Le Tir à l'Arc de Lisa

1. Énoncé de l'ExerciceSITUATION-PROBLÈME

📝 Contexte Scientifique

C'est une magnifique journée printanière, idéale pour la pratique sportive en extérieur. Lisa, une jeune archère passionnée, a installé sa cible au fond de son vaste jardin. En effet, les conditions météorologiques sont absolument parfaites : il n'y a pas le moindre souffle de vent, ce qui nous permet de supposer que les frottements de l'air sont quasi-inexistants pour notre étude simplifiée.

Tout d'abord, elle se positionne avec une grande concentration et bande son arc avec force. En tirant sur la corde, Lisa exerce une puissante action mécanique musculaire. Par conséquent, les branches de l'arc se déforment et emmagasinent une grande quantité d'énergie élastique, prête à être libérée.

Soudain, elle relâche la corde ! La flèche, qui représente notre système étudié, est brutalement propulsée en avant. Elle fend l'air avec un sifflement caractéristique et entame son vol à travers le jardin, observé depuis le référentiel terrestre. Le papa de Lisa, toujours prêt à transformer un jeu en expérience scientifique, a filmé l'intégralité de la scène à l'aide de son smartphone.

Grâce à son application d'analyse vidéo chronométrique, il a pu mesurer avec une précision redoutable le temps de vol exact de la flèche, depuis l'instant où elle quitte la corde jusqu'au moment précis où sa pointe percute violemment la cible.

Or, en observant la vidéo au ralenti, Lisa est fascinée par la trajectoire décrite par son projectile et s'interroge sur l'incroyable vitesse moyenne qu'elle a pu atteindre ! Elle se demande aussi ce qu'il se passerait si elle tirait sur une cible olympique située bien plus loin, ou si sa flèche volait plus longtemps.

🎯

Problématique :

En tant que jeune scientifique de 6ème, comment peux-tu aider Lisa à décrire précisément la géométrie de la trajectoire de sa flèche, et quelle méthode mathématique vas-tu utiliser pour calculer sa vitesse moyenne de vol en kilomètres par heure ? Enfin, seras-tu capable d'utiliser cette vitesse pour prévoir de nouveaux tirs ?

🔬 ILLUSTRATION DU DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL

🏹 L'arc se déforme et stocke de l'énergie élastique.

📏 La flèche traverse l'espace aérien jusqu'à la cible.

📌

Note du Professeur : HYPOTHÈSE DE TRAVAIL

"Attention les physiciens ! Dans cet exercice d'initiation de niveau 6ème, nous modélisons le mouvement de façon simplifiée. Nous considérerons que la vitesse moyenne calculée est constante et représentative du vol complet. Pense toujours à bien vérifier la cohérence de tes unités avant d'appliquer une formule mathématique !"

2. Constantes & Données Utiles

Pour résoudre ce passionnant problème de mécanique, tu auras besoin des mesures qui ont été relevées le jour de l'expérience par le papa de Lisa, ainsi que d'une modélisation rigoureuse. Ces données chiffrées sont considérées comme parfaitement exactes pour nos calculs.

📚 Lois et Modèles Applicables

Formule de la Vitesse Moyenne Conversion d'unités (\( \text{m/s} \) vers \( \text{km/h} \)) Isolement de variable (Temps, Distance)

🔬 SCHÉMA D'ANALYSE : MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES

Modélisation du système Flèche en plein vol : L'unique force agissant à distance est son Poids, ce qui courbe inévitablement sa trajectoire vers le sol.

⚙️ Variables d'entrée mesurées sur le terrain

PARAMÈTRES DE L'ESPACE ET DU TEMPS
Distance séparant Lisa de la cible	\( d = 15 \, \text{m} \)
Temps de vol de la flèche dans les airs	\( t = 0{,}5 \, \text{s} \)
FACTEUR DE CONVERSION
Coefficient pour passer des \( \text{m/s} \) aux \( \text{km/h} \)	\( k = 3{,}6 \)
NOUVELLES CONDITIONS DE TIR (PRÉVISIONS)
Distance officielle cible olympique	\( d_{\text{oly}} = 70 \, \text{m} \)
Durée d'un vol long théorique	\( t_{\text{long}} = 3 \, \text{s} \)

E. Méthodologie de Résolution

Pour aborder ce problème scientifique de manière structurée et ne rater aucune étape, nous allons suivre le raisonnement pas-à-pas détaillé ci-dessous.

