Dispersion de la lumière par un prisme

Comprendre le phénomène de dispersion de la lumière blanche par un prisme et calculer les angles de déviation pour différentes longueurs d'onde.

Un prisme est un milieu transparent limité par deux surfaces planes non parallèles, appelées faces du prisme. L'angle formé par ces deux faces est appelé angle du prisme (A). Lorsqu'un faisceau de lumière polychromatique (comme la lumière blanche) traverse un prisme, il est décomposé en ses différentes couleurs spectrales. Ce phénomène est appelé dispersion de la lumière.

La dispersion est due au fait que l'indice de réfraction \(n\) du matériau du prisme dépend de la longueur d'onde \(\lambda\) de la lumière. En général, l'indice de réfraction est plus élevé pour les courtes longueurs d'onde (violet, bleu) que pour les grandes longueurs d'onde (rouge, orange).

Les lois de Snell-Descartes décrivent la réfraction de la lumière à chaque interface :

n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)

Où \(n_1\) et \(n_2\) sont les indices de réfraction des milieux 1 et 2, \(i\) est l'angle d'incidence et \(r\) est l'angle de réfraction (angles mesurés par rapport à la normale à la surface).

Pour un prisme d'angle \(A\), si \(i_1\) est l'angle d'incidence sur la première face, \(r_1\) l'angle de réfraction dans le prisme, \(i_2\) l'angle d'incidence sur la deuxième face (interne), et \(r_2\) l'angle d'émergence (réfraction en sortie du prisme), on a les relations : \(A = r_1 + i_2\) et la déviation totale \(D = i_1 + r_2 - A\).

Données du Problème

Un faisceau de lumière blanche arrive sur une des faces d'un prisme en verre flint, dont l'angle au sommet est \(A\).

Angle du prisme (\(A\)) : \(60.0^\circ\)
Angle d'incidence du faisceau de lumière blanche sur la première face (\(i_1\)) : \(45.0^\circ\)
Indice de réfraction de l'air (\(n_{air}\)) : \(1.000\)
Indice de réfraction du prisme pour la lumière rouge (\(n_{rouge}\)) : \(1.610\)
Indice de réfraction du prisme pour la lumière violette (\(n_{violet}\)) : \(1.660\)
On rappelle : \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\arcsin(y)\) (ou \(\sin^{-1}(y)\)) pour les calculs trigonométriques.

Dispersion de la lumière blanche par un prisme.

Questions

Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction.
Calculer l'angle de réfraction \(r_{1,rouge}\) pour la lumière rouge à l'intérieur du prisme, après la première face.
Calculer l'angle d'incidence \(i_{2,rouge}\) de la lumière rouge sur la deuxième face du prisme.
Calculer l'angle d'émergence \(r_{2,rouge}\) de la lumière rouge lorsqu'elle sort du prisme.
Calculer l'angle de déviation totale \(D_{rouge}\) pour la lumière rouge.
Répéter les étapes 2 à 5 pour la lumière violette (calculer \(r_{1,violet}\), \(i_{2,violet}\), \(r_{2,violet}\) et \(D_{violet}\)).
Calculer la dispersion angulaire \(\Delta D = |D_{violet} - D_{rouge}|\) produite par le prisme.
Expliquer brièvement pourquoi le prisme sépare la lumière blanche en ses différentes couleurs.

Correction : Dispersion de la Lumière par un Prisme

1. Loi de Snell-Descartes pour la Réfraction

La loi de Snell-Descartes décrit le comportement d'un rayon lumineux lorsqu'il passe d'un milieu d'indice de réfraction \(n_1\) à un milieu d'indice de réfraction \(n_2\). Si \(i\) est l'angle d'incidence (angle entre le rayon incident et la normale à la surface de séparation) et \(r\) est l'angle de réfraction (angle entre le rayon réfracté et la normale), la loi s'écrit :

n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)

Loi de Snell-Descartes : \(n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)\).

2. Angle de Réfraction \(r_{1,rouge}\) pour la Lumière Rouge

Application de la loi de Snell-Descartes à la première face du prisme pour la lumière rouge. Milieu 1 : air (\(n_1 = n_{air} = 1.000\)). Angle d'incidence \(i_1 = 45.0^\circ\). Milieu 2 : prisme (\(n_2 = n_{rouge} = 1.610\)). Angle de réfraction \(r_{1,rouge}\).

\begin{aligned} n_{air} \sin(i_1) &= n_{rouge} \sin(r_{1,rouge}) \\ \sin(r_{1,rouge}) &= \frac{n_{air} \sin(i_1)}{n_{rouge}} \\ &= \frac{1.000 \times \sin(45.0^\circ)}{1.610} \\ &\approx \frac{0.7071}{1.610} \\ &\approx 0.43919 \\ r_{1,rouge} &= \arcsin(0.43919) \\ &\approx 26.05^\circ \end{aligned}

L'angle de réfraction pour la lumière rouge à l'intérieur du prisme est \(r_{1,rouge} \approx 26.05^\circ\).

