Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
Comprendre le Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
Tu es un ingénieur qui travaille sur la conception d’une nouvelle montagne russe excitante dans un parc d’attractions. Une des phases cruciales de ton projet est de s’assurer que la montagne russe est à la fois amusante et sécurisée. Une partie importante de cette tâche consiste à calculer l’énergie cinétique des wagons à différents points du parcours.
Données fournies pour l’exercice:
- La hauteur initiale de la première descente de la montagne russe est de 45 mètres.
- La masse d’un wagon rempli de passagers est de 800 kg.
Questions:
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle au sommet:
Utilisez la formule de l’énergie potentielle gravitationnelle \( E_p = m \cdot g \cdot h \) où \( m \) est la masse, \( g \) est l’accélération due à la gravité (environ \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)) et \( h \) est la hauteur.
2. Transformation en énergie cinétique:
Supposez que toute l’énergie potentielle gravitationnelle est convertie en énergie cinétique au bas de la descente (ignorez les frottements pour simplifier). Utilisez la formule de l’énergie cinétique: \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \) et calculez la vitesse \( v \) des wagons au bas de la descente.
3. Analyse de la sécurité:
Discutez si la vitesse calculée semble sécuritaire pour un wagon de montagne russe, sachant que les vitesses typiques pour les montagnes russes varient entre 20 et 40 m/s.
Correction : Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
1. Calcul de l’Énergie Potentielle Gravitationnelle (Ep)
Formule
La formule pour l’énergie potentielle gravitationnelle est :
\[ E_p = m \times g \times h \]
- m représente la masse du wagon rempli de passagers.
- g est l’accélération due à la gravité. Sur Terre, on utilise la valeur approchée de 9.81 m/s².
- h est la hauteur par rapport à la référence choisie (ici, le sommet de la première descente).
Substitution des valeurs
Données fournies :
- \( m = 800\ \text{kg} \)
- \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \)
- \( h = 45\ \text{m} \)
En substituant dans la formule :
\[ E_p = 800\ \text{kg} \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 45\ \text{m} \]
Calcul étape par étape
1. Calcul du produit \(g \times h\) :
\[ 9.81\ \text{m/s}^2 \times 45\ \text{m} = 441.45\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]
2. Multiplication par la masse :
\[ 441.45\ \text{m}^2/\text{s}^2 \times 800\ \text{kg} = 353,160\ \text{Joules} \]
Résultat obtenu :
\[ E_p = 353\,160\ \text{Joules} \]
2. Transformation en Énergie Cinétique et Calcul de la Vitesse
a. Principe
Supposons que toute l’énergie potentielle est convertie en énergie cinétique \(E_k\) au bas de la descente, sans pertes dues aux frottements. L’énergie cinétique se calcule par :
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
où v est la vitesse du wagon au bas de la descente.
b. Égalisation des énergies
En supposant \( E_p = E_k \), nous avons :
\[ 353\,160\ \text{J} = \frac{1}{2} \times 800\ \text{kg} \times v^2 \]
c. Isoler et calculer la vitesse \(v\)
1. Multiplication de \(\frac{1}{2}\) par \(m\) :
\[ \frac{1}{2} \times 800\ \text{kg} = 400\ \text{kg} \]
La relation devient :
\[ 353\,160\ \text{J} = 400\ \text{kg} \times v^2 \]
2. Isoler \(v^2\) :
\[ v^2 = \frac{353\,160\ \text{J}}{400\ \text{kg}} \] \[ v^2 = 883\ \text{(m}^2\text{/s}^2) \]
3. Calculer \(v\) :
\[ v = \sqrt{883\ \text{m}^2/\text{s}^2} \] \[ v \approx 29.73\ \text{m/s} \]
Résultat obtenu :
\[ v \approx 29.73\ \text{m/s} \]
3. Analyse de la Sécurité de la Vitesse
a. Contexte de la vitesse des montagnes russes
Les vitesses des wagons dans ce type d’attraction se situent généralement entre 20 m/s et 40 m/s. Cette plage permet de procurer une expérience excitante tout en respectant des normes de sécurité strictes.
b. Interprétation du résultat
La vitesse calculée de 29.73 m/s se situe :
- À l’intérieur de la plage sécuritaire (supérieure à 20 m/s et inférieure à 40 m/s).
- Elle offre une sensation de vitesse suffisamment excitante, sans être trop intense.
c. Remarques complémentaires
Dans un projet réel, il faudrait également prendre en compte :
- Les frottements et les pertes d’énergie.
- Les forces g et les contraintes structurales sur les wagons et le parcours.
- Les normes de sécurité et les réglementations en vigueur.
Dans cet exercice simplifié, la vitesse calculée est conforme aux attentes pour une attraction moderne et sécurisée.
Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
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