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Exercices Physique Chimie

Temps et Vitesse pour un Parachutiste

Temps et Vitesse pour un Parachutiste

Temps et Vitesse pour un Parachutiste

Analyser les différentes phases du saut d'un parachutiste et calculer les grandeurs cinématiques associées.

Le mouvement d'un parachutiste peut être décomposé en plusieurs phases, chacune régie par des forces différentes. Les forces principales sont le poids (\(\vec{P}\)) et la force de frottement de l'air (\(\vec{F}_f\)). Lorsque ces deux forces se compensent, le parachutiste atteint une vitesse constante appelée vitesse terminale.

  • Le poids est donné par \(P = mg\), où \(m\) est la masse et \(g\) l'intensité de la pesanteur.
  • La force de frottement de l'air s'oppose au mouvement et dépend de la vitesse, de la forme et de la surface de l'objet.
  • Si \(\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}\), le mouvement est rectiligne uniforme (vitesse constante, accélération nulle).
  • Si \(\sum \vec{F}_{ext} \neq \vec{0}\), le mouvement est accéléré (\(\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)).

Données du Problème

Un parachutiste de masse \(m = 80 \text{ kg}\) (équipement compris) saute d'un hélicoptère en vol stationnaire à une altitude \(H = 3000 \text{ m}\) par rapport au sol.

  • Phase 1 (Chute libre) : Après avoir sauté, le parachutiste atteint rapidement une vitesse terminale \(v_1 = 50 \text{ m/s}\). Il maintient cette vitesse jusqu'à une altitude \(H_{ouverture} = 1200 \text{ m}\).
  • Phase 2 (Ouverture du parachute) : À l'altitude \(H_{ouverture}\), il ouvre son parachute. Juste après l'ouverture, la force de frottement totale (parachute + corps) prend une valeur \(\|\vec{F}_{f,ouverture}\| = 2000 \text{ N}\).
  • Phase 3 (Descente avec parachute) : Le parachutiste atteint rapidement une nouvelle vitesse terminale, plus faible, \(v_2 = 6.0 \text{ m/s}\), qu'il maintient jusqu'au sol.

On prendra l'intensité de la pesanteur \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).

Phases du Saut en Parachute Phase 1 (v1) P Ff1 H Ouverture (Houverture) Phase 3 (v2) P Ff2 Sol
Différentes phases du saut d'un parachutiste.

Questions

  1. Calculer la valeur du poids \(\|\vec{P}\|\) du parachutiste.
  2. Phase 1 (Chute libre à vitesse terminale \(v_1\)) :
    1. Quelle est la somme des forces s'exerçant sur le parachutiste durant cette phase ? Justifier.
    2. En déduire la valeur de la force de frottement de l'air \(\|\vec{F}_{f1}\|\) pendant cette phase.
    3. Calculer la distance \(d_1\) parcourue en chute libre à la vitesse \(v_1\).
    4. Calculer la durée \(\Delta t_1\) de cette phase.
  3. Phase 2 (Ouverture du parachute) :
    1. Juste après l'ouverture du parachute, la force de frottement est \(\|\vec{F}_{f,ouverture}\| = 2000 \text{ N}\). Calculer la valeur de l'accélération (ou décélération) \(a_2\) du parachutiste à cet instant. Préciser son sens.
  4. Phase 3 (Descente avec parachute à vitesse terminale \(v_2\)) :
    1. Quelle est la valeur de la force de frottement de l'air \(\|\vec{F}_{f2}\|\) lorsque le parachutiste descend à la vitesse terminale \(v_2 = 6.0 \text{ m/s}\) ?
    2. Calculer la durée \(\Delta t_3\) de la descente avec le parachute depuis l'altitude \(H_{ouverture}\) jusqu'au sol, en supposant que la vitesse \(v_2\) est atteinte très rapidement.
  5. Calculer la durée totale approximative \(\Delta t_{total}\) du saut (somme de \(\Delta t_1\) et \(\Delta t_3\)).

Correction : Temps et Vitesse pour un Parachutiste

1. Calcul du Poids \(\|\vec{P}\|\) du Parachutiste

Le poids est donné par la relation \(P = m \times g\).