Étape 1 : Analyse de la trajectoire

Observer la forme géométrique dessinée par la flèche lors de son parcours dans les airs pour qualifier son mouvement.

Étape 2 : Calcul de la Vitesse en \( \text{m/s} \)

Appliquer la formule fondamentale de la vitesse en utilisant la distance en mètres et le temps en secondes.

Étape 3 : Conversion en \( \text{km/h} \)

Transformer l'unité scientifique (\( \text{m/s} \)) en une unité du quotidien (\( \text{km/h} \)) pour mieux se rendre compte de la rapidité.

Étape 4 : Utiliser la vitesse pour prédire d'autres tirs

Manipuler algébriquement la formule pour isoler le temps (tir olympique) ou la distance (vol long), et effectuer les calculs finaux.

CORRECTION

Comment nomme-t-on la trajectoire de la flèche ?

🎯 Objectif Scientifique

Le but scientifique primordial de cette toute première étape est d'observer minutieusement et de qualifier la géométrie de la trajectoire dessinée par la flèche lors de son vol.

En physique élémentaire, décrire le mouvement dans l'espace est toujours l'étape fondamentale avant d'entamer la moindre résolution mathématique.

📚 Lois & Principes : La Relativité du Mouvement

Pour étudier un mouvement, le principe fondamental dicte de toujours définir un observateur, appelé référentiel.

Ici, nous utilisons le référentiel terrestre (le jardin, considéré comme fixe). C'est uniquement par rapport à ce référentiel que la notion de trajectoire prend tout son sens physique.

🧠 Réflexion Scientifique de l'Étudiant

Je sais pertinemment que la trajectoire d'un objet correspond à l'ensemble continu des positions successives qu'il occupe au cours de son déplacement dans le temps.

C'est en quelque sorte la "trace invisible" laissée dans les airs par la pointe de la flèche.

Je dois donc observer attentivement le schéma du dispositif expérimental pour déterminer si cette ligne imaginaire est parfaitement droite, si elle forme un cercle parfait, ou si elle s'incurve sous l'effet d'une force extérieure.

📘 Rappel Théorique : Les Modèles de Trajectoires

En classe de 6ème, nous avons rigoureusement catégorisé le vocabulaire scientifique permettant de décrire une trajectoire dans l'espace. Il existe trois grands archétypes géométriques :

Rectiligne : Le système se déplace en suivant une ligne parfaitement droite, sans aucune déviation (comme une règle).
Circulaire : Le système décrit des cercles mathématiquement parfaits autour d'un point central fixe.
Curviligne : Le système décrit une courbe quelconque dans l'espace, changeant continuellement de direction.

📐 Formules Clés : Modélisation Géométrique

Bien qu'il n'y ait pas de calcul numérique complexe ici, nous pouvons modéliser l'évolution de la position (vecteur position \( \vec{OM} \)) en fonction du temps (noté \( t \)).

Fonction de Trajectoire :

\[ \begin{aligned} \vec{OM}(t) &= f(t) \end{aligned} \]

📋 Données de l'étape

Paramètre Analysé	Source / Valeur
Forme visuelle du déplacement	Observation directe du schéma

💡 Astuce du Prof

Ne te fie jamais uniquement à ton intuition initiale ! Prends toujours une règle transparente et pose-la sur le schéma de ton sujet d'examen. Si la ligne tracée par l'objet s'écarte de la règle ne serait-ce que d'un millimètre, alors le mouvement n'est formellement plus rectiligne.

📝 Déduction et Synthèse du Mouvement

Appliquons notre grille d'analyse théorique à la situation pratique de Lisa. Nous allons procéder par élimination mathématique rigoureuse.

