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Exercices Physique Chimie

Énergie Potentielle et Cinétique

Calcul de l’Énergie Potentielle et Cinétique

Calcul de l’Énergie Potentielle et Cinétique

Appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique pour déterminer la vitesse d'un skateur en bas d'une rampe.

L'énergie mécanique (\(E_m\)) d'un système est la somme de son énergie cinétique (\(E_c\)) et de son énergie potentielle (\(E_p\)).

L'énergie cinétique est liée à la vitesse de l'objet :

\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]

L'énergie potentielle de pesanteur est liée à l'altitude de l'objet :

\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]

Donc, l'énergie mécanique est :

\[ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot h \]

En l'absence de frottements et de forces non conservatives, l'énergie mécanique d'un système se conserve. Cela signifie que l'énergie mécanique initiale est égale à l'énergie mécanique finale : \(E_{m,initiale} = E_{m,finale}\).

Données du Problème

Un skateur part du repos du sommet d'une rampe de skate (point A) et descend jusqu'au point le plus bas de la rampe (point B).

  • Masse du skateur (avec son skateboard) : \(m = 60 \text{ kg}\)
  • Hauteur initiale du skateur au point A par rapport au sol : \(h_A = 2.5 \text{ m}\)
  • Vitesse initiale du skateur au point A : \(v_A = 0 \text{ m/s}\) (il part du repos)
  • Altitude du point B (bas de la rampe) par rapport au sol : \(h_B = 0.5 \text{ m}\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
  • On néglige les frottements de l'air et les frottements des roues sur la rampe.
Sol (Référence h=0) Point A hA Point B hB
Skateur descendant une rampe entre les points A et B.

Questions

  1. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{pA}\)) du skateur au point A.
  2. Calculer l'énergie cinétique (\(E_{cA}\)) du skateur au point A.
  3. En déduire l'énergie mécanique (\(E_{mA}\)) du skateur au point A.
  4. En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique, quelle est l'énergie mécanique (\(E_{mB}\)) du skateur au point B ?
  5. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{pB}\)) du skateur au point B.
  6. En déduire l'énergie cinétique (\(E_{cB}\)) du skateur au point B.
  7. Calculer la vitesse (\(v_B\)) du skateur au point B.
  8. Si la masse du skateur était de \(m' = 75 \text{ kg}\) (au lieu de 60 kg), quelle serait sa vitesse au point B (en négligeant toujours les frottements) ? Conclure.

Correction : Calcul de la Vitesse Finale d’un Skateur

1. Calcul de l'Énergie Potentielle Initiale (\(E_{pA}\))

On utilise la formule \(E_p = m \cdot g \cdot h\).

Données :

  • \(m = 60 \text{ kg}\)
  • \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
  • \(h_A = 2.5 \text{ m}\)
\begin{aligned} E_{pA} &= m \cdot g \cdot h_A \\ &= 60 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 2.5 \text{ m} \\ &= 1470 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie potentielle initiale du skateur au point A est \(E_{pA} = 1470 \text{ J}\).

2. Calcul de l'Énergie Cinétique Initiale (\(E_{cA}\))

On utilise la formule \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\).

Donnée :

  • \(v_A = 0 \text{ m/s}\) (part du repos)
  • \(m = 60 \text{ kg}\)
\begin{aligned} E_{cA} &= \frac{1}{2} m v_A^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 60 \text{ kg} \times (0 \text{ m/s})^2 \\ &= 0 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie cinétique initiale du skateur au point A est \(E_{cA} = 0 \text{ J}\).

Quiz Intermédiaire

Question : L'énergie cinétique d'un objet dépend de :

3. Calcul de l'Énergie Mécanique Initiale (\(E_{mA}\))

\(E_m = E_p + E_c\).

Données calculées :

  • \(E_{pA} = 1470 \text{ J}\)
  • \(E_{cA} = 0 \text{ J}\)
\begin{aligned} E_{mA} &= E_{pA} + E_{cA} \\ &= 1470 \text{ J} + 0 \text{ J} \\ &= 1470 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie mécanique initiale du skateur au point A est \(E_{mA} = 1470 \text{ J}\).

4. Énergie Mécanique au Point B (\(E_{mB}\))

En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve : \(E_{mB} = E_{mA}\).

\begin{aligned} E_{mB} &= E_{mA} \\ &= 1470 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie mécanique du skateur au point B est \(E_{mB} = 1470 \text{ J}\).

Quiz Intermédiaire

Question : L'énergie mécanique d'un système se conserve si :

5. Énergie Potentielle de Pesanteur au Point B (\(E_{pB}\))

\(E_p = m \cdot g \cdot h\).

Données :

  • \(m = 60 \text{ kg}\)
  • \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
  • \(h_B = 0.5 \text{ m}\)
\begin{aligned} E_{pB} &= m \cdot g \cdot h_B \\ &= 60 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 0.5 \text{ m} \\ &= 294 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie potentielle de pesanteur au point B est \(E_{pB} = 294 \text{ J}\).

