Calcul de la pseudo-période T du pendule
Contexte : Le Pendule SimpleModèle idéalisé d'un pendule constitué d'une masse ponctuelle suspendue à un fil sans masse et inextensible..
L'étude des oscillations est un pilier de la physique. Le pendule simple est l'un des exemples les plus classiques et les plus riches d'enseignement. Cet exercice se concentre sur le calcul de sa période, c'est-à-dire le temps nécessaire pour effectuer une oscillation complète. Nous explorerons comment cette période dépend des caractéristiques physiques du pendule et nous appliquerons la formule fondamentale qui régit son mouvement pour des petites oscillations.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser la formule de la période du pendule simple et de comprendre l'influence de la longueur et de l'intensité de la pesanteur sur le mouvement oscillatoire.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la formule de la période propre des petites oscillations d'un pendule simple.
- Comprendre l'influence de la longueur du fil sur la période.
- Analyser l'effet de l'intensité de la pesanteur sur la période.
- Convertir correctement les unités pour les calculs physiques.
Données de l'étude
Schéma du Pendule Simple
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil | \(L\) | 99.4 | \(\text{cm}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Quelle est la condition pour que le mouvement du pendule soit considéré comme "isochrone" ?
- Convertir la longueur \(L\) du pendule en mètres.
- Donner l'expression littérale de la période propre \(T_0\) du pendule simple pour de petites oscillations.
- Calculer la valeur numérique de la période propre \(T_0\).
- Que deviendrait la période si on quadruplait la longueur du fil ?
Les bases sur le Pendule Simple
Le pendule simple est un système mécanique oscillant. Pour de faibles angles d'oscillation, son mouvement est dit "harmonique" et sa période ne dépend que de sa longueur et de l'intensité de la pesanteur locale.
1. Période Propre \(T_0\)
La période propre d'un oscillateur est la durée d'une oscillation complète en l'absence d'amortissement et de force extérieure. Pour un pendule simple, dans l'approximation des petits angles (inférieurs à 15-20°), elle est donnée par la formule :
\[ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
Où \(L\) est la longueur du fil en mètres (\(\text{m}\)) et \(g\) est l'accélération de la pesanteur en mètres par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)).
2. Isochronisme des oscillations
Une propriété remarquable du pendule simple pour de faibles amplitudes est l'isochronismePropriété d'un oscillateur dont la période est indépendante de l'amplitude des oscillations.. Cela signifie que la période des oscillations ne dépend pas de l'amplitude initiale (\(\theta_0\)), tant que celle-ci reste faible.
Correction : Calcul de la pseudo-période T du pendule
Question 1 : Condition d'isochronisme
Principe
L'isochronisme est la propriété d'un oscillateur dont la période ne dépend pas de son amplitude. On cherche à déterminer le cadre d'approximation qui permet de considérer le pendule simple comme isochrone.
Mini-Cours
L'équation différentielle du mouvement du pendule simple est \(\ddot{\theta} + (g/L)\sin(\theta) = 0\). Cette équation n'a pas de solution analytique simple. Pour la résoudre, on effectue un développement limité de \(\sin(\theta)\) au voisinage de 0. À l'ordre 1, on a \(\sin(\theta) \approx \theta\), où \(\theta\) est en radians. L'équation devient alors \(\ddot{\theta} + (g/L)\theta = 0\), qui est l'équation d'un oscillateur harmonique dont la période est indépendante de l'amplitude.
Remarque Pédagogique
En physique, il est courant de simplifier un problème complexe en se plaçant dans un cas d'usage précis. Ici, "l'hypothèse des petits angles" est la clé qui débloque une solution simple et très juste pour la plupart des applications courantes.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour cette question, car elle relève des lois fondamentales de la mécanique classique établies par Newton et d'autres physiciens.
Formule(s)
Approximation des petits angles
Hypothèses
L'hypothèse fondamentale est que l'angle d'oscillation \(\theta\) est suffisamment petit pour que son sinus soit approximativement égal à l'angle lui-même (exprimé en radians).
