Calcul du déplacement d’un cycliste

Contexte : Le mouvement uniformeUn mouvement est dit uniforme si sa vitesse est constante (elle ne change pas)..

L'objectif est de se familiariser avec le concept de 'mouvement uniforme'. Nous allons suivre un cycliste qui roule à une vitesse parfaitement constante, sans jamais accélérer ni freiner. En utilisant son cas, nous allons apprendre à calculer la distance (aussi appelée 'déplacement') qu'il parcourt en un temps donné. C'est la première étape essentielle pour comprendre comment la vitesseLa distance parcourue pendant une certaine durée. On la mesure souvent en km/h. (le 'km/h' de votre compteur de vélo ou de voiture), le tempsLa durée du parcours. On la mesure en heures, minutes ou secondes. (les 'heures' ou 'minutes' de votre montre) et la distanceLa longueur du trajet entre le point de départ et le point d'arrivée. On la mesure en km ou en mètres. (les 'kilomètres' du trajet) sont inséparablement liés par une formule mathématique très simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser la formule fondamentale \(d = v \times t\) et à faire attention à la cohérence des unités (comme les heures et les minutes).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation entre distance, vitesse et temps.
Savoir identifier et utiliser les bonnes unités (km, h, km/h).
Appliquer la formule \(d = v \times t\) pour calculer une distance.
Savoir convertir des minutes en heures pour un calcul.
Utiliser la formule \(t = d / v\) pour calculer un temps.

Données de l'étude : Le trajet de Paul

Paul est un cycliste qui part en promenade. On suppose qu'il roule à une vitesse moyenne parfaitement constante tout au long de son trajet.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Cycliste	Paul
Type de trajet	Route de campagne
Condition	Vitesse constante (mouvement uniforme)

Schéma de la situation

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse moyenne	\(v\)	20	km/h
Temps de trajet (Question 3)	\(t_1\)	2	heures
Temps de trajet (Question 4)	\(t_2\)	30	minutes
Distance (Question 5)	\(d_3\)	60	km

Questions à traiter

Quelle est la formule principale qui lie la distance \(d\), la vitesse \(v\) et le temps \(t\) ?
D'après les données, quelles sont les unités utilisées pour la vitesse et le temps (dans la Q3) ? Quelle sera l'unité de la distance calculée ?
Calculer la distance totale (déplacement) parcourue par Paul s'il roule pendant 2 heures.
Calculer la distance totale (déplacement) parcourue par Paul s'il roule pendant 30 minutes.
Si Paul veut parcourir une distance de 60 km, combien de temps (en heures) lui faudrait-il ?

Les bases sur le Mouvement Uniforme

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de comprendre la relation qui lie trois grandeurs : la distanceLa longueur du trajet entre le point de départ et le point d'arrivée. On la mesure en km ou en mètres. (\d\), la vitesseLa distance parcourue pendant une certaine durée. On la mesure souvent en km/h. \(v\) et le tempsLa durée du parcours. On la mesure en heures, minutes ou secondes. \(t\).

1. Le 'Triangle Magique'
Pour retenir facilement les 3 formules, on utilise souvent un triangle. On place la Distance \(d\) en haut, et la Vitesse \(v\) et le Temps \(t\) en bas.
- Pour trouver \(d\), on cache \(d\) : il reste \(v \times t\).
- Pour trouver \(v\), on cache \(v\) : il reste \(d / t\).
- Pour trouver \(t\), on cache \(t\) : il reste \(d / v\).

2. Les Formules
Les trois formules qui découlent de cette relation sont :

Vitesse = Distance / Temps ( \(v = d/t\) )
Distance = Vitesse \(\times\) Temps ( \(d = v \times t\) )
Temps = Distance / Vitesse ( \(t = d/v\) )

Correction : Calcul du Déplacement d'un Cycliste

Question 1 : Quelle est la formule principale qui lie la distance (d), la vitesse (v) et le temps (t) ?

Principe

En physique, la vitesse, le temps et la distance sont liés. Si vous connaissez deux de ces valeurs, vous pouvez toujours trouver la troisième. La formule principale est celle qui définit la vitesse.

Mini-Cours

La vitesse est définie comme la distance parcourue "par" unité de temps. Le mot "par" en mathématiques signifie "divisé par". Donc, la Vitesse est la Distance divisée par le Temps. C'est la formule principale à retenir.

Remarque Pédagogique

On parle de vitesse "moyenne" car on suppose qu'elle est constante. Dans la vraie vie, un cycliste ralentit dans les montées et accélère dans les descentes, mais en 6ème, on simplifie avec une vitesse constante.

