Analyse du Mouvement d’un Kart en Course
Comprendre l’Analyse du Mouvement d’un Kart en Course
Laura, une étudiante en troisième, participe à une compétition de sciences où elle doit analyser le mouvement d’un kart électrique sur une piste.
Pour son projet, elle doit calculer l’énergie cinétique du kart à différentes phases de son parcours et discuter des implications énergétiques de différentes vitesses.
Laura a enregistré les vitesses du kart à trois points différents de la piste : au départ, à mi-parcours après une accélération constante, et juste avant de franchir la ligne d’arrivée.
Données :
- Masse du kart (incluant le pilote) : 250 kg.
- Vitesse au départ (V1) : 2 m/s.
- Vitesse à mi-parcours (V2) : 12 m/s.
- Vitesse à la ligne d’arrivée (V3) : 18 m/s.
Question :
1. Calculez l’énergie cinétique du kart à chaque point mentionné.
2. Analysez comment l’énergie cinétique change entre chaque point. Quelles conclusions peut-on tirer sur la relation entre la vitesse et l’énergie cinétique?
3. Supposons que la piste ait une longueur totale de 500 mètres et que le kart ait mis 50 secondes pour compléter le parcours. Calculez l’accélération moyenne du kart sur la piste.
4. Si Laura veut augmenter l’énergie cinétique du kart de 50% à la mi-parcours, quelle devrait être la nouvelle vitesse du kart à ce point?
Éléments supplémentaires pour discussion :
- Discutez de l’efficacité énergétique en fonction de l’augmentation de la vitesse.
- Comment la résistance de l’air pourrait-elle affecter les calculs d’énergie cinétique si on l’inclut dans les considérations?
Correction : Analyse du Mouvement d’un Kart en Course
1. Calcul de l’énergie cinétique à chaque point
Au départ :
Formule :
\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]
Substitution des valeurs et calcul :
\[ E_c = \frac{1}{2} \times 250 \times 2^2 \] \[ E_c = \frac{1}{2} \times 250 \times 4 \] \[ E_c = 500 \, \text{joules} \]
À mi-parcours :
Formule :
\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]
Substitution des valeurs et calcul :
\[ E_c = \frac{1}{2} \times 250 \times 12^2 \] \[ E_c = \frac{1}{2} \times 250 \times 144 \] \[ E_c = 18\,000 \, \text{joules} \]
À la ligne d’arrivée :
Formule :
\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]
Substitution des valeurs et calcul :
\[ E_c = \frac{1}{2} \times 250 \times 18^2 \] \[ E_c = \frac{1}{2} \times 250 \times 324 \] \[ E_c = 40\,500 \, \text{joules} \]
2. Analyse du changement de l’énergie cinétique
- L’énergie cinétique au départ est de 500 joules, à mi-parcours de 18,000 joules, et à la ligne d’arrivée de 40,500 joules.
Conclusion :
L’énergie cinétique augmente avec le carré de la vitesse. Ainsi, même une petite augmentation de la vitesse entraîne une augmentation significative de l’énergie cinétique. Cela démontre une relation quadratique entre la vitesse et l’énergie cinétique.
3. Calcul de l’accélération moyenne du kart sur la piste
Formule de l’accélération moyenne :
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
- Changement de vitesse:
\[ \Delta v = \text{Vitesse finale} – \text{Vitesse initiale} \] \[ \Delta v = 18\, \text{m/s} – 2\, \text{m/s} \] \[ \Delta v = 16\, \text{m/s} \]
- Durée (\(\Delta t\)) = 50 secondes
Calcul :
\[ a = \frac{16}{50} \] \[ a = 0.32 \, \text{m/s}^2 \]
4. Nouvelle vitesse à mi-parcours pour une augmentation de 50% de l’énergie cinétique
- Énergie cinétique initiale à mi-parcours : 18,000 joules
- Nouvelle énergie cinétique souhaitée : \( 18,000 \times 1.5 = 27,000 \, \text{joules} \)
Utilisation de la formule inversée de l’énergie cinétique pour trouver la nouvelle vitesse :
\[ v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} \]
Substitution des valeurs et calcul :
\[ v = \sqrt{\frac{2 \times 27,000}{250}} \] \[ v = \sqrt{216} \] \[ v \approx 14.7 \, \text{m/s} \]
Éléments supplémentaires pour discussion:
- Efficacité énergétique :
Augmenter la vitesse du kart nécessite une quantité d’énergie de plus en plus grande. Cela pose la question de l’efficacité énergétique, surtout en considérant que l’énergie nécessaire pour augmenter la vitesse augmente exponentiellement par rapport à l’augmentation linéaire de la vitesse.
- Résistance de l’air :
À des vitesses plus élevées, la résistance de l’air devient un facteur significatif. Elle pourrait nécessiter une énergie supplémentaire pour maintenir ou augmenter la vitesse, affectant ainsi les calculs de l’énergie cinétique.
Pour des calculs plus précis, la force de traînée aérodynamique pourrait être incluse selon la formule
\[ F_d = \frac{1}{2} \rho v^2 C_d A \]
où \( \rho \) est la densité de l’air, \( C_d \) le coefficient de traînée, et \( A \) la surface frontale.
Analyse du Mouvement d’un Kart en Course
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