3. Angle d'Incidence \(i_{2,rouge}\) sur la Deuxième Face (Lumière Rouge)

Dans un prisme d'angle \(A\), les angles de réfraction sur la première face (\(r_1\)) et d'incidence sur la deuxième face (\(i_2\)) sont liés par la relation géométrique \(A = r_1 + i_2\).

Données : \(A = 60.0^\circ\), \(r_{1,rouge} \approx 26.05^\circ\).

\begin{aligned} i_{2,rouge} &= A - r_{1,rouge} \\ &\approx 60.0^\circ - 26.05^\circ \\ &\approx 33.95^\circ \end{aligned}

L'angle d'incidence de la lumière rouge sur la deuxième face est \(i_{2,rouge} \approx 33.95^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Formule du Prisme

4. Angle d'Émergence \(r_{2,rouge}\) de la Lumière Rouge

Application de la loi de Snell-Descartes à la deuxième face du prisme pour la lumière rouge. Milieu 1 : prisme (\(n_1 = n_{rouge} = 1.610\)). Angle d'incidence \(i_{2,rouge} \approx 33.95^\circ\). Milieu 2 : air (\(n_2 = n_{air} = 1.000\)). Angle d'émergence \(r_{2,rouge}\).

\begin{aligned} n_{rouge} \sin(i_{2,rouge}) &= n_{air} \sin(r_{2,rouge}) \\ \sin(r_{2,rouge}) &= \frac{n_{rouge} \sin(i_{2,rouge})}{n_{air}} \\ &\approx \frac{1.610 \times \sin(33.95^\circ)}{1.000} \\ &\approx 1.610 \times 0.5584 \\ &\approx 0.8989 \\ r_{2,rouge} &= \arcsin(0.8989) \\ &\approx 64.01^\circ \end{aligned}

L'angle d'émergence de la lumière rouge est \(r_{2,rouge} \approx 64.01^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Lois de Snell-Descartes

5. Angle de Déviation Totale \(D_{rouge}\)

L'angle de déviation totale \(D\) est l'angle entre la direction du rayon incident initial et la direction du rayon émergent final. Pour un prisme, il est donné par \(D = i_1 + r_2 - A\).

Données : \(i_1 = 45.0^\circ\), \(r_{2,rouge} \approx 64.01^\circ\), \(A = 60.0^\circ\).

\begin{aligned} D_{rouge} &= i_1 + r_{2,rouge} - A \\ &\approx 45.0^\circ + 64.01^\circ - 60.0^\circ \\ &\approx 109.01^\circ - 60.0^\circ \\ &\approx 49.01^\circ \end{aligned}

L'angle de déviation totale pour la lumière rouge est \(D_{rouge} \approx 49.01^\circ\).

6. Répétition des Calculs pour la Lumière Violette

Nous refaisons les mêmes calculs (étapes 2 à 5) en utilisant l'indice de réfraction pour la lumière violette, \(n_{violet} = 1.660\).

Angle de réfraction \(r_{1,violet}\) :

\begin{aligned} \sin(r_{1,violet}) &= \frac{n_{air} \sin(i_1)}{n_{violet}} \\ &= \frac{1.000 \times \sin(45.0^\circ)}{1.660} \\ &\approx \frac{0.7071}{1.660} \\ &\approx 0.42596 \\ r_{1,violet} &= \arcsin(0.42596) \\ &\approx 25.21^\circ \end{aligned}

Angle d'incidence \(i_{2,violet}\) :

\begin{aligned} i_{2,violet} &= A - r_{1,violet} \\ &\approx 60.0^\circ - 25.21^\circ \\ &\approx 34.79^\circ \end{aligned}

Angle d'émergence \(r_{2,violet}\) :

\begin{aligned} \sin(r_{2,violet}) &= \frac{n_{violet} \sin(i_{2,violet})}{n_{air}} \\ &\approx \frac{1.660 \times \sin(34.79^\circ)}{1.000} \\ &\approx 1.660 \times 0.5706 \\ &\approx 0.947196 \\ r_{2,violet} &= \arcsin(0.947196) \\ &\approx 71.30^\circ \end{aligned}

Angle de déviation totale \(D_{violet}\) :

\begin{aligned} D_{violet} &= i_1 + r_{2,violet} - A \\ &\approx 45.0^\circ + 71.30^\circ - 60.0^\circ \\ &\approx 116.30^\circ - 60.0^\circ \\ &\approx 56.30^\circ \end{aligned}

Pour la lumière violette : \(r_{1,violet} \approx 25.21^\circ\), \(i_{2,violet} \approx 34.79^\circ\), \(r_{2,violet} \approx 71.30^\circ\), et \(D_{violet} \approx 56.30^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Indice et Déviation

7. Calcul de la Dispersion Angulaire \(\Delta D\)

La dispersion angulaire \(\Delta D\) est la différence entre l'angle de déviation de la lumière violette (la plus déviée) et celui de la lumière rouge (la moins déviée). \[ \Delta D = |D_{violet} - D_{rouge}| \]

Données : \(D_{violet} \approx 56.30^\circ\), \(D_{rouge} \approx 49.01^\circ\).

\begin{aligned} \Delta D &= |56.30^\circ - 49.01^\circ| \\ &= 7.29^\circ \end{aligned}

La dispersion angulaire entre la lumière violette et la lumière rouge est \(\Delta D \approx 7.29^\circ\).

