

2. Vérification de la Solution et Expression de \(\tau\)

On nous donne la solution \(u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\). Nous devons la dériver par rapport au temps et la substituer dans l'équation différentielle pour vérifier si elle est correcte et pour trouver l'expression de \(\tau\).

Dérivée de \(u_C(t)\) :

\begin{aligned} \frac{du_C}{dt} &= \frac{d}{dt} [E (1 - e^{-t/\tau})] \\ &= E \frac{d}{dt} (1 - e^{-t/\tau}) \\ &= E \left(0 - (-\frac{1}{\tau})e^{-t/\tau}\right) \\ &= \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau} \end{aligned}

Substitution dans l'équation différentielle \(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\) :

\begin{aligned} RC \left(\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + E (1 - e^{-t/\tau}) &= E \\ \frac{RCE}{\tau} e^{-t/\tau} + E - Ee^{-t/\tau} &= E \\ \frac{RCE}{\tau} e^{-t/\tau} - Ee^{-t/\tau} &= 0 \\ Ee^{-t/\tau} \left(\frac{RC}{\tau} - 1\right) &= 0 \end{aligned}

Pour que cette équation soit vérifiée pour tout \(t\) (sachant que \(E \neq 0\) et \(e^{-t/\tau} \neq 0\)), il faut que le terme entre parenthèses soit nul :

\begin{aligned} \frac{RC}{\tau} - 1 &= 0 \\ \frac{RC}{\tau} &= 1 \\ \tau &= RC \end{aligned}

\(\tau = RC\) est la constante de temps du circuit. Elle représente le temps caractéristique de la charge (ou de la décharge) du condensateur. Elle a la dimension d'un temps.

La solution est vérifiée si \(\tau = RC\). \(\tau\) est la constante de temps du circuit.

3. Calcul de la Constante de Temps \(\tau\)

On utilise la formule \(\tau = RC\) avec les valeurs données.

Données : \(R = 100 \ \Omega\), \(C = 470 \times 10^{-6} \ F\).

\begin{aligned} \tau &= RC \\ &= (100 \ \Omega) \times (470 \times 10^{-6} \ F) \\ &= 100 \times 470 \times 10^{-6} \text{ s} \\ &= 47000 \times 10^{-6} \text{ s} \\ &= 0.0470 \text{ s} \\ &= 47.0 \text{ ms} \end{aligned}

La constante de temps du circuit est \(\tau = 0.0470 \text{ s}\) (ou \(47.0 \text{ ms}\)).

Quiz Intermédiaire : Constante de Temps

4. Tension \(u_C\) à \(t = \tau\)

On utilise l'expression de \(u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\) en remplaçant \(t\) par \(\tau\).

À \(t = \tau\) :

\begin{aligned} u_C(\tau) &= E (1 - e^{-\tau/\tau}) \\ &= E (1 - e^{-1}) \end{aligned}

Sachant que \(e^{-1} \approx 0.368\) (ou \(1/e \approx 1/2.718 \approx 0.368\)) :

\begin{aligned} u_C(\tau) &\approx E (1 - 0.368) \\ &= E \times 0.632 \end{aligned}

Avec \(E = 12.0 \text{ V}\) :

\begin{aligned} u_C(\tau) &\approx 12.0 \text{ V} \times 0.632 \\ &\approx 7.584 \text{ V} \end{aligned}

Le pourcentage de la tension maximale \(E\) est :

\frac{u_C(\tau)}{E} \times 100\% \approx 0.632 \times 100\% = 63.2\%

À \(t=\tau\), la tension aux bornes du condensateur est \(u_C(\tau) \approx 7.58 \text{ V}\), ce qui représente environ 63.2% de la tension maximale \(E\).

5. Expression de l'Intensité du Courant \(i(t)\)

L'intensité du courant \(i(t)\) est donnée par \(i(t) = C \frac{du_C}{dt}\). Nous avons déjà calculé \(\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}\) à la question 2. Et \(\tau = RC\).

\begin{aligned} i(t) &= C \times \left(\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}\right) \\ &= C \times \left(\frac{E}{RC} e^{-t/\tau}\right) \\ &= \frac{E}{R} e^{-t/\tau} \end{aligned}

L'expression de l'intensité du courant pendant la charge est \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\).