Données :
\(m = 80 \text{ kg}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)

\[ \begin{aligned} P &= m \times g \\ &= 80 \text{ kg} \times 9.81 \text{ m/s}^2 \\ &= 784.8 \text{ N} \end{aligned} \]

La valeur du poids du parachutiste est \(P = 784.8 \text{ N}\).

2. Phase 1 (Chute libre à vitesse terminale \(v_1\))

a. Somme des forces

Lorsque le parachutiste atteint sa vitesse terminale, sa vitesse est constante. D'après le principe d'inertie (première loi de Newton), si la vitesse est constante, l'accélération est nulle, et donc la somme des forces extérieures est nulle.

\[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \]

La somme des forces s'exerçant sur le parachutiste est nulle car il se déplace à vitesse constante.

b. Valeur de la force de frottement \(\|\vec{F}_{f1}\|\)

Les forces s'exerçant sur le parachutiste sont son poids \(\vec{P}\) (vers le bas) et la force de frottement de l'air \(\vec{F}_{f1}\) (vers le haut). Puisque \(\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}\), on a \(\vec{P} + \vec{F}_{f1} = \vec{0}\).

En projection sur un axe vertical orienté vers le bas :

\[ P - F_{f1} = 0 \] \[ F_{f1} = P \]

Donc, \(\|\vec{F}_{f1}\| = \|\vec{P}\| = 784.8 \text{ N}\).

La valeur de la force de frottement de l'air est \(\|\vec{F}_{f1}\| = 784.8 \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Lorsqu'un objet atteint sa vitesse terminale en chute libre, son accélération est :

c. Distance \(d_1\) parcourue en chute libre à \(v_1\)

La chute libre à vitesse terminale \(v_1\) commence à l'altitude \(H\) et se termine à l'altitude \(H_{ouverture}\).

Données :
\(H = 3000 \text{ m}\)
\(H_{ouverture} = 1200 \text{ m}\)

\[ \begin{aligned} d_1 &= H - H_{ouverture} \\ &= 3000 \text{ m} - 1200 \text{ m} \\ &= 1800 \text{ m} \end{aligned} \]

La distance parcourue en chute libre à vitesse terminale \(v_1\) est \(d_1 = 1800 \text{ m}\).

d. Durée \(\Delta t_1\) de cette phase

Le mouvement est uniforme à la vitesse \(v_1\), donc \(\Delta t_1 = d_1 / v_1\).

Données :
\(d_1 = 1800 \text{ m}\)
\(v_1 = 50 \text{ m/s}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_1 &= \frac{d_1}{v_1} \\ &= \frac{1800 \text{ m}}{50 \text{ m/s}} \\ &= 36 \text{ s} \end{aligned} \]

La durée de la phase de chute libre à vitesse terminale \(v_1\) est \(\Delta t_1 = 36 \text{ s}\).

3. Phase 2 (Ouverture du parachute)

a. Accélération \(a_2\) juste après l'ouverture

On applique la deuxième loi de Newton. Les forces sont le poids \(\vec{P}\) (vers le bas) et la force de frottement \(\vec{F}_{f,ouverture}\) (vers le haut).

Données :
\(P = 784.8 \text{ N}\)
\(\|\vec{F}_{f,ouverture}\| = 2000 \text{ N}\)
\(m = 80 \text{ kg}\)

En projection sur un axe vertical orienté vers le bas :

\[ \sum F_y = P - \|\vec{F}_{f,ouverture}\| = m a_2 \] \[ \begin{aligned} a_2 &= \frac{P - \|\vec{F}_{f,ouverture}\|}{m} \\ &= \frac{784.8 \text{ N} - 2000 \text{ N}}{80 \text{ kg}} \\ &= \frac{-1215.2 \text{ N}}{80 \text{ kg}} \\ &\approx -15.19 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que l'accélération est dirigée vers le haut, c'est donc une décélération.

L'accélération (décélération) juste après l'ouverture du parachute est \(a_2 \approx -15.2 \text{ m/s}^2\) (dirigée vers le haut).

