Exercices Physique Chimie

Calcul de k dans un ressort

Calcul de k dans un ressort

Calcul de k dans un ressort

Comprendre et appliquer la loi de Hooke pour déterminer la constante de raideur d'un ressort et calculer des grandeurs associées comme l'allongement ou la force.

Un ressort est un composant mécanique qui peut stocker de l'énergie potentielle élastique lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé) et la restituer lorsqu'il reprend sa forme initiale. La relation entre la force appliquée pour déformer un ressort et son allongement (ou compression) est décrite par la loi de Hooke, pour des déformations qui ne dépassent pas la limite d'élasticité du ressort.

La loi de Hooke s'exprime par :

\[ F = k \cdot |\Delta L| \]

Où :

  • \(F\) est la valeur de la force appliquée au ressort (ou la tension du ressort) en Newtons (N).
  • \(k\) est la constante de raideur du ressort en Newtons par mètre (N/m). Elle caractérise la "dureté" du ressort : plus \(k\) est élevée, plus le ressort est difficile à déformer.
  • \(|\Delta L|\) est la valeur absolue de l'allongement (ou de la compression) du ressort par rapport à sa longueur à vide, en mètres (m). \(\Delta L = L - L_0\), où \(L\) est la longueur finale et \(L_0\) la longueur à vide.

Lorsqu'une masse \(m\) est suspendue à un ressort verticalement, à l'équilibre, la force exercée par la masse (son poids \(P = mg\)) est égale à la force de rappel (tension) du ressort.

Données du Problème

On étudie un ressort à spires non jointives suspendu verticalement.

  • Longueur à vide du ressort : \(L_0 = 15.0 \text{ cm}\)
  • Lorsqu'on suspend une masse \(m_1 = 200 \text{ g}\) à l'extrémité libre du ressort, sa nouvelle longueur est \(L_1 = 19.0 \text{ cm}\).
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)
Ressort à vide L0 m1 Ressort étiré L1 delta L
Ressort à vide et étiré par une masse.

Questions

  1. Convertir la longueur à vide \(L_0\) et la longueur étirée \(L_1\) en mètres (m).
  2. Calculer l'allongement \(\Delta L_1\) du ressort lorsqu'on suspend la masse \(m_1\).
  3. Convertir la masse \(m_1\) en kilogrammes (kg).
  4. Calculer la valeur de la force \(F_1\) (poids de la masse \(m_1\)) exercée sur le ressort.
  5. En appliquant la loi de Hooke, calculer la constante de raideur \(k\) du ressort.
  6. Quelle serait la nouvelle longueur totale \(L_2\) du ressort si on suspendait une masse \(m_2 = 300 \text{ g}\) ?
  7. Quelle masse \(m_3\) faudrait-il suspendre pour obtenir un allongement \(\Delta L_3 = 6.0 \text{ cm}\) ?

Correction : Calcul de k dans un ressort

1. Conversion des Longueurs en Mètres

\(1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}\).

Données :

  • \(L_0 = 15.0 \text{ cm}\)
  • \(L_1 = 19.0 \text{ cm}\)

Longueur à vide \(L_0\) :

\begin{aligned} L_0 &= 15.0 \times 0.01 \text{ m} \\ &= 0.150 \text{ m} \end{aligned}

Longueur étirée \(L_1\) :

\begin{aligned} L_1 &= 19.0 \times 0.01 \text{ m} \\ &= 0.190 \text{ m} \end{aligned}

\(L_0 = 0.150 \text{ m}\)

\(L_1 = 0.190 \text{ m}\)

2. Calcul de l'Allongement (\(\Delta L_1\))

L'allongement est la différence entre la longueur finale et la longueur initiale : \(\Delta L_1 = L_1 - L_0\).

Données calculées :

  • \(L_1 = 0.190 \text{ m}\)
  • \(L_0 = 0.150 \text{ m}\)
\begin{aligned} \Delta L_1 &= 0.190 \text{ m} - 0.150 \text{ m} \\ &= 0.040 \text{ m} \end{aligned}

L'allongement du ressort est \(\Delta L_1 = 0.040 \text{ m}\) (ou 4.0 cm).

Quiz Intermédiaire

Question : Si un ressort est comprimé au lieu d'être étiré, l'allongement \(\Delta L\) sera :

3. Conversion de la Masse (\(m_1\)) en Kilogrammes

\(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\). Pour convertir des grammes en kilogrammes, on divise par 1000.

Donnée :

  • \(m_1 = 200 \text{ g}\)
\begin{aligned} m_1 &= \frac{200}{1000} \text{ kg} \\ &= 0.200 \text{ kg} \end{aligned}

La masse \(m_1\) est de \(0.200 \text{ kg}\).

4. Calcul de la Force (\(F_1\)) Exercée par la Masse \(m_1\)

La force exercée par la masse est son poids \(P_1 = m_1 \cdot g\). À l'équilibre, cette force est égale à la tension du ressort \(F_1\).

Données :

  • \(m_1 = 0.200 \text{ kg}\)
  • \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)
\begin{aligned} F_1 &= m_1 \cdot g \\ &= 0.200 \text{ kg} \times 9.80 \text{ m/s}^2 \\ &= 1.96 \text{ N} \end{aligned}

La force exercée sur le ressort par la masse \(m_1\) est \(F_1 = 1.96 \text{ N}\).