Formule(s)

La formule principale et ses deux dérivées (variantes) :

Formule principale (Vitesse)

v = \frac{d}{t}

Formules dérivées (Distance et Temps)

d = v \times t \quad \text{et} \quad t = \frac{d}{v}

Hypothèses

Pour que ces formules simples fonctionnent, on fait deux hypothèses :

La vitesse est constante (mouvement uniforme).
Le trajet se fait en ligne droite (on ne calcule pas les virages).

Astuces

Pour retenir la formule principale, pensez à l'unité : "km/h". "km" est la distance (d) et "h" est le temps (t). L'unité "km/h" vous dit littéralement que \(v = d/t\) !

Schéma

Le "triangle magique" est le meilleur schéma pour mémoriser ces trois formules. Cachez la valeur que vous cherchez pour voir le calcul à faire.

Triangle "Magique" des Formules

Réflexions

Comprendre cette relation est la clé pour résoudre tous les problèmes de mouvement uniforme. Les trois formules disent la même chose, mais écrites différemment.

Points de vigilance

Ne confondez pas les trois formules ! Utilisez le triangle magique ou l'astuce de l'unité (km/h) pour ne pas vous tromper entre la multiplication et la division.

Points à retenir

La formule de base est \(v = d / t\).
On peut la transformer en \(d = v \times t\) ou \(t = d / v\).

Le saviez-vous ?

Le record du monde de vitesse à vélo sur terrain plat a dépassé les 144 km/h ! Pour calculer cette performance, les juges ont mesuré la distance (souvent 200 mètres) et le temps très précisément, puis ont appliqué la formule \(v = d/t\).

Résultat Final

La formule principale est \(v = \frac{d}{t}\). Les formules dérivées sont \(d = v \times t\) et \(t = \frac{d}{v}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Relation entre vitesse, distance, temps.
Formule Essentielle : \(v = d/t\) (et ses dérivées).
Astuce : Le triangle magique \(d / (v \times t)\).

Question 2 : Quelles sont les unités... ? Quelle sera l'unité de la distance ?

Principe

En physique, les unités sont aussi importantes que les nombres. On ne peut pas mélanger des choux et des carottes (ni des km/h avec des secondes). Les unités doivent être "cohérentes" entre elles.

Mini-Cours

Si la vitesse est en km/h (kilomètres PAR heure), cela signifie que :

Le temps doit être en heures (h).
La distance sera alors en kilomètres (km).

Si la vitesse était en m/s (mètres PAR seconde) :

Le temps devrait être en secondes (s).
La distance serait alors en mètres (m).

Remarque Pédagogique

Regarder les unités de l'énoncé est la première chose à faire. Ici, on voit "km/h" et "heures". On sait donc immédiatement qu'on travaille dans le système (km, h) et que la distance cherchée sera en "km".

Formule(s)

Ce n'est pas une formule mathématique, mais une formule de logique :

[\text{km/h}] \times [\text{h}] = [\text{km}] \quad \left( \text{car } \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \text{h} = \text{km} \right)

Hypothèses

On suppose que les données de l'énoncé sont correctes.

Donnée(s)

Nous extrayons les unités directement de l'énoncé (tableau de données).

Paramètre	Symbole	Valeur (et Unité)
Vitesse moyenne	\(v\)	20 km/h
Temps de trajet (Q3)	\(t_1\)	2 heures

Astuces

Comme en calcul, on peut "simplifier" les unités. Si on fait \(v \times t\), on fait \(\frac{\text{km}}{\text{h}} \times \text{h}\). Les "h" s'annulent, il ne reste que "km". L'unité du résultat est donc "km".

Réflexions

Identifier le bon "système" d'unités (km, h, km/h) ou (m, s, m/s) avant de commencer à calculer évite 90% des erreurs à ce niveau.

Points de vigilance

Le piège serait de ne pas regarder les unités et de mélanger, par exemple, des km/h avec des minutes (ce qui est l'objet de la question 4 !).

Points à retenir

Si \(v\) est en km/h et \(t\) en heures, alors \(d\) est en km.
Si \(v\) est en m/s et \(t\) en secondes, alors \(d\) est en mètres.

Le saviez-vous ?

Le "Nœud" (Knot) est une unité de vitesse utilisée par les bateaux et les avions. 1 nœud équivaut à 1 mille marin par heure (soit environ 1.852 km/h). Eux aussi doivent être cohérents : leur distance est en "milles marins" et leur temps en "heures".