Quiz Intermédiaire

Question : Si la force résultante sur un objet est dirigée vers le haut et que son mouvement est vers le bas, l'objet :

4. Phase 3 (Descente avec parachute à vitesse terminale \(v_2\))

a. Valeur de la force de frottement \(\|\vec{F}_{f2}\|\) à la vitesse \(v_2\)

Lorsque le parachutiste atteint la nouvelle vitesse terminale \(v_2\), la somme des forces est à nouveau nulle.

Données :
\(P = 784.8 \text{ N}\)

En projection sur un axe vertical orienté vers le bas :

\[ P - F_{f2} = 0 \] \[ F_{f2} = P \]

La valeur de la force de frottement de l'air à la vitesse terminale \(v_2\) est \(\|\vec{F}_{f2}\| = 784.8 \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si un parachutiste descend à vitesse constante avec son parachute ouvert, la force de frottement de l'air est :

b. Durée \(\Delta t_3\) de la descente avec parachute

Le mouvement est uniforme à la vitesse \(v_2\) sur la distance restante \(H_{ouverture}\).

Données :
\(H_{ouverture} = 1200 \text{ m}\)
\(v_2 = 6.0 \text{ m/s}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_3 &= \frac{H_{ouverture}}{v_2} \\ &= \frac{1200 \text{ m}}{6.0 \text{ m/s}} \\ &= 200 \text{ s} \end{aligned} \]

La durée de la descente avec parachute est \(\Delta t_3 = 200 \text{ s}\) (soit 3 minutes et 20 secondes).

5. Durée Totale Approximative du Saut (\(\Delta t_{total}\))

On somme les durées des phases 1 et 3, en négligeant la courte phase de décélération.

Données :
\(\Delta t_1 = 36 \text{ s}\)
\(\Delta t_3 = 200 \text{ s}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_{total} &= \Delta t_1 + \Delta t_3 \\ &= 36 \text{ s} + 200 \text{ s} \\ &= 236 \text{ s} \end{aligned} \]

Conversion en minutes et secondes : \(236 \text{ s} = 3 \times 60 \text{ s} + 56 \text{ s} = 3 \text{ minutes et } 56 \text{ secondes}\).

La durée totale approximative du saut est \(\Delta t_{total} = 236 \text{ s}\) (soit 3 minutes et 56 secondes).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La vitesse terminale est atteinte lorsque :

Question 2 : L'ouverture d'un parachute a pour effet principal :

Question 3 : Si un objet de masse \(m\) est soumis à une force résultante \(\vec{F}_{res}\), son accélération \(\vec{a}\) est donnée par :

  • \(\vec{a} = \vec{F}_{res} \times m\)

Question 4 : Une décélération signifie que :

Glossaire des Termes Clés

Poids (\(\vec{P}\)) :

Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. Vertical, vers le bas, valeur \(P = mg\).

Force de Frottement de l'Air (ou Traînée) :

Force qui s'oppose au mouvement d'un objet à travers l'air. Elle dépend de la vitesse, de la forme de l'objet et de la densité de l'air.

Vitesse Terminale :

Vitesse constante atteinte par un objet en chute libre lorsque la force de frottement de l'air compense son poids.

Principe d'Inertie (Première Loi de Newton) :

Un corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur lui est nulle.

Deuxième Loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération (\(\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)).

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Taux de variation de la vitesse d'un objet par unité de temps. Unité : m/s².

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la forme et la taille du parachute influencent-elles la vitesse terminale \(v_2\) ?

2. La force de frottement de l'air est souvent modélisée par \(F_f = \frac{1}{2} \rho C_x S v^2\). Comment pourrait-on utiliser cette formule pour estimer le coefficient de traînée \(C_x\) du parachutiste en chute libre et avec son parachute ouvert ?

3. Pourquoi la phase de décélération juste après l'ouverture du parachute est-elle importante pour la sécurité du parachutiste ?

4. Comment l'altitude (et donc la densité de l'air) affecte-t-elle la vitesse terminale en chute libre ?

5. Si le parachutiste sautait d'une altitude beaucoup plus élevée (par exemple, depuis la stratosphère), quels autres facteurs devraient être pris en compte pour analyser son mouvement ?

Temps et Vitesse pour un Parachutiste

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