Calcul de la pseudo-période T du pendule

Pour un pendule simple effectuant de petites oscillations (où \(\sin\theta \approx \theta\)), en l'absence d'amortissement, l'équation différentielle du mouvement est \(\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0\). Cette équation est de la forme \(\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0\), où \(\omega_0\) est la pulsation propre.

Par identification, on a :

Nous utilisons l'expression trouvée précédemment avec les données fournies : \(L = 1.00 \text{ m}\) et \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).

La période propre \(T_0\) est le temps nécessaire pour une oscillation complète en l'absence d'amortissement. Elle est liée à la pulsation propre \(\omega_0\) par la relation \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\).

Avec \(\omega_0 \approx 3.13209 \text{ rad/s}\) :

Le régime des oscillations d'un pendule amorti dépend de la comparaison entre le coefficient d'amortissement \(\gamma\) et la pulsation propre \(\omega_0\).

• Si \(\gamma < \omega_0\) : Régime pseudo-périodique (oscillations amorties).
• Si \(\gamma = \omega_0\) : Régime critique.
• Si \(\gamma > \omega_0\) : Régime apériodique (ou sur-amorti).

Nous avons \(\gamma = 0.50 \text{ s}^{-1}\) et \(\omega_0 \approx 3.13 \text{ rad/s}\).

Comparaison :

\(\gamma = 0.50 \text{ s}^{-1}\)

\(\omega_0 \approx 3.13 \text{ rad/s}\)

Puisque \(0.50 < 3.13\), on a \(\gamma < \omega_0\).

Pour un régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation \(\omega_p\) est donnée par la formule \(\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\).

Données : \(\omega_0 \approx 3.13209 \text{ rad/s}\), \(\gamma = 0.50 \text{ s}^{-1}\).

La pseudo-période \(T_p\) est le temps entre deux maxima successifs (ou deux passages par l'équilibre dans le même sens) pour un oscillateur pseudo-périodique. Elle est liée à la pseudo-pulsation \(\omega_p\) par \(T_p = \frac{2\pi}{\omega_p}\).

Avec \(\omega_p \approx 3.091925 \text{ rad/s}\) :

Nous comparons la pseudo-période \(T_p\) calculée en présence d'amortissement avec la période propre \(T_0\) calculée en l'absence d'amortissement.

\(T_0 \approx 2.00605 \text{ s}\) (de la question 3)

\(T_p \approx 2.03212 \text{ s}\) (de la question 6)

On constate que \(T_p > T_0\). La différence est \(\Delta T = T_p - T_0 \approx 2.03212 - 2.00605 \approx 0.02607 \text{ s}\).

L'amortissement a pour effet d'augmenter légèrement la période des oscillations (ou de diminuer légèrement la fréquence/pulsation). Cela signifie que les oscillations sont un peu plus lentes en présence de frottements faibles. Cet effet est souvent faible pour un amortissement faible, mais il est réel.

Réponses Correctes :

Question 1 : b) Sa longueur et l'accélération de la pesanteur \(g\).

Question 2 : c) Diminue avec le temps.

Question 3 : a) Augmente (car \(\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\) diminue, donc \(T_p = 2\pi/\omega_p\) augmente).

Question 4 : b) \(\sqrt{2}\) (car \(T_0 \propto \sqrt{L}\)).

Pendule Simple :

Modèle idéalisé d'une masse ponctuelle suspendue à un fil inextensible de masse négligeable, oscillant sous l'effet de la pesanteur.

Oscillation Harmonique Simple :

Mouvement périodique sinusoïdal autour d'une position d'équilibre, résultant d'une force de rappel proportionnelle à l'écartement.

Pulsation Propre (\(\omega_0\)) :

Fréquence angulaire naturelle des oscillations d'un système non amorti. Pour un pendule simple, \(\omega_0 = \sqrt{g/L}\).

Période Propre (\(T_0\)) :

Durée d'une oscillation complète pour un système non amorti. \(T_0 = 2\pi/\omega_0\).

Amortissement :

Phénomène par lequel l'amplitude des oscillations d'un système diminue au cours du temps, généralement dû à des forces dissipatives (frottements).

Coefficient d'Amortissement (\(\gamma\)) :

Paramètre caractérisant l'intensité de l'amortissement. Dans l'équation \(\ddot{\theta} + 2\gamma \dot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0\), il est lié à la force de frottement.

Régime Pseudo-Périodique :

Régime d'oscillations amorties où le système oscille encore, mais avec une amplitude qui décroît exponentiellement. Se produit lorsque l'amortissement est faible (\(\gamma < \omega_0\)).

Pseudo-Pulsation (\(\omega_p\)) :

Pulsation des oscillations dans un régime pseudo-périodique. \(\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\).

Pseudo-Période (\(T_p\)) :

Durée d'une "oscillation" dans un régime pseudo-périodique. \(T_p = 2\pi/\omega_p\). Elle est légèrement plus grande que la période propre \(T_0\).

Amplitude (\(X_m\)) :

Écart maximal par rapport à la position d'équilibre. Pour les oscillations amorties, l'amplitude de l'enveloppe diminue avec le temps.

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Constante déterminant l'état initial (position et vitesse) de l'oscillateur.