1. Modélisation et Manipulation de la Fonction Spatiale

Même sans faire de calculs poussés en 6ème, on peut déduire la nature du mouvement en testant l'équation d'une droite de coordonnées \( M(x, y) \). L'altitude \( y \) de la flèche varie de manière non proportionnelle à sa distance horizontale \( x \). L'équation stricte d'une droite est donc mathématiquement invalidée.

\[ \begin{aligned} y(x) &\neq a \cdot x + b \quad &\Rightarrow \quad \text{Non rectiligne} \\ y(x) &= a \cdot x^2 + b \cdot x + c \quad &\Rightarrow \quad \text{Courbe parabolique} \end{aligned} \]

2. Qualification Géométrique de la Trajectoire

En examinant attentivement les courbes, nous constatons que la flèche s'élève, puis redescend. Les coordonnées décrivent une courbe \( \mathcal{C} \).

\[ \begin{aligned} M(x, y) &\in \mathcal{C} \text{ et } \mathcal{C} \neq \mathcal{D} \\ &\Rightarrow \text{Trajectoire curviligne} \end{aligned} \]

L'interprétation physique est sans appel : puisque la trace forme une courbe \( \mathcal{C} \) dans l'espace tridimensionnel (et non une droite \( \mathcal{D} \)), la trajectoire est qualifiée de curviligne. L'objet subit une modification constante de sa direction.

\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 1 :} \quad &\text{Le mouvement de la flèche est Curviligne.} \end{aligned} \]

✅ CONCLUSION DE L'ÉTAPE 1

Le mouvement est strictement Curviligne.

La flèche ne voyageant pas en ligne droite parfaite, l'ensemble de ses positions forme une courbe.

📈 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA TRAJECTOIRE

⚖️ Analyse de Cohérence

Ce résultat qualitatif est d'une logique implacable ! Sur notre planète, la force de gravité terrestre attire irrémédiablement tous les objets vers le sol (vers le centre de la Terre).

Par conséquent, tout objet lancé finira fatalement par voir sa trajectoire s'incurver vers le bas.

Un mouvement parfaitement rectiligne sur une longue distance est virtuellement impossible sur Terre sans moteur continu.

⚠️ Points de Vigilance

Une confusion classique chez les jeunes collégiens consiste à confondre la "direction" vers laquelle pointe la flèche (qui semble droite au départ) et la trajectoire globale du centre de gravité de la flèche sur tout son parcours.

Il faut toujours juger le mouvement dans sa globalité.

Calculer la vitesse moyenne en mètre par seconde (\( \text{m/s} \))

🎯 Objectif Scientifique

Maintenant que nous avons qualifié la forme spatiale du déplacement, notre nouvel objectif est de quantifier sa rapidité absolue.

Nous allons déterminer mathématiquement la vitesse moyenne de vol de la flèche, c'est-à-dire le nombre exact de mètres qu'elle a réussi à franchir pour chaque seconde écoulée.

📚 Lois & Principes : La Loi Fondamentale de la Cinématique

En mécanique classique, le principe fondamental reliant l'espace et le temps stipule que la rapidité de déplacement d'un système est proportionnelle à la distance franchie, et inversement proportionnelle à la durée nécessaire pour effectuer ce trajet.

🧠 Réflexion Scientifique de l'Étudiant

Pour calculer une vitesse de manière rigoureuse, je dois impérativement rassembler deux grandeurs physiques fondamentales : l'espace parcouru (que l'on appelle la distance) et la durée du parcours (que l'on appelle le temps).

Je relis mon énoncé expérimental et je constate avec satisfaction que les données sont fournies dans les bonnes unités !

📘 Rappel Théorique : Définition de la Vitesse Moyenne

La vitesse moyenne (notée \( v \)) d'un objet en mouvement est le quotient de la distance parcourue (notée \( d \)) par la durée du trajet (notée \( t \)). Elle représente une moyenne lissée sur l'ensemble du parcours, en ignorant les micro-variations d'accélération en cours de route.

