Analyse de l'Orbite d'une Exoplanète

Contexte : La gravitation universelleLoi physique décrivant l'attraction entre deux corps massifs. C'est la force qui maintient les planètes en orbite autour des étoiles. et les lois de Kepler.

La découverte de milliers d'exoplanètes a ouvert un nouveau champ d'exploration en astrophysique. L'un des objectifs principaux est de caractériser ces mondes lointains et les étoiles autour desquelles ils orbitent. En observant une exoplanète, on peut mesurer sa période de révolution (le temps qu'elle met pour faire un tour complet) et le rayon de son orbite. Cet exercice vous montrera comment, à partir de ces deux informations, on peut déduire une propriété fondamentale de son étoile : sa masse, grâce aux lois de la mécanique céleste établies par Newton et Kepler.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la troisième loi de Kepler et la loi de la gravitation universelle pour "peser" une étoile à des centaines d'années-lumière de distance, en vous basant uniquement sur l'observation de l'une de ses planètes.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de la gravitation universelle à un mouvement orbital.
Utiliser les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.
Démontrer la troisième loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire.
Calculer la masse d'un astre central à partir des paramètres orbitaux d'un satellite.

Données de l'étude

Nous étudions l'exoplanète Kepler-186f, qui orbite autour de l'étoile Kepler-186. Pour simplifier l'analyse, nous supposerons que son orbite est un cercle parfait. Les observations astronomiques ont permis de déterminer les caractéristiques de son orbite.

Schéma du système Kepler-186

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(T\)	Période de révolution de Kepler-186f	\(1,12 \times 10^7\)	s
\(a\)	Rayon de l'orbite (demi-grand axe)	\(5,98 \times 10^{10}\)	m
\(G\)	Constante de gravitation universelle	\(6,67 \times 10^{-11}\)	\(\text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)

Questions à traiter

Énoncer la troisième loi de Kepler.
En considérant l'orbite circulaire, exprimer la force de gravitation exercée par l'étoile sur la planète.
À partir de l'étude du mouvement circulaire uniforme, retrouver l'expression de la troisième loi de Kepler et exprimer la constante en fonction de la masse de l'étoile \(M_*\).
Calculer la masse \(M_*\) de l'étoile Kepler-186.

Les bases sur la Gravitation et le Mouvement Circulaire

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux concepts clés de la mécanique.

1. Loi de la Gravitation Universelle
Deux corps de masses \(M\) et \(m\), dont les centres sont séparés par une distance \(r\), s'attirent mutuellement avec une force dont l'intensité est proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance. \[ F_{M/m} = G \frac{M \cdot m}{r^2} \] Cette force est dirigée le long de la droite joignant les centres des deux corps.

2. Mouvement Circulaire Uniforme
Un objet en mouvement circulaire uniforme de rayon \(r\) à une vitesse \(v\) subit une accélération centripète (dirigée vers le centre du cercle) d'intensité : \(a = \frac{v^2}{r}\). La vitesse \(v\) peut être exprimée en fonction de la période de révolution \(T\) par la relation \(v = \frac{2\pi r}{T}\).

Correction : Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète

Question 1 : Énoncer la troisième loi de Kepler.

Principe

Cette question est un rappel de cours. Il s'agit de formuler l'une des lois fondamentales qui décrivent le mouvement des planètes, découverte empiriquement par Johannes Kepler au début du XVIIe siècle.

Mini-Cours

Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil (et par extension, de tout satellite autour de son corps central). La troisième loi, aussi appelée loi des périodes, établit une relation mathématique entre la taille de l'orbite d'une planète et le temps qu'elle met à la parcourir.

Remarque Pédagogique

Il est important de bien comprendre que cette loi relie une caractéristique spatiale (la taille de l'orbite) à une caractéristique temporelle (la période). C'est ce lien qui est puissant et que nous allons utiliser.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie, mais d'une loi fondamentale de la physique.

Formule(s)

\frac{T^2}{a^3} = k

Où \(T\) est la période de révolution, \(a\) est le demi-grand axe de l'orbite elliptique, et \(k\) est une constante qui est la même pour tous les objets orbitant autour du même corps central.

Hypothèses

La loi de Kepler s'applique en supposant que la masse du corps en orbite (la planète) est négligeable devant la masse du corps central (l'étoile).

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette question purement théorique.

Astuces

Pour mémoriser la loi, pensez 'le temps au carré est proportionnel à la distance au cube'. Cette relation simple est la clé de toute la mécanique céleste.