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| Angle initial | \(\theta_0\) doit être "petit" |
Astuces
Une règle pratique consiste à considérer l'approximation valide pour des angles inférieurs à 15°-20°. Pour 15°, l'erreur entre \(\sin(\theta)\) et \(\theta\) est d'environ 1%. Pour 20°, elle est d'environ 2%.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des angles
Schéma (Après les calculs)
Conséquence : Isochronisme
Réflexions
Cette approximation est cruciale. Sans elle, la période dépendrait de l'amplitude de départ, rendant les calculs beaucoup plus complexes et empêchant, par exemple, le fonctionnement régulier des anciennes horloges à balancier.
Points de vigilance
Ne jamais appliquer la formule simple de la période pour de grandes oscillations (par ex. 45° ou 60°) sans mentionner que le résultat sera une approximation. La période réelle augmente avec l'amplitude.
Points à retenir
L'isochronisme du pendule simple est une approximation valable uniquement pour les faibles amplitudes d'oscillation.
Le saviez-vous ?
Christiaan Huygens, au 17ème siècle, a démontré que pour qu'un pendule soit parfaitement isochrone quelle que soit l'amplitude, sa masse doit décrire une trajectoire en forme de cycloïde, et non un arc de cercle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Le mouvement d'un pendule lâché d'un angle de 40° est-il considéré comme isochrone ? (Répondre par Oui ou Non)
Question 2 : Conversion de la longueur
Principe
L'homogénéité des unités est une règle fondamentale en physique. Toutes les grandeurs d'une formule doivent être exprimées dans un système d'unités cohérent, ici le Système International (SI), pour que le calcul soit correct.
Mini-Cours
Le Système International d'unités est le système métrique moderne. L'unité de base pour la longueur est le mètre (m). Les préfixes (comme "centi-") indiquent des multiples ou sous-multiples de l'unité de base. "Centi-" signifie un centième (1/100 ou \(10^{-2}\)).
Remarque Pédagogique
Prenez toujours l'habitude de vérifier et de convertir toutes vos données en unités SI avant de commencer le moindre calcul. C'est un réflexe qui vous évitera de nombreuses erreurs.
Normes
La "norme" qui régit les unités à utiliser en sciences est le Système International d'unités (SI), maintenu par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).
Formule(s)
Relation Mètre - Centimètre
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur initiale | \(L_{\text{cm}}\) | 99.4 | \(\text{cm}\) |
Astuces
Pour passer des centimètres aux mètres, il suffit de décaler la virgule de deux rangs vers la gauche. C'est équivalent à diviser par 100.
Schéma (Avant les calculs)
Mesure initiale
Calcul(s)
Conversion de la longueur L
Schéma (Après les calculs)
Mesure en Unités SI
Réflexions
La valeur de 0.994 m est maintenant prête à être utilisée dans la formule de la période, car elle est exprimée dans l'unité de base du SI pour la longueur.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier cette conversion et d'utiliser 99.4 directement dans la formule. Le résultat serait alors incorrect d'un facteur \(\sqrt{100} = 10\).
Points à retenir
La conversion des unités est une étape préliminaire obligatoire avant toute application numérique. Pour la longueur, l'unité SI est le mètre.
Le saviez-vous ?
Le mètre fut défini pour la première fois en 1793 en France comme étant la dix-millionième partie de la distance entre le pôle Nord et l'équateur terrestre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Convertissez une longueur de 250 millimètres (mm) en mètres (m).
Question 3 : Expression littérale de la période
Principe
Il s'agit de connaître et de savoir écrire correctement l'expression mathématique (la formule) qui décrit la période d'un pendule simple, en fonction des paramètres physiques pertinents.