📐 Formules Clés : La Relation Vitesse-Distance-Temps

Dans cette équation reine de la cinématique, \( v \) s'exprime en mètres par seconde (\( \text{m/s} \)), \( d \) s'exprime obligatoirement en mètres (\( \text{m} \)), et \( t \) doit impérativement être en secondes (\( \text{s} \)).

Expression littérale de la vitesse :

\[ \begin{aligned} v &= \frac{d}{t} \end{aligned} \]

📋 Données de l'étape

Paramètre Physique	Valeur Expérimentale
Distance parcourue (\( d \))	\( d = 15 \, \text{m} \)
Temps de parcours (\( t \))	\( t = 0{,}5 \, \text{s} \)

💡 Astuce du Prof

C'est la règle d'or en Physique : on ne fonce jamais tête baissée sur la calculatrice ! Procède d'abord à une analyse dimensionnelle de l'équation mathématique. La division d'une longueur par un temps produira naturellement et magiquement des mètres par seconde (\( \text{m/s} \)).

📝 Exécution du Calcul Numérique Détaillé

Nous allons transposer notre formule théorique dans le monde réel en substituant les variables lettrées par nos véritables mesures expérimentales.

1. Analyse Dimensionnelle de l'équation

Avant d'insérer les nombres, nous vérifions mathématiquement la cohérence des dimensions (\( \text{L} \) = Longueur, \( \text{T} \) = Temps).

\[ \begin{aligned} [v] &= \frac{[d]}{[t]} \\ [v] &= \frac{\text{L}}{\text{T}} = \text{L} \cdot \text{T}^{-1} \\ &\Rightarrow [v] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned} \]

2. Calcul de la vitesse moyenne \( v \) (A.N.) :

Je remplace prudemment la grandeur \( d \) par la valeur \( 15 \), et la grandeur \( t \) par la valeur \( 0{,}5 \), puis j'effectue la division numérique.

\[ \begin{aligned} v &= \frac{15}{0{,}5} \\ &\Rightarrow v = 30 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Le résultat mathématique final est de \( 30 \, \text{m/s} \).

Interprété physiquement, cela signifie que si cette flèche pouvait miraculeusement maintenir cet élan sans fin, elle engloutirait une distance de \( 30 \) mètres à chaque fois qu'une seconde s'écoulerait sur le chronomètre !

\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 2 :} \quad &v = 30 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

✅ CONCLUSION DE L'ÉTAPE 2

La vitesse est de 30 m/s.

Nous avons mathématiquement calculé la vélocité exceptionnelle de la flèche de Lisa dans l'unité légale du Système International (SI).

📈 ÉVOLUTION LINÉAIRE : DISTANCE EN FONCTION DU TEMPS

⚖️ Analyse de Cohérence

Diviser par \( 0{,}5 \), d'un point de vue purement mathématique, revient exactement à multiplier par \( 2 \).

Il est donc parfaitement cohérent que notre résultat final (\( 30 \)) soit exactement le double de notre distance de base (\( 15 \)). Le calcul est solide !

⚠️ Points de Vigilance

Le cauchemar absolu du correcteur : voir un élève effectuer la multiplication \( 15 \times 0{,}5 \) !

Souvenez-vous pour toujours que la vitesse est le résultat d'un fractionnement : c'est une distance DIVISÉE par un temps.

Convertir la vitesse obtenue en kilomètre par heure (\( \text{km/h} \))

🎯 Objectif Scientifique

Le but ultime de cette troisième étape est de rendre notre résultat abstrait beaucoup plus concret.

En convertissant cette grandeur cinématique en kilomètres par heure (\( \text{km/h} \)), nous pourrons directement la comparer aux vitesses des véhicules que nous croisons quotidiennement sur les routes.

📚 Lois & Principes : La Proportionnalité des Unités

Les unités de mesure de la cinématique sont strictement liées par des rapports de proportionnalité temporels et spatiaux.

Changer d'unité modifie uniquement l'échelle de lecture numérique de la réalité.

🧠 Réflexion Scientifique de l'Étudiant

Je dispose d'une valeur fiable en mètres par seconde (\( \text{m/s} \)).