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma illustrant une orbite elliptique avec ses paramètres est utile.

Orbite Képlérienne

Calcul(s)

Il n'y a pas de calcul à effectuer pour cette question.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste le même, illustrant la loi énoncée.

Orbite Képlérienne

Réflexions

Cette loi implique que plus une planète est éloignée de son étoile, plus son "année" (sa période de révolution) est longue, et ce de manière prédictible. C'est le cas dans notre système solaire : l'année de Mercure est de 88 jours, tandis que celle de Neptune est de 165 ans.

Points de vigilance

Ne pas confondre le demi-grand axe \(a\) avec le rayon. Pour une orbite elliptique, le demi-grand axe est la moitié de la plus grande dimension de l'ellipse. Dans le cas particulier d'un cercle, le demi-grand axe est simplement égal au rayon.

Points à retenir

Troisième loi de Kepler : Le carré de la période de révolution (\(T^2\)) est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'orbite (\(a^3\)).

Le saviez-vous ?

Kepler a formulé ses lois avant que Newton ne développe la théorie de la gravitation. Les lois de Kepler étaient donc initialement empiriques, basées sur les observations méticuleuses de l'astronome Tycho Brahe.

FAQ

Résultat Final

La troisième loi de Kepler stipule que pour tout corps en orbite autour d'un astre central, le rapport du carré de sa période de révolution par le cube du demi-grand axe de son orbite est une constante.

A vous de jouer

Si une planète B est deux fois plus loin de son étoile qu'une planète A, sa période de révolution sera-t-elle deux fois plus longue, plus de deux fois plus longue, ou moins de deux fois plus longue ?

Question 2 : Exprimer la force de gravitation et l'accélération de la planète.

Principe

La planète reste en orbite car elle est constamment attirée par son étoile. Cette attraction est décrite par la loi de la gravitation universelle de Newton. Par ailleurs, comme la planète suit une trajectoire courbe, elle subit nécessairement une accélération, même si sa vitesse est constante.

Mini-Cours

Selon la deuxième loi de Newton, la somme des forces appliquées à un objet est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)). Dans le cas d'une planète en orbite circulaire, la seule force est la gravitation, et l'accélération est centripète.

Remarque Pédagogique

Cette étape est essentielle pour faire le lien entre la cause du mouvement (la force de gravitation) et la description du mouvement (l'accélération centripète). C'est en égalant ces deux concepts via la deuxième loi de Newton que nous pourrons démontrer la loi de Kepler.

Normes

Il s'agit de lois fondamentales de la physique.

Formule(s)

Force de gravitation :

F_g = G \frac{M_* \cdot m_p}{a^2}

Accélération centripète :

a_c = \frac{v^2}{a}

Hypothèses

On fait deux hypothèses majeures :

L'orbite est un cercle de rayon \(a\).
L'étoile est immobile au centre de l'orbite (sa masse est très supérieure à celle de la planète).

Donnée(s)

Les variables littérales sont : la masse de l'étoile \(M_*\), la masse de la planète \(m_p\), le rayon de l'orbite \(a\), la vitesse de la planète \(v\), et la constante \(G\).

Astuces

N'oubliez pas que la force de gravitation et l'accélération sont des vecteurs. Ils sont tous les deux dirigés vers le centre de l'orbite (l'étoile).

Schéma (Avant les calculs)

Forces et Mouvement

Calcul(s)

Cette question ne demande pas de calcul, mais de donner les expressions littérales demandées.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste le même, il illustre les expressions trouvées.

Forces et Mouvement

Réflexions

Nous avons maintenant deux façons de décrire ce qui se passe : une du point de vue des "causes" (la force) et une du point de vue des "effets" (l'accélération). La prochaine étape consistera à les relier.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la vitesse \(v\), qui est tangentielle à la trajectoire, et l'accélération \(a_c\), qui est radiale (dirigée vers le centre). Dans un mouvement circulaire uniforme, ces deux vecteurs sont toujours perpendiculaires.

Points à retenir

Force centripète : \(F_g = G \frac{M_* m_p}{a^2}\)
Accélération centripète : \(a_c = \frac{v^2}{a}\)

Le saviez-vous ?

L'idée que la gravitation pourrait être la force maintenant la Lune en orbite est venue à Isaac Newton en observant une pomme tomber d'un arbre. Il a eu l'intuition que la même force qui attire la pomme vers la Terre pourrait s'étendre bien plus loin, jusqu'à la Lune.

FAQ

Résultat Final

Les expressions sont \(F_g = G \frac{M_* m_p}{a^2}\) pour la force de gravitation et \(a_c = \frac{v^2}{a}\) pour l'accélération.