FAQ

Résultat Final

Les unités données sont km/h (vitesse) et heures (temps). L'unité de distance calculée sera donc logiquement des kilomètres (km).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Cohérence des unités.
Règle : (km/h) + (h) \(\rightarrow\) (km).
Règle : (m/s) + (s) \(\rightarrow\) (m).

Question 3 : Calculer la distance totale (déplacement) parcourue par Paul s'il roule pendant 2 heures.

Principe

Maintenant que nous avons la formule \((d = v \times t\)) et que nous avons vérifié la cohérence des unités (km/h et h), nous pouvons simplement remplacer les lettres par les chiffres et calculer.

Mini-Cours

C'est l'application directe de la formule de la distance. On cherche la distance \(d\), on utilise donc la formule \(d = v \times t\).

Remarque Pédagogique

C'est le calcul le plus simple. Assurez-vous de bien poser le calcul en trois étapes : 1. J'écris la formule. 2. Je remplace par les chiffres. 3. Je calcule et je n'oublie pas l'unité à la fin.

Normes

Pas de norme spécifique, c'est une application mathématique de base.

Formule(s)

La formule pour trouver la distance :

d = v \times t

Hypothèses

On suppose que la vitesse de Paul est restée constante à 20 km/h pendant les 2 heures.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse moyenne	\(v\)	20	km/h
Temps de trajet	\(t_1\)	2	heures

Astuces

Pensez-y logiquement : "Paul fait 20 km en 1 heure. Combien fait-il en 2 heures ?". La réponse est évidente : le double ! Soit 40 km. Le calcul \(20 \times 2\) confirme cette logique.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser le trajet :

Trajet de Paul

Calcul(s)

Nous allons décomposer le calcul étape par étape en utilisant les données de cette question.

Étape 1 : Écrire la formule

On cherche la distance \((d\)). La formule (vue dans la Q1) est :

d = v \times t

C'est notre "plan de match". Nous allons utiliser cette formule.

Étape 2 : Remplacer les lettres par les valeurs

D'après l'énoncé, on a :
- \(v\) (vitesse) = 20 km/h
- \(t\) (temps) = 2 h
On remplace \(v\) par 20 et \(t\) par 2 :

d = 20 \text{ km/h} \times 2 \text{ h}

Le calcul est maintenant posé avec les bonnes valeurs.

Étape 3 : Calculer le résultat final

On effectue la multiplication \(20 \times 2 = 40\). L'unité de distance est le kilomètre (km), comme vu à la Q2 (car \(\text{km/h} \times \text{h} = \text{km}\)).

d = 40 \text{ km}

Le résultat de notre calcul est 40. L'unité est "km" car les "h" se sont annulés.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat confirme notre schéma : 20 km + 20 km = 40 km. Le schéma ci-dessous montre le résultat final.

Résultat : Trajet de 2 heures

Réflexions

Le résultat (40 km) est logique. 40 km est une distance tout à fait normale pour une balade de 2 heures à vélo.

Points de vigilance

Ne pas se tromper de formule ! Si on avait fait \(v/t\) (20 / 2 = 10) ou \(t/v\) (2 / 20 = 0.1), les résultats n'auraient aucun sens.

Points à retenir

La formule \(d = v \times t\) permet de trouver la distance.
Il faut toujours vérifier que le résultat est logique.

Le saviez-vous ?

Un cycliste du Tour de France maintient une vitesse moyenne bien plus élevée, souvent autour de 40 km/h pendant plus de 4 heures ! En utilisant la même formule (\(d = 40 \times 4\)), on voit qu'ils parcourent 160 km, voire plus, en une seule étape.

FAQ

...

Résultat Final

En 2 heures, Paul a parcouru une distance de 40 km.

A vous de jouer

Si un autre cycliste roule à \(v = 15 km/h\) pendant \(t = 3 heures\), quelle distance (en km) parcourt-il ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Calculer d.
Formule : \(d = v \times t\).
Calcul : \(d = 20 \times 2 = 40\) km.

Question 4 : Calculer la distance totale (déplacement) parcourue par Paul s'il roule pendant 30 minutes.

Principe

C'est la question piège. On ne peut pas calculer directement avec \(v = 20 km/h\) et \(t = 30 minutes\). Les unités ne sont pas cohérentes (km/h et minutes). Il faut d'abord convertir le temps en heures.