Pour basculer vers le système des kilomètres par heure, je dois appliquer mon cours de conversion en utilisant le coefficient multiplicateur constant de \( 3{,}6 \).

📘 Rappel Théorique : L'Origine du Facteur \( 3{,}6 \)

Dans une heure entière, il s'écoule exactement \( 3600 \, \text{s} \). Dans un kilomètre, on compte exactement \( 1000 \, \text{m} \).

Le rapport mathématique entre ces deux échelles monumentales nous donne très précisément le facteur de conversion \( 3{,}6 \).

📐 Formules Clés : L'Opérateur de Conversion

Voici la modélisation mathématique stricte de l'opération de bascule d'une unité à l'autre.

Équation de transfert d'unité :

\[ \begin{aligned} v_{\text{km/h}} &= v_{\text{m/s}} \times 3{,}6 \end{aligned} \]

📋 Données de l'étape

Paramètre Physique	Valeur Numérique
Vitesse Initiale Calculée	\( v_{\text{m/s}} = 30 \, \text{m/s} \)
Opérateur de Conversion Constant	\( k = 3{,}6 \)

💡 Astuce du Prof

Si tu hésites entre multiplier ou diviser par \( 3{,}6 \), utilise ton bon sens : une vitesse en \( \text{km/h} \) sera toujours un chiffre plus grand que la même vitesse en \( \text{m/s} \). Pour agrandir un chiffre, il faut évidemment le multiplier !

📝 Exécution du Calcul Numérique Détaillé

Procédons à l'opération arithmétique finale pour achever notre enquête sur la célérité de cette flèche.

1. Démonstration Mathématique du Facteur de Conversion

Remplaçons formellement les mètres par des fractions de kilomètres, et les secondes par des fractions d'heures pour isoler algébriquement le coefficient.

\[ \begin{aligned} 1 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} &= \frac{1 \, \text{m}}{1 \, \text{s}} \\ 1 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} &= \frac{10^{-3} \, \text{km}}{\frac{1}{3600} \, \text{h}} \\ &\Rightarrow 1 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} = 3{,}6 \, \text{km/h} \end{aligned} \]

2. Calcul de la vitesse finale en \( \text{km/h} \) :

J'applique le coefficient multiplicateur dicté par notre démonstration théorique.

\[ \begin{aligned} v_{\text{km/h}} &= v_{\text{m/s}} \times 3{,}6 \\ v_{\text{km/h}} &= 30 \times 3{,}6 \\ &\Rightarrow v_{\text{km/h}} = 108 \, \text{km/h} \end{aligned} \]

L'interprétation concrète de ce nombre est vertigineuse : la modeste flèche de Lisa a fendu l'air du jardin à la vitesse ébouriffante de \( 108 \, \text{km/h} \).

C'est une allure nettement supérieure à celle d'une voiture sur route départementale !

\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 3 :} \quad &v = 108 \, \text{km/h} \end{aligned} \]

✅ CONCLUSION DE L'ÉTAPE 3

La conversion est accomplie.

Nous avons formellement démontré que \( 30 \, \text{m/s} \) équivalent strictement à une vélocité de \( 108 \, \text{km/h} \).

📏 ABAQUE DE LECTURE DIRECTE (ÉCHELLE DE CONVERSION)

⚖️ Analyse de Cohérence

Ce résultat de \( 108 \, \text{km/h} \) est parfaitement cohérent. Un arc est une technologie conçue pour projeter un projectile avec une violence inouïe.

Les flèches sportives modernes atteignent couramment des vitesses entre \( 150 \) et \( 250 \, \text{km/h} \).

⚠️ Points de Vigilance

N'oubliez jamais l'unité finale ! Écrire \( v = 108 \) sur une copie ne veut strictement rien dire.

Il est obligatoire d'apposer fièrement l'unité \( \text{km/h} \) derrière le nombre pour valider l'équation de dimension.

Utiliser la vitesse pour prédire d'autres tirs

🎯 Objectif Scientifique

Maintenant que nous connaissons la vitesse constante de la flèche, nous possédons la "clé" intime de son mouvement.