A vous de jouer

Si on doublait la masse de l'étoile, par quel facteur la force de gravitation serait-elle multipliée ?

Question 3 : Retrouver l'expression de la troisième loi de Kepler.

Principe

Cette question est une démonstration. En appliquant la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)) à la planète, on va égaler l'expression de la force de gravitation (la cause) à celle du produit de la masse par l'accélération centripète (l'effet). Cela nous permettra de trouver une relation entre la période et le rayon de l'orbite.

Mini-Cours

La démonstration de la troisième loi de Kepler est un exemple classique d'application de la mécanique newtonienne. Elle montre comment les lois fondamentales du mouvement et de la gravitation expliquent les observations astronomiques de manière quantitative et prédictive.

Remarque Pédagogique

Suivez bien chaque étape algébrique. L'objectif est de manipuler les équations pour faire apparaître le rapport \(T^2/a^3\) et de voir ce qui reste de l'autre côté de l'égalité.

Normes

Il s'agit d'une démonstration fondamentale en physique.

Formule(s)

On part des formules suivantes :

F_g = m_p \cdot a_c \quad ; \quad v = \frac{2\pi a}{T}

Hypothèses

Les mêmes que pour la question 2 : orbite circulaire et étoile fixe.

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette démonstration.

Astuces

Le point clé est de remplacer la vitesse \(v\) par son expression en fonction de la période \(T\). C'est ce qui fera apparaître le terme \(T^2\) que l'on recherche.

Schéma (Avant les calculs)

Égalité Fondamentale

Calcul(s)

On applique la deuxième loi de Newton, puis on substitue les expressions de la force, de l'accélération et de la vitesse.

\begin{aligned} F_g &= m_p \cdot a_c \\ G \frac{M_* m_p}{a^2} &= m_p \frac{v^2}{a} \\ G \frac{M_*}{a^2} &= \frac{v^2}{a} \quad (\text{on simplifie par } m_p) \\ G \frac{M_*}{a} &= v^2 \\ G \frac{M_*}{a} &= \left( \frac{2\pi a}{T} \right)^2 \\ G \frac{M_*}{a} &= \frac{4\pi^2 a^2}{T^2} \\ T^2 \cdot G M_* &= 4\pi^2 a^3 \\ \frac{T^2}{a^3} &= \frac{4\pi^2}{G M_*} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma illustre la relation finale : la période et le rayon sont liés par une constante qui dépend de la masse de l'étoile.

Loi de Kepler Démontrée

Réflexions

Nous avons retrouvé la troisième loi de Kepler (\(\frac{T^2}{a^3} = \text{constante}\)) et nous avons en plus trouvé l'expression de cette "constante" mystérieuse. Elle n'est pas si mystérieuse : elle dépend uniquement de la masse de l'astre central. C'est ce qui nous permettra de "peser" l'étoile.

Points de vigilance

Attention aux carrés et aux cubes lors de la manipulation algébrique. Une erreur fréquente est d'oublier de mettre au carré le \(2\pi\) et le \(a\) lorsqu'on remplace \(v^2\).

Points à retenir

La constante de la troisième loi de Kepler est \(\frac{4\pi^2}{G M_*}\). Cette formule est fondamentale en astrophysique pour calculer la masse des étoiles, des planètes, et même des galaxies.

Le saviez-vous ?

Cette même formule peut être utilisée pour calculer la masse de la Terre en utilisant l'orbite de la Lune, ou la masse de Jupiter en utilisant l'orbite de l'une de ses lunes comme Europe ou Ganymède.

FAQ

Résultat Final

On retrouve bien \(\frac{T^2}{a^3} = k\), avec la constante \(k = \frac{4\pi^2}{G M_*}\).

A vous de jouer

Si la masse de l'étoile \(M_*\) est plus grande, la constante de Kepler \(k\) est-elle plus grande ou plus petite ?

Question 4 : Calculer la masse \(M_*\) de l'étoile Kepler-186.

Principe

Maintenant que nous avons la formule reliant les paramètres orbitaux à la masse de l'étoile, il ne reste plus qu'à l'appliquer. On va réarranger la formule pour isoler la masse \(M_*\) puis remplacer les variables par leurs valeurs numériques.

Mini-Cours

L'application numérique est une étape cruciale en physique. Elle requiert de la rigueur dans l'utilisation des unités du Système International (mètres, secondes, kilogrammes) et dans la manipulation des puissances de dix.

