Le Tir en Arc de Lisa
Comprendre Le Tir en Arc de Lisa
Lors d’un match de football, Lisa veut tirer le ballon de manière à ce qu’il passe par-dessus un défenseur et atterrisse devant la ligne de but pour que son coéquipier puisse marquer. Elle frappe le ballon en lui donnant une trajectoire courbe.
Données:
- Lisa donne un coup de pied au ballon avec une force moyenne.
- Elle vise à faire passer le ballon juste au-dessus d’un défenseur qui se trouve à 2 mètres de distance d’elle.
- Le défenseur mesure 1,50 mètre.
Observation de la Trajectoire:
- Regarde comment le ballon monte puis descend après le tir de Lisa.
Questions :
1. Pourquoi le ballon monte-t-il puis descend-il après avoir été frappé ?
Réfléchis à ce qui se passe avec le ballon quand Lisa le frappe.
2. Peux-tu deviner à quelle hauteur le ballon passe par rapport au défenseur ?
Pense à la hauteur du défenseur et imagine si le ballon passe beaucoup plus haut que lui ou juste au-dessus de sa tête.
3. Que pourrait faire Lisa pour que le ballon aille plus loin ou moins loin ?
Discute des différentes manières dont Lisa pourrait frapper le ballon pour changer la distance qu’il parcourt.
Correction : Le Tir en Arc de Lisa
1. Explication du Mouvement du Ballon
Mouvement parabolique (ou tir en arcade) :
Lorsqu’un objet est lancé dans l’air (ici, le ballon), sa trajectoire est influencée par deux composantes :
- La composante horizontale :
Le ballon avance à vitesse constante (en négligeant la résistance de l’air).
- La composante verticale :
Initialement, le ballon monte grâce à la vitesse verticale \( V_{0y} = V_0 \sin \theta \).
Ensuite, la gravité agit constamment en accélérant le ballon vers le bas, ralentissant sa montée jusqu’à ce qu’il atteigne un point maximum, puis accélérant sa descente.
Conclusion :
Le ballon monte d’abord parce qu’il reçoit une impulsion initiale dans la direction verticale et descend ensuite à cause de l’accélération due à la gravité. Cette double phase de montée puis de descente forme une trajectoire parabolique.
2. Estimation de la Hauteur au-dessus du Défenseur
Pour déterminer la hauteur du ballon quand il se trouve horizontalement à 2 m de Lisa, on utilise les équations du mouvement parabolique. Pour un tir où la vitesse initiale est \(V_0 = 15 \, \text{m/s} \) et l’angle de tir est \(theta = 45^\circ \), les étapes de calcul sont les suivantes :
- Calcul du temps de parcours horizontal jusqu’au défenseur :
L’équation pour la distance horizontale \(x \) est :
\[x = V_0 \cos \theta \cdot t\]
Pour \(x = 2 \, \text{m}\) :
- Calcul de \(V_0 \cos \theta\) :
\[V_0 \cos 45^\circ = 15 \times 0,7071\]
\[V_0 \cos 45^\circ \approx 10,61 \, \text{m/s}\]
- On résout pour \(t \):
\[t = \frac{x}{V_0 \cos \theta}\]
\[t = \frac{2}{10,61}\]
\[t \approx 0,1887 \, \text{s}\]
- Hauteur verticale du ballon à ce temps \(t \) :
L’équation pour la hauteur \(y \) est donnée par :
\[y = V_0 \sin \theta \cdot t – \frac{1}{2} g \, t^2\]
On calcule :
- \[V_0 \sin 45^\circ = 15 \times 0,7071\]
\[V_0 \sin 45^\circ \approx 10,61 \, \text{m/s}\]
- Première partie \(10,61 \, \text{m/s} \times 0,1887 \, \text{s} \) :
\[10,61 \times 0,1887 \approx 2,00 \, \text{m} \] - Deuxième partie (la chute due à la gravité) :
\[\frac{1}{2} \times 9,81 \times (0,1887)^2 \approx 4,905 \times 0,0356 \approx 0,1748 \, \text{m} \] - Donc la hauteur \(y \) :
\[y \approx 2,00 – 0,1748\] \[y \approx 1,8252 \, \text{m}\]
Résultat :
Le ballon passe à environ 1,83 m au moment où il est au-dessus du défenseur, ce qui est juste au-dessus de sa tête (hauteur 1,50 m).
3. Variations de la Distance Parcourue
Lisa peut varier les paramètres de son tir pour modifier la trajectoire et la portée du ballon. Voici quelques pistes :
Pour augmenter la distance parcourue :
- Augmenter la vitesse initiale \(V_0 \) :
Un coup de pied plus fort donne plus d’énergie au ballon. Par exemple, augmenter \(V_0 \) de 15 à 18 m/s accroît à la fois la composante horizontale et verticale, ce qui augmente la portée globale.
- Ajuster l’angle de tir :
L’angle optimal en l’absence de résistance de l’air est de \(45^\circ \). Toutefois, dans un contexte réel et pour contourner un obstacle (le défenseur), Lisa pourrait utiliser un angle légèrement supérieur pour obtenir une trajectoire plus haute, même si cela réduit un peu la portée horizontale.
- Pour diminuer la distance parcourue :
- Diminuer la vitesse initiale \(V_0 \) :
Un tir moins puissant réduit la vitesse dans les deux directions, ce qui diminue la portée.
- Modifier l’angle de tir :
Un angle trop aigu (inférieur à \( 45^\circ \)) accroît la vitesse horizontale mais limite la hauteur, ce qui pourrait faire que le ballon ne passe pas au-dessus du défenseur ou que sa trajectoire tombe plus rapidement, réduisant ainsi sa portée.
Exemple de comparaison numérique :
Si Lisa passe de \(V_0 = 15 \, \text{m/s} \) à \(V_0 = 18 \, \text{m/s} \) en gardant un angle de \(45^\circ \) :
La vitesse horizontale sera \(18 \times 0,7071 \approx 12,73 \, \text{m/s} \).
- Pour \( x = 2 \, \text{m} \), le temps de parcours devient :
\[t = \frac{2}{12,73}\]
\[t \approx 0,157 \, \text{s}\]
- La hauteur à \(x = 2 \, \text{m} \) serait alors :
\[y = 18 \times 0,7071 \times 0,157 – \frac{1}{2} \times 9,81 \times (0,157)^2\] - On calcule d’abord : \[V_0 \sin 45^\circ = 12,73 \, \text{m/s}\],
Puis \[12,73 \times 0,157 \approx 2,00 \, \text{m}\], - Effet gravitationnel :
\[\frac{1}{2} \times 9,81 \times (0,157)^2 \approx 0,1208 \, \text{m} \],
Donc \[y \approx 2,00 – 0,1208\]
\[y \approx 1,8792 \, \text{m}\]
On voit que la hauteur est légèrement supérieure, et la portée globale sera nettement augmentée.
Le Tir en Arc de Lisa
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