Notre objectif final est d'utiliser cette clé pour prédire mathématiquement le comportement de la flèche dans deux nouvelles situations.

Nous allons d'abord calculer le temps nécessaire pour atteindre une cible olympique, puis calculer la distance franchie si le vol durait \( 3 \) secondes complètes.

📚 Lois & Principes : La Réversibilité Mathématique

L'équation de la vitesse est une relation à trois variables (\( v \), \( d \), \( t \)).

Si la vitesse est supposée constante, la connaissance de deux de ces variables permet toujours de déduire mathématiquement la troisième en réorganisant l'équation.

🧠 Réflexion Scientifique de l'Étudiant

Pour le tir olympique, je connais la nouvelle distance (\( 70 \, \text{m} \)) et la vitesse (\( 30 \, \text{m/s} \)). Je dois isoler le temps \( t \).

Pour le vol long, je connais le nouveau temps (\( 3 \, \text{s} \)) et la vitesse (\( 30 \, \text{m/s} \)). Je dois isoler la distance \( d \).

📘 Rappel Théorique : Le Triangle Magique

Pour ne jamais se tromper en manipulant cette formule, les physiciens en herbe utilisent le triangle mental : le \( d \) est situé au sommet, et \( v \) et \( t \) sont à la base.

Pour trouver l'un d'eux, on le cache avec son doigt, et on lit l'opération restante (\( d \) divisé par \( v \), ou \( v \) multiplié par \( t \)).

📐 Formules Clés : Isolement des Variables

Voici les deux nouvelles expressions algébriques découlant de l'équation mère.

Équations prédictives :

\[ \begin{aligned} v &= \frac{d}{t} \\ &\Rightarrow t = \frac{d}{v} \quad \text{et} \quad d = v \cdot t \end{aligned} \]

📋 Données de l'étape

Paramètre Physique	Valeur pour Prédiction
Vitesse Constante Modélisée	\( v = 30 \, \text{m/s} \)
Distance cible Olympique	\( d_{\text{oly}} = 70 \, \text{m} \)
Temps de vol long	\( t_{\text{long}} = 3 \, \text{s} \)

💡 Astuce du Prof

Un piège mortel t'attend ici : tu as calculé \( 108 \, \text{km/h} \) à l'étape précédente. Ne l'utilise surtout pas ici !

Toutes nos distances sont en mètres et nos temps en secondes. Garde toujours ta vitesse en \( \text{m/s} \) pour que les unités s'annulent correctement.

📝 Exécution des Calculs Prédictifs (Calculs 3 et 4)

Remplaçons les inconnues pour révéler les performances de cette flèche.

1. Temps de vol pour une cible Olympique à 70 m (Calcul 3) :

J'utilise la formule du temps (\( d \) divisé par \( v \)) avec la nouvelle distance.

\[ \begin{aligned} t_{\text{oly}} &= \frac{d_{\text{oly}}}{v} \\ t_{\text{oly}} &= \frac{70}{30} \\ &\Rightarrow t_{\text{oly}} \approx 2{,}33 \, \text{s} \end{aligned} \]

2. Distance franchie lors d'un vol de 3 secondes (Calcul 4) :

J'utilise la formule de la distance (\( v \) multiplié par \( t \)) avec le nouveau temps.

\[ \begin{aligned} d_{\text{max}} &= v \cdot t_{\text{long}} \\ d_{\text{max}} &= 30 \times 3 \\ &\Rightarrow d_{\text{max}} = 90 \, \text{m} \end{aligned} \]

Notre modèle est d'une puissance absolue ! Il nous a permis d'affirmer avec certitude que la flèche mettra \( 2{,}33 \) secondes pour toucher la grande cible des Jeux Olympiques, et qu'elle pourrait atteindre une portée de \( 90 \) mètres si le vent la portait pendant \( 3 \) secondes.

\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 4 :} \quad &t_{\text{oly}} = 2{,}33 \, \text{s} \quad \text{et} \quad d_{\text{max}} = 90 \, \text{m} \end{aligned} \]

✅ CONCLUSION DE L'ÉTAPE 4

Les prédictions de tir sont validées.