Mini-Cours

Pour convertir des minutes en heures, on doit se souvenir qu'il y a 60 minutes dans 1 heure.
- Soit on divise le nombre de minutes par 60 : \(t = 30 / 60 = 0.5 heures\).
- Soit on utilise une fraction : 30 minutes, c'est "une demi-heure" (1/2 heure), et 1/2 = 0.5.

Remarque Pédagogique

C'est l'erreur la plus fréquente. Si vous calculez \(20 \times 30 = 600\), votre résultat de 600 km est illogique. Un cycliste ne peut pas faire 600 km en 30 minutes ! Penser à la logique du résultat vous aide à voir l'erreur.

Normes

La conversion \(1 \text{ heure} = 60 \text{ minutes}\) est une convention de temps universelle.

Formule(s)

D'abord la conversion, puis la formule de la distance.

Étape 1 : Conversion du temps

t \text{ (en heures)} = \frac{t \text{ (en minutes)}}{60}

Étape 2 : Calcul de la distance

d = v \times t \text{ (en heures)}

Hypothèses

La vitesse est toujours constante à 20 km/h.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse moyenne	\(v\)	20	km/h
Temps de trajet	\(t_2\)	30	minutes

Astuces

30 minutes, c'est la moitié (0.5) d'une heure. Donc, Paul va parcourir la moitié de la distance qu'il parcourt en une heure. S'il fait 20 km en 1 heure, il fera la moitié (10 km) en 30 minutes.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la conversion :

Conversion Temps

Calcul(s)

Ici, nous devons être prudents avec les unités avant d'appliquer la formule.

Étape 1 : Conversion du temps (le piège !)

La vitesse est en km/h (kilomètres par heure), mais le temps est en minutes (30 min). On ne peut pas les mélanger ! Nous devons convertir 30 minutes en heures.
On sait que 1 heure = 60 minutes. Pour trouver combien d'heures font 30 minutes, on divise 30 par 60.

t = \frac{30 \text{ minutes}}{60 \text{ minutes par heure}} = 0.5 \text{ heures}

Donc, 30 minutes est la même chose que 0.5 heure (une demi-heure).

Étape 2 : Remplacer les valeurs dans la formule

Maintenant que nous avons \(v = 20 km/h\) et \(t = 0.5 h\), nous pouvons utiliser la formule \(d = v \times t\) :

d = 20 \text{ km/h} \times 0.5 \text{ h}

Le calcul est posé. Nous allons multiplier la vitesse par le temps en heures.

Étape 3 : Calculer le résultat final

Multiplier par 0.5 revient à prendre la moitié. La moitié de 20 est 10. L'unité est le kilomètre (km).

d = 10 \text{ km}

Le résultat final est 10 km. C'est logique, car en 1 heure (60 min) il fait 20 km, donc en 30 min (la moitié du temps) il fait la moitié de la distance.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul montre que \(d=10 km\). C'est la moitié de la distance parcourue en une heure (20 km), ce qui est logique pour un temps de 30 minutes (la moitié d'une heure).

Résultat : Trajet de 30 minutes

Réflexions

Cette question montre que la conversion est une étape cruciale. On ne peut pas calculer avec des unités incompatibles.

Points de vigilance

LE PIÈGE CLASSIQUE : Ne jamais faire \(20 \times 30 = 600\). Le résultat 600 km en 30 min est absurde et montre que vous avez oublié la conversion.

Points à retenir

Toujours vérifier la cohérence des unités (km/h et minutes sont incompatibles).
Pour convertir les minutes en heures, divisez par 60.

Le saviez-vous ?

Les GPS de voiture font ce calcul des milliers de fois par seconde. Ils connaissent votre vitesse \(v\) et calculent en permanence le temps \(t\) restant pour arriver à la distance (\d\) de votre destination, en utilisant \(t = d/v\).

FAQ

...

Résultat Final

En 30 minutes (soit 0.5 h), Paul a parcouru 10 km.

A vous de jouer

Si Paul roule à 20 km/h pendant 15 minutes (soit 0.25 heures), quelle distance (en km) parcourt-il ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Gérer les unités incompatibles.
Étape 1 : Convertir \(t = 30 \text{ min} \rightarrow 0.5 \text{ h}\).
Étape 2 : Calculer \(d = 20 \times 0.5 = 10 \text{ km}\).

Question 5 : Si Paul veut parcourir une distance de 60 km, combien de temps (en heures) lui faudrait-il ?