6. Énergie Cinétique au Point B (\(E_{cB}\))

On sait que \(E_{mB} = E_{cB} + E_{pB}\), donc \(E_{cB} = E_{mB} - E_{pB}\).

Données calculées :

  • \(E_{mB} = 1470 \text{ J}\)
  • \(E_{pB} = 294 \text{ J}\)
\begin{aligned} E_{cB} &= E_{mB} - E_{pB} \\ &= 1470 \text{ J} - 294 \text{ J} \\ &= 1176 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie cinétique du skateur au point B est \(E_{cB} = 1176 \text{ J}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Lorsqu'un objet descend une pente sans frottement, son énergie potentielle est convertie en :

7. Calcul de la Vitesse Finale (\(v_B\))

On utilise la formule de l'énergie cinétique \(E_{cB} = \frac{1}{2} m v_B^2\) et on isole \(v_B\).

Données :

  • \(E_{cB} = 1176 \text{ J}\)
  • \(m = 60 \text{ kg}\)
\begin{aligned} E_{cB} &= \frac{1}{2} m v_B^2 \\ v_B^2 &= \frac{2 E_{cB}}{m} \\ v_B &= \sqrt{\frac{2 E_{cB}}{m}} \\ v_B &= \sqrt{\frac{2 \times 1176 \text{ J}}{60 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{2352}{60}} \\ &= \sqrt{39.2} \\ &\approx 6.26099... \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse finale du skateur au point B est \(v_B \approx 6.26 \text{ m/s}\).

8. Dépendance de la Vitesse Finale par Rapport à la Masse

Reprenons le principe de conservation de l'énergie mécanique entre A et B : \(E_{mA} = E_{mB}\) \(\frac{1}{2} m v_A^2 + m g h_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g h_B\) Comme \(v_A = 0\) : \(m g h_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g h_B\) On peut simplifier par la masse \(m\) (si \(m \neq 0\), ce qui est le cas) : \(g h_A = \frac{1}{2} v_B^2 + g h_B\) D'où \(\frac{1}{2} v_B^2 = g h_A - g h_B = g (h_A - h_B)\) Et \(v_B^2 = 2 g (h_A - h_B)\), donc \(v_B = \sqrt{2 g (h_A - h_B)}\).

L'expression finale de la vitesse \(v_B = \sqrt{2 g (h_A - h_B)}\) ne contient pas la masse \(m\) du skateur.

Par conséquent, en l'absence de frottements, la vitesse finale atteinte en bas d'une descente (ou à un point plus bas), lorsque l'objet part du repos ou avec une vitesse initiale, ne dépend que de la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée, de la vitesse initiale (si non nulle) et de l'accélération de la pesanteur, mais pas de la masse de l'objet.

Si la masse était \(m' = 75 \text{ kg}\), la vitesse \(v_B\) serait la même :

\begin{aligned} v_B &= \sqrt{2 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (2.5 \text{ m} - 0.5 \text{ m})} \\ &= \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.0} \\ &= \sqrt{39.2} \\ &\approx 6.26 \text{ m/s} \end{aligned}

Non, la vitesse finale \(v_B\) ne dépend pas de la masse du skateur en l'absence de frottements, car la masse se simplifie dans l'équation issue de la conservation de l'énergie mécanique. Elle serait toujours d'environ \(6.26 \text{ m/s}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : L'énergie potentielle de pesanteur d'un objet dépend de :

Question 2 : Si l'énergie cinétique d'un objet double, sa vitesse (si la masse est constante) est multipliée par :

Question 3 : En l'absence de frottements, lorsqu'un objet glisse le long d'une pente :

Question 4 : L'unité de l'énergie dans le Système International est :

Glossaire des Termes Clés

Énergie Cinétique (\(E_c\)) :

Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle dépend de sa masse et de sa vitesse.

Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\)) :

Énergie que possède un corps du fait de sa position (altitude) dans un champ de pesanteur.

Énergie Mécanique (\(E_m\)) :

Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système.

Conservation de l'Énergie Mécanique :

Principe selon lequel, en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements) ou si leur travail est nul, l'énergie mécanique totale d'un système isolé reste constante.

Force Conservative :

Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée (ex: le poids).

Force Non Conservative :

Force dont le travail dépend du chemin suivi (ex: les forces de frottement).

Joule (J) :

Unité de mesure de l'énergie et du travail dans le Système International.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment les forces de frottement (roues sur la rampe, air) affecteraient-elles la vitesse finale du skateur ? Serait-elle plus grande ou plus petite que celle calculée ?

2. Si le skateur avait une vitesse initiale non nulle en haut de la rampe, comment cela changerait-il son énergie mécanique initiale et sa vitesse finale ?

3. La forme de la rampe (droite, courbe) a-t-elle une influence sur la vitesse finale du skateur en bas, si l'on néglige les frottements et que la hauteur de départ et d'arrivée reste la même ? Pourquoi ?

4. Comment l'énergie est-elle transformée si le skateur effectue un saut après avoir quitté la rampe ?

5. Recherchez le concept de "travail d'une force". Comment le travail des forces de frottement modifie-t-il l'énergie mécanique d'un système ?

Calcul de la Vitesse Finale d’un Skateur

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