6. Calcul de \(i(0)\) et \(i(\tau)\)

On utilise l'expression de \(i(t)\) trouvée précédemment.

Intensité à \(t=0\) :

\begin{aligned} i(0) &= \frac{E}{R} e^{-0/\tau} \\ &= \frac{E}{R} e^0 \\ &= \frac{E}{R} \\ &= \frac{12.0 \text{ V}}{100 \ \Omega} \\ &= 0.120 \text{ A} = 120 \text{ mA} \end{aligned}

Intensité à \(t=\tau\) :

\begin{aligned} i(\tau) &= \frac{E}{R} e^{-\tau/\tau} \\ &= \frac{E}{R} e^{-1} \\ &\approx (0.120 \text{ A}) \times 0.368 \\ &\approx 0.04416 \text{ A} = 44.16 \text{ mA} \end{aligned}

À \(t=0\), \(i(0) = 0.120 \text{ A}\) (120 mA). À \(t=\tau\), \(i(\tau) \approx 0.0442 \text{ A}\) (44.2 mA).

Quiz Intermédiaire : Courant de Charge

7. Énergie \(W_C\) Emmagasinée par le Condensateur Chargé

L'énergie emmagasinée par un condensateur de capacité \(C\) portant une charge \(Q\) et ayant une tension \(U_C\) à ses bornes est \(W_C = \frac{1}{2} C U_C^2 = \frac{1}{2} Q U_C = \frac{Q^2}{2C}\). Lorsque le condensateur est complètement chargé (\(t \rightarrow \infty\)), la tension à ses bornes est \(u_C(\infty) = E (1 - e^{-\infty}) = E (1 - 0) = E\).

Données : \(C = 470 \times 10^{-6} \text{ F}\), \(E = 12.0 \text{ V}\).

\begin{aligned} W_C &= \frac{1}{2} C E^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (470 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (12.0 \text{ V})^2 \\ &= 0.5 \times 470 \times 10^{-6} \times 144 \text{ J} \\ &= 33840 \times 10^{-6} \text{ J} \\ &= 0.03384 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie emmagasinée par le condensateur complètement chargé est \(W_C \approx 0.0338 \text{ J}\) (ou 33.8 mJ).

Glossaire des Termes Clés

Circuit RC :

Circuit électrique comprenant une résistance (R) et un condensateur (C).

Condensateur :

Composant électronique qui stocke de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices séparées par un diélectrique.

Capacité (\(C\)) :

Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Unité : Farad (F).

Résistance (\(R\)) :

Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Force Électromotrice (f.é.m., \(E\)) :

Tension fournie par un générateur à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant (ou tension à vide).

Équation Différentielle :

Équation mathématique qui relie une fonction à ses dérivées. En physique, elle décrit souvent l'évolution temporelle d'un système.

Constante de Temps (\(\tau\)) :

Dans un circuit RC, \(\tau = RC\). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge du condensateur. Après un temps \(\tau\), le condensateur atteint environ 63% de sa charge maximale.

Régime Transitoire :

Période pendant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) varient dans un circuit après une modification (fermeture d'un interrupteur, etc.) avant d'atteindre un état stable.

Régime Permanent (ou Établi) :

État d'un circuit où les grandeurs électriques ne varient plus ou varient de manière périodique stable. Pour la charge d'un condensateur, c'est lorsque \(u_C = E\) et \(i=0\).

Énergie Emmagasinée par un Condensateur (\(W_C\)) :

Énergie stockée dans le champ électrique du condensateur. \(W_C = \frac{1}{2} C u_C^2\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Décrire qualitativement ce qui se passe lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé à travers une résistance.

2. Comment la constante de temps \(\tau\) influence-t-elle la forme des courbes de charge \(u_C(t)\) et \(i(t)\) ?

3. Si on double la valeur de la résistance \(R\), comment cela affecte-t-il le temps nécessaire pour que le condensateur atteigne 99% de sa charge maximale ?

4. Quelle est l'énergie totale fournie par le générateur pendant la charge complète du condensateur ? Comparer cette énergie à celle emmagasinée par le condensateur. Où est passée la différence ?

5. Les circuits RC sont utilisés comme filtres. Expliquer brièvement comment un circuit RC peut fonctionner comme un filtre passe-bas ou passe-haut en fonction de l'endroit où l'on prélève la tension de sortie.

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