Pour résoudre ce problème, nous nous appuyons sur la Deuxième Loi de Snell-Descartes pour la réfraction. Ce théorème postule que lorsqu'un rayon lumineux monochromatique traverse la surface de séparation entre deux milieux transparents, le produit de l'indice de réfraction du milieu par le sinus de l'angle (mesuré par rapport à la normale) est une constante.

Avant de foncer tête baissée dans les calculs, analysons notre système.

Premièrement, la lumière voyage initialement dans l'air. L'air sera donc notre "Milieu 1". Nous lui attribuons l'indice \( n_{\text{air}} \) et l'angle d'incidence \( i_{\text{air}} \).

Deuxièmement, la lumière pénètre dans l'eau de l'aquarium. L'eau devient logiquement notre "Milieu 2", caractérisé par l'indice \( n_{\text{eau}} \) et l'angle réfracté \( i_{\text{eau}} \).

Or, notre objectif final est de trouver l'angle \( i_{\text{eau}} \). Dans la formule mathématique, cet angle est prisonnier de la fonction trigonométrique "sinus".

Par conséquent, notre stratégie mathématique consistera d'abord à isoler le terme complet \( \sin(i_{\text{eau}}) \) d'un seul côté de l'égalité. Pour ce faire, nous devrons diviser l'ensemble de l'équation par l'indice \( n_{\text{eau}} \).

En modélisant la situation avec la loi de Snell-Descartes et en manipulant judicieusement l'algèbre, nous avons réussi à créer une expression explicite pour le sinus de l'angle de réfraction sous l'eau. C'est la fondation solide de toute notre résolution.

Le travail algébrique est-il physiquement logique ? Absolument. Nous vérifions l'homogénéité (les dimensions) : les indices \( n_{\text{air}} \) et \( n_{\text{eau}} \) s'annulent dimensionnellement dans la division, et le sinus n'a pas d'unité. Le résultat global est donc bien "sans unité", ce qui est indispensable pour un sinus.

Ici, nous appliquons simplement les règles de priorité opératoire classiques de l'arithmétique : calcul du numérateur (en évaluant d'abord la fonction trigonométrique du \( 45,0 \text{ °} \)), puis division par le dénominateur.

La formule littérale est prête : \( \sin(i_{\text{eau}}) = \frac{n_{\text{air}} \times \sin(i_{\text{air}})}{n_{\text{eau}}} \).

Maintenant, nous devons remplacer chaque variable par les mesures expérimentales de Léo. Nous allons d'abord chercher la valeur de \( \sin(45,0 \text{ °}) \) avec la calculatrice.

Ensuite, nous la multiplierons par 1,00, puis nous diviserons le tout par 1,33.

Attention, nous conserverons plusieurs décimales (au moins quatre) lors de ce calcul intermédiaire pour éviter de fausser l'étape finale de conversion.

Cette étape charnière est validée. La valeur décimale de notre constante trigonométrique est fixée à 0,5316. Nous avons le code d'entrée pour la dernière conversion.

Vérifions la viabilité du résultat : comme vu dans le cours, la fonction sinus doit être comprise entre -1 et 1. Notre valeur de 0,5316 respecte parfaitement cette condition absolue ! Un résultat de 2,4, par exemple, aurait prouvé que le calcul était mathématiquement impossible.

Nous utilisons le théorème de l'inversion trigonométrique. Si on connaît la valeur \( y = \sin(x) \), l'angle initial \( x \) est défini de manière unique par l'application de la fonction réciproque Arcsinus, souvent notée \(\arcsin\) ou \(\sin^{-1}\).

Nous faisons face à une donnée brute indispensable : \( \sin(i_{\text{eau}}) = 0,5316 \).

D'une part, nous savons que l'angle physique réfracté est obligatoirement un angle aigu. Il doit se situer entre 0 et 90 degrés par rapport à la verticale.

D'autre part, pour détruire l'enveloppe "sinus" et libérer l'angle \( i_{\text{eau}} \), nous devons appliquer algébriquement la fonction réciproque Arcsinus aux deux côtés stricts de l'équation.

En repérant notre angle de départ de 45° sur l'axe horizontal (axe des abscisses) et en remontant jusqu'à croiser la courbe bleue, il suffit de lire la valeur correspondante sur l'axe vertical (axe des ordonnées). La ligne rouge de projection nous indique un angle légèrement au-dessus de 30°. La lecture graphique confirme de manière visuelle et éclatante notre résultat analytique de 32,1° !

Le point d'orgue de l'exercice est atteint. À partir d'un angle d'incidence imposé de \( 45,0 \text{ °} \) dans l'air, notre puissante démonstration conclut que la réfraction coud le trajet de la lumière, engendrant un nouvel angle final de \( 32,1 \text{ °} \) au cœur de l'aquarium.

L'expertise optique valide-t-elle ce chiffre ? Totalement ! Lorsque la lumière voyage d'un milieu fluide (l'air, \( n_{\text{air}}=1,00 \)) vers un milieu plus visqueux ou "lent" (l'eau, \( n_{\text{eau}}=1,33 \)), le rayon réfracté est contraint de se rapprocher inévitablement de la normale. Notre angle \( 32,1 \text{ °} \) est assurément plus petit que les \( 45,0 \text{ °} \) de départ. L'univers physique est cohérent.

Nous appliquons un simple principe de géométrie des angles alternes/opposés. La déviation totale subie par un rayon lumineux (\( D \)) lors de la traversée d'un dioptre unique correspond simplement à la valeur absolue de la différence géométrique entre l'angle d'incidence et l'angle de réfraction.

Imaginons un instant qu'il n'y ait pas d'eau dans l'aquarium. Le rayon continuerait son chemin en ligne parfaitement droite.

Il conserverait perpétuellement son inclinaison initiale de \( 45,0 \text{ °} \) par rapport à la ligne pointillée verticale.

Mais l'eau est présente, et l'angle s'est refermé brutalement pour atteindre \( 32,1 \text{ °} \).

En conséquence, l'écart mathématique entre la ligne droite fantôme et le nouveau rayon réfracté représente physiquement l'intensité de la "cassure" de la lumière.

Cette fois, l'analyse optique est irréprochable et absolue. Le choc optique à la surface de l'eau a littéralement désaxé le pointeur laser avec une déviation géométrique nette de \( 12,9 \text{ °} \).

Cet écart positif et réaliste corrobore amplement nos observations quotidiennes. Dans une piscine, les objets nous paraissent toujours subtilement décalés de leur position réelle à cause de ces \( \sim 13 \text{ °} \) d'illusion d'optique !