8. Explication de la Dispersion de la Lumière Blanche

La lumière blanche est une lumière polychromatique, c'est-à-dire qu'elle est composée d'une superposition de lumières monochromatiques de différentes longueurs d'onde (correspondant aux différentes couleurs du spectre visible).

Le phénomène de dispersion par un prisme s'explique par deux points clés :

Dépendance de l'indice de réfraction avec la longueur d'onde : L'indice de réfraction \(n\) du matériau du prisme (ici, le verre flint) n'est pas le même pour toutes les longueurs d'onde. En général, pour les matériaux transparents comme le verre, l'indice de réfraction augmente lorsque la longueur d'onde diminue (par exemple, \(n_{violet} > n_{rouge}\) car \(\lambda_{violet} < \lambda_{rouge}\)). C'est ce qu'on appelle la dispersion du matériau.
Application des lois de Snell-Descartes : Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un milieu à un autre, son angle de réfraction dépend de l'indice de réfraction du second milieu (et de celui du premier, ainsi que de l'angle d'incidence). Comme l'indice du prisme varie avec la longueur d'onde, chaque composante colorée de la lumière blanche sera réfractée avec un angle légèrement différent à chaque interface (entrée et sortie du prisme).

Ainsi, à l'entrée du prisme, les différentes couleurs sont déjà légèrement séparées car elles sont réfractées différemment. Cette séparation s'accentue à la sortie du prisme. La lumière violette, ayant un indice de réfraction plus élevé, est généralement plus déviée que la lumière rouge. Cela conduit à l'étalement de la lumière blanche en un spectre de couleurs.

Le prisme sépare la lumière blanche car l'indice de réfraction du verre dépend de la longueur d'onde de la lumière, provoquant une réfraction différente pour chaque couleur, et donc une déviation totale différente.

Glossaire des Termes Clés

Prisme :

Milieu transparent (souvent en verre ou en plastique) limité par deux faces planes non parallèles, utilisé pour réfracter ou disperser la lumière.

Dispersion de la Lumière :

Phénomène de séparation de la lumière polychromatique (comme la lumière blanche) en ses différentes composantes monochromatiques (couleurs) en raison de la variation de l'indice de réfraction du milieu avec la longueur d'onde.

Réfraction :

Changement de direction d'un rayon lumineux lorsqu'il traverse l'interface entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents.

Lois de Snell-Descartes :

Lois qui régissent la réfraction et la réflexion de la lumière. Pour la réfraction : \(n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)\).

Indice de Réfraction (\(n\)) :

Nombre sans dimension qui caractérise la vitesse de la lumière dans un milieu par rapport à sa vitesse dans le vide (\(n = c/v\)). Il dépend du milieu et de la longueur d'onde de la lumière.

Angle d'Incidence (\(i\)) :

Angle entre le rayon lumineux incident et la normale (perpendiculaire) à la surface de séparation des deux milieux.

Angle de Réfraction (\(r\)) :

Angle entre le rayon lumineux réfracté et la normale à la surface de séparation des deux milieux.

Angle du Prisme (\(A\)) :

Angle formé par les deux faces du prisme où la lumière subit la réfraction.

Angle de Déviation (\(D\)) :

Angle entre la direction du rayon incident initial et la direction du rayon émergent final après passage à travers le prisme.

Lumière Polychromatique :

Lumière composée de plusieurs longueurs d'onde (plusieurs couleurs), comme la lumière blanche.

Lumière Monochromatique :

Lumière composée d'une seule longueur d'onde (une seule couleur).

Spectre :

Ensemble des radiations monochromatiques obtenues par décomposition d'une lumière polychromatique.

Longueur d'Onde (\(\lambda\)) :

Distance sur laquelle la forme d'une onde se répète. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence pour une vitesse donnée.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'angle d'incidence \(i_1\) affecte-t-il l'angle de déviation totale \(D\) pour une couleur donnée ? Existe-t-il un angle d'incidence pour lequel la déviation est minimale ?

2. Qu'est-ce que le phénomène de réflexion totale interne ? Dans quelles conditions peut-il se produire à l'intérieur d'un prisme ?

3. Les arcs-en-ciel sont un exemple naturel de dispersion de la lumière. Expliquer brièvement comment ils se forment.

4. Certains matériaux (comme le diamant) sont réputés pour leur "feu" ou leur "éclat". Comment la dispersion de la lumière contribue-t-elle à cet effet ?

5. En plus des prismes à réfraction, existe-t-il d'autres dispositifs optiques capables de disperser la lumière (par exemple, les réseaux de diffraction) ? Comment fonctionnent-ils par rapport au prisme ?

Dispersion de la lumière par un prisme