Nous avons utilisé la vitesse comme clé de voûte pour extrapoler rigoureusement de nouveaux couples distance-temps.

📊 RÉSULTATS : COMPARAISON DES 3 PROFILS DE TIR

⚖️ Analyse de Cohérence

Réfléchissons mathématiquement sur ces données. La distance olympique (\( 70 \, \text{m} \)) est presque 5 fois plus éloignée que la cible du jardin (\( 15 \, \text{m} \)).

Logiquement, le temps trouvé (\( 2{,}33 \, \text{s} \)) doit être presque 5 fois plus grand que le temps initial (\( 0{,}5 \, \text{s} \)). C'est exactement le cas (\( 0{,}5 \times 4{,}6 = 2{,}3 \)). La proportionnalité est inviolée !

⚠️ Points de Vigilance

Ces calculs ne restent justes qu'à une seule condition stricte : que la vitesse soit totalement constante sur tout le trajet.

Dans la vraie vie, avec le frottement de l'air, la flèche finirait par freiner, et il lui faudrait un peu plus de \( 2{,}33 \, \text{s} \) pour atteindre la cible olympique.

📊 Bilan Graphique de la Situation Finale

📄 La Copie Parfaite (Ce qu'il faut écrire sur sa feuille)

Voici le résumé académique de la résolution. C'est la structure exacte attendue par un professeur lors d'une évaluation pour obtenir tous les points !

COPIE MODÈLE

ÉVALUATION
PHYSIQUE-CHIMIE

EXERCICE : Le Tir à l'Arc de Lisa

RÉSOLUTION ANALYTIQUE

Niveau :Classe de 6ème

Thème :Mouvement

Note :20/20

1. Analyse de la trajectoire

La ligne formée par le déplacement de la flèche dans l'air monte puis redescend. Elle forme une courbe géométrique. Par conséquent, on peut affirmer que le mouvement de la flèche est curviligne.

2. Calculs Cinématiques Détaillés

Rappel des données : Distance \( d = 15 \, \text{m} \), Temps \( t = 0{,}5 \, \text{s} \), Distance Olympique \( d_{\text{oly}} = 70 \, \text{m} \).

2.1. Vitesse en \( \text{m/s} \)

Expression littérale :\( v = \frac{d}{t} \)

Application numérique :\( v = \frac{15}{0{,}5} \)

Résultat partiel :\( v = 30 \, \text{m/s} \)

2.2. Conversion en \( \text{km/h} \)

Méthode de conversion :Pour passer des \( \text{m/s} \) aux \( \text{km/h} \), on multiplie par \( 3{,}6 \).

Application numérique :\( v_{\text{km/h}} = 30 \times 3{,}6 \)

Résultat partiel :\( v_{\text{km/h}} = 108 \, \text{km/h} \)

2.3. Temps de vol pour un tir olympique

Expression littérale :\( t = \frac{d_{\text{oly}}}{v} \)

Application numérique :\( t_{\text{oly}} = \frac{70}{30} \)

Résultat partiel :\( t_{\text{oly}} = 2{,}33 \, \text{s} \)

2.4. Distance franchie en vol long (Final)

Expression littérale :\( d = v \cdot t_{\text{long}} \)

Application numérique :\( d_{\text{max}} = 30 \times 3 \)

Résultat Final :\( d_{\text{max}} = 90 \, \text{m} \)

3. Phrase de Conclusion

CONCLUSION SCIENTIFIQUE

✅ LA PROBLÉMATIQUE EST RÉSOLUE

La flèche possède une trajectoire curviligne et se déplace à une vitesse moyenne de \( 30 \, \text{m/s} \) (soit \( 108 \, \text{km/h} \)). En conservant cette allure, elle peut toucher une cible située à \( 70 \, \text{m} \) en \( 2{,}33 \, \text{s} \), et parcourir une distance maximale de \( 90 \, \text{m} \) en \( 3 \, \text{s} \).

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