Principe

Cette fois, on nous donne la distance \(d\) et la vitesse \(v\), et on nous demande de trouver le temps \(t\). Nous devons utiliser la troisième formule, celle qui isole t.

Mini-Cours

En partant de \(v = d/t\) (ou en regardant le triangle magique), on trouve la formule pour le temps : \(t = d / v\). On divise la distance totale par la vitesse.

Remarque Pédagogique

On vérifie d'abord les unités : la distance est en km (60 km) et la vitesse en km/h (20 km/h). Les unités sont cohérentes. Le résultat du temps sera donc logiquement en heures.

Normes

Application mathématique de base.

Formule(s)

La formule pour trouver le temps :

t = \frac{d}{v}

Hypothèses

On suppose que Paul maintient sa vitesse constante de 20 km/h pendant tout le trajet.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse moyenne	\(v\)	20	km/h
Distance à parcourir	\(d_3\)	60	km

Astuces

Logiquement : "Paul fait 20 km en 1 heure. Combien de 'paquets' de 20 km y a-t-il dans 60 km ?". \(60 \div 20 = 3\). Il y a 3 'paquets', il lui faudra donc 3 heures.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du trajet total de 60 km.

Trajet total de 60 km

Calcul(s)

Cette fois, on cherche le temps (t). On doit manipuler la formule.

Étape 1 : Choisir la bonne formule

On part de \(d = v \times t\). Pour isoler t, on doit "passer" le v de l'autre côté. Puisque v est multiplié, il devient divisé de l'autre côté :

t = \frac{d}{v}

C'est la formule que nous allons utiliser pour trouver le temps.

Étape 2 : Remplacer les lettres par les valeurs

D'après l'énoncé, on a :
- d (distance) = 60 km
- v (vitesse) = 20 km/h
Les unités (km et km/h) sont cohérentes. On remplace d par 60 et v par 20 :

t = \frac{60 \text{ km}}{20 \text{ km/h}}

Le calcul est posé. Nous allons diviser la distance par la vitesse.

Étape 3 : Calculer le résultat final

On effectue la division \(60 \div 20 = 3\). L'unité de temps est l'heure (h), car les "km" s'annulent \( \text{km} \div (\text{km/h}) = \text{km} \times (\text{h/km}) = \text{h} \)).

t = 3 \text{ h}

Le résultat est 3. L'unité est "heures" (h). Il faudra donc 3 heures.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme le schéma : 1h + 1h + 1h = 3 heures. Le schéma ci-dessous montre le résultat final.

Résultat : Durée pour 60 km

Réflexions

Le résultat de 3 heures est cohérent. On vérifie : si Paul roule 3h à 20 km/h, il fait bien \(20 \times 3 = 60 km\). Notre calcul est correct.

Points de vigilance

Attention à ne pas multiplier : \(60 \times 20 = 1200\). 1200 heures pour faire 60 km serait absurde. Pensez toujours à la logique de votre résultat.

Points à retenir

La formule \(t = d / v\) permet de trouver le temps.
Vérifier la cohérence des unités (km et km/h) donne un résultat en heures (h).

Le saviez-vous ?

Les premières courses de voitures, à la fin du 19ème siècle, avaient des vitesses moyennes à peine supérieures à celle de Paul ! La course Paris-Rouen en 1894 a été remportée avec une vitesse moyenne d'environ 17 km/h.

FAQ

...

Résultat Final

Il faudrait 3 heures à Paul pour parcourir 60 km.

A vous de jouer

Si Paul doit parcourir \(d = 50 km\) à une vitesse \(v = 20 km/h\), combien de temps lui faut-il (en heures) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Calculer t.
Formule : \(t = d / v\).
Calcul : \(t = 60 / 20 = 3\) heures.

Outil Interactif : Simulateur de Déplacement

Utilisez le curseur pour changer la vitesse du cycliste et observez comment la distance parcourue (sur l'axe Y) augmente avec le temps (sur l'axe X).

Paramètres d'Entrée

Vitesse (v) (km/h) 20 km/h

Résultats Clés

Distance en 1 heure (km) -

Distance en 2.5 heures (km) -

Glossaire

Vitesse (v): La distance parcourue par unité de temps. (ex: km/h ou m/s)
Distance (d): La longueur du trajet entre le point de départ et d'arrivée. (ex: km ou m)
Temps (t): La durée du parcours. (ex: heures, minutes ou secondes)
Mouvement Uniforme: Un mouvement dont la vitesse est constante (elle ne change pas).
Unité cohérente: Utiliser des unités qui vont ensemble, comme km, h et km/h.