Remarque Pédagogique

Utilisez votre calculatrice avec soin, en particulier pour les puissances et les parenthèses. Une bonne pratique est de calculer d'abord le numérateur, puis le dénominateur, avant de faire la division finale.

Normes

Aucune norme spécifique n'est applicable ici.

Formule(s)

On part de la loi de Kepler démontrée précédemment et on isole \(M_*\).

\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M_*} \Rightarrow M_* = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}

Hypothèses

Les mêmes que précédemment : orbite circulaire, étoile fixe.

Donnée(s)

On utilise les données numériques de l'énoncé.

\(T = 1,12 \times 10^7 \ \text{s}\)
\(a = 5,98 \times 10^{10} \ \text{m}\)
\(G = 6,67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, sachez que la masse du Soleil est d'environ \(2 \times 10^{30} \ \text{kg}\). Kepler-186 est une étoile naine rouge, donc sa masse devrait être inférieure à celle du Soleil. Si vous trouvez une valeur beaucoup plus grande, il y a probablement une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Objectif du Calcul

Calcul(s)

On procède à l'application numérique étape par étape.

\begin{aligned} M_* &= \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2} \\ &= \frac{4\pi^2 \cdot (5,98 \times 10^{10} \ \text{m})^3}{(6,67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (1,12 \times 10^7 \ \text{s})^2} \\ &= \frac{4\pi^2 \cdot (2,139 \times 10^{32} \ \text{m}^3)}{(6,67 \times 10^{-11}) \cdot (1,254 \times 10^{14} \ \text{s}^2)} \\ &= \frac{8,44 \times 10^{33}}{8,36 \times 10^3} \ \text{kg} \\ &\approx 1,01 \times 10^{30} \ \text{kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous a permis de "peser" l'étoile.

Résultat Obtenu

Réflexions

La masse calculée, \(1,01 \times 10^{30} \ \text{kg}\), est environ la moitié de la masse de notre Soleil (\(\approx 2 \times 10^{30} \ \text{kg}\)). Ce résultat est tout à fait cohérent avec le fait que Kepler-186 est une étoile de type "naine rouge", plus petite et moins massive que le Soleil.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre au cube le rayon \(a\) et au carré la période \(T\). Assurez-vous également que toutes vos données sont bien en unités du Système International avant de commencer le calcul.

Points à retenir

La masse d'une étoile peut être déterminée en observant le mouvement d'un de ses compagnons (planète ou autre étoile) et en appliquant la troisième loi de Kepler.

Le saviez-vous ?

La masse de la plupart des objets astrophysiques, des étoiles aux galaxies en passant par les trous noirs supermassifs, est mesurée indirectement en observant l'effet de leur gravité sur les objets qui les entourent, en utilisant des variations de cette même méthode.

FAQ

Résultat Final

La masse de l'étoile Kepler-186 est d'environ \(1,01 \times 10^{30} \ \text{kg}\).

A vous de jouer

La Terre orbite autour du Soleil avec une période \(T \approx 3,15 \times 10^7 \ \text{s}\) et un rayon \(a \approx 1,50 \times 10^{11} \ \text{m}\). En utilisant ces données, essayez de calculer la masse du Soleil.

Outil Interactif : Pesez votre étoile !

Utilisez les curseurs pour faire varier la période et le rayon de l'orbite d'une planète imaginaire. Observez comment la masse de son étoile doit changer pour que l'orbite soit stable. Les résultats sont donnés en masses solaires (1 M☉ = \(2 \times 10^{30}\) kg).

Paramètres d'Entrée

Période Orbitale (jours terrestres) 130 jours

Rayon Orbital (UA) 0.40 UA

Résultats Clés

Masse de l'étoile (kg) -

Masse de l'étoile (Masses Solaires) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Selon la 3ème loi de Kepler, si une planète se déplace sur une orbite deux fois plus grande, sa période sera :

Deux fois plus longue
Plus que deux fois plus longue
Moins que deux fois plus longue

2. La force qui maintient une planète en orbite est :

La force centrifuge
La force nucléaire
La force de gravitation

3. Pour calculer la masse de l'étoile, la masse de la planète est :

Négligeable et n'apparaît pas dans le calcul final
Essentielle et doit être connue précisément
Égale à la masse de l'étoile

Exoplanète: Une planète qui orbite autour d'une autre étoile que le Soleil.
Période de révolution (T): Le temps nécessaire pour qu'un objet complète une orbite autour d'un autre objet.
Unité Astronomique (UA): Une unité de distance approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil (environ 150 millions de kilomètres).