5. Calcul de la Constante de Raideur (\(k\)) du Ressort

D'après la loi de Hooke, \(F_1 = k \cdot |\Delta L_1|\), donc \(k = F_1 / |\Delta L_1|\).

Données calculées :

  • \(F_1 = 1.96 \text{ N}\)
  • \(|\Delta L_1| = 0.040 \text{ m}\)
\begin{aligned} k &= \frac{F_1}{|\Delta L_1|} \\ &= \frac{1.96 \text{ N}}{0.040 \text{ m}} \\ &= 49.0 \text{ N/m} \end{aligned}

La constante de raideur du ressort est \(k = 49.0 \text{ N/m}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si la constante de raideur d'un ressort est grande, cela signifie que le ressort est :

6. Nouvelle Longueur Totale (\(L_2\)) avec \(m_2 = 300 \text{ g}\)

D'abord, calculer la nouvelle force \(F_2\) (poids de \(m_2\)). Ensuite, calculer le nouvel allongement \(\Delta L_2 = F_2 / k\). Enfin, \(L_2 = L_0 + \Delta L_2\).

Données :

  • \(m_2 = 300 \text{ g} = 0.300 \text{ kg}\)
  • \(k = 49.0 \text{ N/m}\)
  • \(L_0 = 0.150 \text{ m}\)
  • \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)

Force \(F_2\) :

\begin{aligned} F_2 &= m_2 \cdot g \\ &= 0.300 \text{ kg} \times 9.80 \text{ m/s}^2 \\ &= 2.94 \text{ N} \end{aligned}

Nouvel allongement \(\Delta L_2\) :

\begin{aligned} \Delta L_2 &= \frac{F_2}{k} \\ &= \frac{2.94 \text{ N}}{49.0 \text{ N/m}} \\ &= 0.060 \text{ m} \end{aligned}

Nouvelle longueur totale \(L_2\) :

\begin{aligned} L_2 &= L_0 + \Delta L_2 \\ &= 0.150 \text{ m} + 0.060 \text{ m} \\ &= 0.210 \text{ m} \end{aligned}

La nouvelle longueur totale du ressort sera \(L_2 = 0.210 \text{ m}\) (ou 21.0 cm).

7. Masse (\(m_3\)) pour un Allongement \(\Delta L_3 = 6.0 \text{ cm}\)

D'abord, convertir \(\Delta L_3\) en mètres. Ensuite, calculer la force \(F_3 = k \cdot \Delta L_3\). Enfin, calculer la masse \(m_3 = F_3 / g\).

Données :

  • \(\Delta L_3 = 6.0 \text{ cm} = 0.060 \text{ m}\)
  • \(k = 49.0 \text{ N/m}\)
  • \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)

Force \(F_3\) nécessaire :

\begin{aligned} F_3 &= k \cdot \Delta L_3 \\ &= 49.0 \text{ N/m} \times 0.060 \text{ m} \\ &= 2.94 \text{ N} \end{aligned}

Masse \(m_3\) correspondante :

\begin{aligned} m_3 &= \frac{F_3}{g} \\ &= \frac{2.94 \text{ N}}{9.80 \text{ m/s}^2} \\ &= 0.300 \text{ kg} \end{aligned}

Conversion en grammes : \(0.300 \text{ kg} = 300 \text{ g}\).

Il faudrait suspendre une masse \(m_3 = 0.300 \text{ kg}\) (ou 300 g).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La loi de Hooke décrit la relation entre :

Question 2 : L'unité de la constante de raideur \(k\) est :

Question 3 : Si on double la force appliquée à un ressort idéal, son allongement :

Question 4 : Le poids d'un objet de masse \(m\) est donné par la formule :

Glossaire des Termes Clés

Ressort :

Objet élastique capable de stocker de l'énergie mécanique lorsqu'il est déformé.

Loi de Hooke :

Loi physique qui stipule que la force nécessaire pour étendre ou comprimer un ressort d'une certaine distance est proportionnelle à cette distance.

Constante de Raideur (\(k\)) :

Mesure de la rigidité d'un ressort. Plus \(k\) est élevée, plus le ressort est "dur". Unité : N/m.

Allongement (\(\Delta L\)) :

Variation de la longueur d'un ressort par rapport à sa longueur à vide. Peut être positif (étirement) ou négatif (compression).

Longueur à Vide (\(L_0\)) :

Longueur du ressort lorsqu'aucune force ne lui est appliquée.

Poids (\(P\)) :

Force de gravitation exercée sur un objet de masse \(m\). \(P = mg\).

Force de Rappel :

Force exercée par un ressort déformé qui tend à le ramener à sa position d'équilibre. Sa valeur est \(k|\Delta L|\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. La loi de Hooke est-elle toujours valable, quelle que soit l'importance de la déformation du ressort ? Expliquez la notion de limite d'élasticité.

2. Comment pourrait-on déterminer expérimentalement la constante de raideur d'un ressort en laboratoire ? Décrivez une méthode.

3. L'énergie potentielle élastique stockée dans un ressort étiré d'un allongement \(\Delta L\) est donnée par \(E_{pe} = \frac{1}{2} k (\Delta L)^2\). Calculez cette énergie pour le ressort de l'exercice avec la masse \(m_1\).

4. Si deux ressorts identiques de constante de raideur \(k\) sont associés en série, quelle est la constante de raideur du ressort équivalent ? Et s'ils sont associés en parallèle ?

5. Citez des applications courantes des ressorts dans la vie quotidienne ou dans des dispositifs techniques.

Calcul de k dans un ressort

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