Mini-Cours
Cette formule est issue de la résolution de l'équation différentielle du mouvement harmonique \(\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0\), où \(\omega_0 = \sqrt{g/L}\) est la pulsation propre du système. La période propre est liée à la pulsation par la relation \(T_0 = 2\pi / \omega_0\), ce qui mène directement à la formule finale.
Remarque Pédagogique
Savoir donner une expression "littérale" signifie écrire la formule avec les lettres (symboles) représentant les grandeurs physiques, sans les remplacer par leurs valeurs numériques. C'est une compétence cruciale en sciences.
Formule(s)
Période propre du pendule simple
Hypothèses
Cette formule n'est valide que sous plusieurs hypothèses : il s'agit d'un pendule simple (masse ponctuelle, fil sans masse et inextensible), les frottements sont négligés, et les oscillations sont de faible amplitude (isochronisme).
Astuces
Notez bien que la masse \(\text{m}\) de l'objet suspendu n'apparaît pas dans la formule ! C'est un résultat contre-intuitif mais fondamental : la période d'un pendule simple ne dépend pas de sa masse.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres influençant la période
Schéma (Après les calculs)
Représentation fonctionnelle de la formule
Réflexions
L'expression montre que pour augmenter la période (ralentir le balancement), on peut soit augmenter la longueur L, soit diminuer l'intensité de la pesanteur g (aller sur la Lune par exemple).
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser L et g sous la racine carrée, une erreur fréquente. Une analyse dimensionnelle peut aider : \(\sqrt{L/g}\) a bien la dimension d'un temps, alors que \(\sqrt{g/L}\) a celle d'une fréquence.
Points à retenir
La période propre du pendule simple est \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\). Elle est proportionnelle à la racine de la longueur et inversement proportionnelle à la racine de la gravité.
Le saviez-vous ?
Galilée serait le premier à avoir observé l'isochronisme des petites oscillations en regardant un lustre se balancer dans la cathédrale de Pise, en chronométrant les oscillations avec son propre pouls.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
À partir de la formule de T₀, donnez l'expression littérale de la longueur L en fonction de T₀ et g.
Question 4 : Calcul numérique de la période
Principe
Il s'agit maintenant d'effectuer l'application numérique : remplacer les symboles de l'expression littérale par leurs valeurs numériques (dans les bonnes unités) pour obtenir le résultat chiffré.
Remarque Pédagogique
Soyez méthodique : posez la formule, substituez les valeurs avec leurs unités, puis effectuez le calcul. Annoncez enfin le résultat avec l'unité correcte et un nombre de chiffres significatifs cohérent.
Formule(s)
Période propre du pendule simple
Hypothèses
On suppose que les conditions d'application de la formule sont respectées, notamment celle des petites oscillations.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil (convertie) | L | 0.994 | \(\text{m}\) |
| Intensité de la pesanteur | g | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
Une astuce de calcul mental : \(g \approx 9.81 \approx \pi^2\). Donc pour une longueur \(L=1 \text{ m}\), on a \(T_0 \approx 2\pi\sqrt{1/\pi^2} = 2\pi(1/\pi) = 2 \text{ s}\). Notre longueur étant très proche de 1m, le résultat doit être très proche de 2s.
Schéma (Avant les calculs)
Modélisation du pendule pour le calcul
Calcul(s)
Application numérique
Calcul du rapport sous la racine
Calcul de la racine carrée
Calcul final de la période
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'oscillation et de la période
Réflexions
Le résultat, arrondi à 2.0 s, confirme l'estimation faite avec l'astuce. Un pendule de près d'un mètre de long "bat la seconde" (sa demi-période, ou la durée d'un aller simple, est d'une seconde).
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degré ou radian selon les besoins (ici, pas d'angle à calculer, donc pas de risque). L'erreur la plus probable reste l'oubli de la conversion de la longueur en mètres.
Points à retenir
Pour \(L \approx 1 \text{ m}\) et \(g \approx 9.81 \text{ m/s}^2\), la période d'un pendule simple est d'environ 2 secondes.
Le saviez-vous ?
Les premières horloges à pendule, développées par Huygens vers 1656, ont permis d'améliorer considérablement la précision de la mesure du temps, passant d'une erreur de 15 minutes par jour pour les horloges mécaniques à seulement 15 secondes par jour.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la période \(T_0\) d'un pendule de 2 mètres de long sur Terre (\(g=9.81 \text{ m/s}^2\)).
Question 5 : Influence de la longueur
Principe
On étudie la relation de proportionnalité entre la période et la longueur pour prédire l'effet d'un changement de longueur sans refaire entièrement le calcul numérique.
Mini-Cours
Quand une grandeur A est proportionnelle à la racine carrée d'une grandeur B (\(A = k\sqrt{B}\)), si B est multipliée par un facteur \(n\), alors A est multipliée par un facteur \(\sqrt{n}\). C'est une relation fondamentale en physique qui apparaît dans de nombreux domaines.
Remarque Pédagogique
Raisonner en termes de proportionnalité est une compétence clé. Cela permet de développer une intuition physique ("si j'augmente ceci, comment cela va-t-il varier ?") et de vérifier rapidement la cohérence des résultats.
Formule(s)
Relation de proportionnalité
Hypothèses
On suppose que la relation de proportionnalité est valide, ce qui revient à supposer que l'on reste dans le cadre de l'approximation des petits angles.
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Valeur |
|---|---|---|
| Facteur multiplicateur | La nouvelle longueur est 4 fois l'ancienne | \(n=4\) |
| Période initiale | Calculée à la question précédente | \(T_0 \approx 2.0 \text{ s}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des deux pendules
Calcul(s)
Calcul de la nouvelle période T'₀
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des périodes d'oscillation
Réflexions
La relation n'est pas linéaire : pour doubler la période, il faut quadrupler la longueur. Cela explique pourquoi les pendules avec de très longues périodes (comme le pendule de Foucault) doivent avoir des longueurs considérables.
Points de vigilance
L'erreur serait de penser que la relation est linéaire et de conclure que si la longueur est quadruplée, la période l'est aussi. N'oubliez jamais la racine carrée !
Points à retenir
La période d'un pendule simple est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur. Multiplier L par \(n\) multiplie T₀ par \(\sqrt{n}\).
Le saviez-vous ?
Le pendule de Foucault installé au Panthéon à Paris mesure 67 mètres de long et sa période est d'environ 16.5 secondes. Sa longueur impressionnante est nécessaire pour que ses oscillations durent assez longtemps pour mettre en évidence la rotation de la Terre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Par quel facteur la période est-elle multipliée si on divise la longueur du fil par 9 ?
Outil Interactif : Simulateur de Période
Utilisez les curseurs pour faire varier la longueur du pendule et l'intensité de la pesanteur (pour simuler le pendule sur différentes planètes !). Observez comment la période d'oscillation est affectée.
Paramètres d'Entrée
Résultat Calculé
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. De quoi dépend la période d'un pendule simple pour de petites oscillations ?
2. Si on emmène un pendule de longueur L sur la Lune (où g est environ 6 fois plus faible), sa période sera :
3. Pour doubler la période d'un pendule, il faut multiplier sa longueur par :
4. L'unité de la période dans le Système International est :
5. L'isochronisme des petites oscillations signifie que la période ne dépend pas de :
- Pendule Simple
- Modèle physique idéalisé composé d'une masse ponctuelle suspendue à un fil de masse négligeable et inextensible, oscillant sous l'effet de la gravité.
- Période Propre (T₀)
- Durée d'une oscillation complète effectuée par un oscillateur en l'absence de frottements et de forces extérieures. Elle est exprimée en secondes (s).
- Isochronisme
- Propriété d'un oscillateur dont la période d'oscillation ne dépend pas de son amplitude. Pour le pendule simple, cette propriété n'est approchée que pour de faibles amplitudes.
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires