Exercices Physique Chimie

Mouvement Projectile

Exercice : Mouvement d'un Projectile sur Mars

Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme

Contexte : Lancement d'une sonde d'exploration sur Mars.

L'étude du mouvement d'un projectileLe mouvement d'un objet lancé dans l'espace qui est soumis uniquement à l'accélération de la pesanteur. est un pilier de la mécanique classique. Elle permet de modéliser des situations variées, allant du tir balistique à la trajectoire des corps célestes. Dans cet exercice, nous appliquerons ces principes à un scénario de planétologie : le lancement d'une petite sonde depuis une falaise sur la planète Mars, où le champ de pesanteur est différent de celui de la Terre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser l'application du Principe Fondamental de la Dynamique en coordonnées cartésiennes, d'établir des équations horaires et de trajectoire par intégrations successives, et de calculer les grandeurs cinématiques clés qui caractérisent un tel mouvement.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir les équations horaires vectorielles (position, vitesse, accélération) d'un projectile.
  • Déterminer l'équation de la trajectoire et reconnaître sa nature parabolique.
  • Calculer les caractéristiques du mouvement : la flècheL'altitude maximale atteinte par le projectile au cours de son mouvement. (altitude maximale) et la portéeLa distance horizontale totale parcourue par le projectile entre son point de lancement et son point d'impact. (distance horizontale).
  • Déterminer la durée du vol et le vecteur vitesse à l'impact.

Données de l'étude

Une sonde de masse \(m = 10 \text{ kg}\) est lancée depuis le sommet d'une falaise martienne de hauteur \(h\). Le lancement est effectué avec une vitesse initiale \(\vec{v}_0\). L'étude est menée dans le repère cartésien \((O, \vec{i}, \vec{k})\) avec l'axe \((O\text{x})\) horizontal et l'axe \((O\text{z})\) vertical ascendant. L'origine \(O\) est au pied de la falaise.

Schéma de la situation initiale
x z v₀ h O
Paramètre Symbole Valeur Unité
Module de la vitesse initiale \(\|\vec{v}_0\| = v_0\) 50 m/s
Angle de lancement (avec l'horizontale) \(\alpha\) 30 degrés
Hauteur initiale (altitude de la falaise) \(h\) 200 m
Accélération de la pesanteur sur Mars \(g_{\text{M}}\) 3.71 m/s²

Questions à traiter

  1. Déterminer les équations horaires du mouvement, c'est-à-dire les expressions de la position \(x(t)\) et \(z(t)\) en fonction du temps.
  2. Établir l'équation de la trajectoire \(z(x)\).
  3. Calculer l'altitude maximale atteinte par la sonde (la flèche) par rapport au sol (\(z=0\)).
  4. Déterminer la durée totale du vol de la sonde.
  5. Calculer la portée du lancement et le vecteur vitesse \(\vec{v}_{\text{f}}\) de la sonde juste avant son impact avec le sol martien.

Les bases sur le Mouvement d'un Projectile

Le mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme (en négligeant les frottements de l'air) est régi par le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD).

1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Le PFD, ou deuxième loi de Newton, stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération. \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \] Dans notre cas, la seule force est le poids \(\vec{P} = m\vec{g}\). Ainsi, l'équation se simplifie en \(\vec{a} = \vec{g}\).

2. Obtention de la Vitesse et de la Position
Le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\) s'obtient par intégration du vecteur accélération \(\vec{a}(t)\), et le vecteur position \(\vec{r}(t)\) s'obtient par intégration du vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\). Les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions initiales (position et vitesse à \(t=0\)). \[ \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \,dt + \vec{C}_1 \quad \text{et} \quad \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) \,dt + \vec{C}_2 \] Avec \(\vec{C}_1 = \vec{v}(0) = \vec{v}_0\) et \(\vec{C}_2 = \vec{r}(0) = \vec{r}_0\).

Correction : Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme

Question 1 : Déterminer les équations horaires du mouvement.

Principe (le concept physique)

L'objectif est de trouver les fonctions \(x(t)\) et \(z(t)\) qui décrivent la position de la sonde à chaque instant. Pour cela, on part de l'accélération (qui est constante), puis on intègre deux fois par rapport au temps pour obtenir la vitesse, puis la position.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En mécanique Newtonienne, une accélération constante \(\vec{a}\) mène à une vitesse qui varie linéairement avec le temps (\(\vec{v}(t) = \vec{a}t + \vec{v}_0\)) et à une position qui varie de manière quadratique avec le temps (\(\vec{r}(t) = \frac{1}{2}\vec{a}t^2 + \vec{v}_0t + \vec{r}_0\)). C'est le fondement de la cinématique des mouvements uniformément accélérés. La séparation des axes \((O\text{x})\) et \((O\text{z})\) permet de traiter un problème 2D comme deux problèmes 1D plus simples.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La clé de ces problèmes est la décomposition du mouvement. Traitez le mouvement horizontal (à vitesse constante car \(a_{\text{x}}=0\)) et le mouvement vertical (uniformément accéléré car \(a_{\text{z}}=-g_{\text{M}}\)) comme deux problèmes distincts mais liés par le même paramètre : le temps \(t\).

Normes (la référence réglementaire)

L'analyse est basée sur les lois de la mécanique Newtonienne, qui constitue le cadre standard ("la norme") pour décrire le mouvement des objets macroscopiques à des vitesses non-relativistes (très inférieures à la vitesse de la lumière).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Principe Fondamental de la Dynamique et Intégrations Successives

\[ \vec{a}(t) = \vec{g} \Rightarrow \vec{v}(t) = \vec{g}t + \vec{v}_0 \Rightarrow \vec{r}(t) = \frac{1}{2}\vec{g}t^2 + \vec{v}_0t + \vec{r}_0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le référentiel martien est considéré galiléen.
  • La sonde est modélisée comme un point matériel.
  • Les frottements dus à l'atmosphère martienne (très ténue) sont négligés.
  • Le champ de pesanteur \(\vec{g}_{\text{M}}\) est uniforme sur la hauteur de la trajectoire.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnitéOrigine/Calcul
Vitesse initiale horizontale\(v_{0\text{x}}\)43.3m/sProjection de \(\vec{v}_0\) : \(50 \cdot \cos(30^\circ)\)
Vitesse initiale verticale\(v_{0\text{z}}\)25m/sProjection de \(\vec{v}_0\) : \(50 \cdot \sin(30^\circ)\)
Position initiale (horizontale)\(x_0\)0mÉnoncé (origine du repère)
Position initiale (verticale)\(z_0 = h\)200mÉnoncé (hauteur de la falaise)
Accélération horizontale\(a_x\)0m/s²PFD (pas de force horizontale)
Accélération verticale\(a_z = -g_M\)-3.71m/s²PFD (poids, axe \(\vec{k}\) ascendant)
Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de commencer les intégrations, écrivez toujours les six conditions initiales (\(x_0, z_0, v_{0\text{x}}, v_{0\text{z}}, a_{\text{x}}, a_{\text{z}}\)) de manière explicite. Cela structure la pensée et évite les erreurs d'inattention.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la situation initiale
xzv₀hO
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul des composantes de la vitesse initiale

On projette le vecteur vitesse initial \(\vec{v}_0\) sur les axes (Ox) et (Oz) en utilisant la trigonométrie.

\[ \begin{aligned} v_{0\text{x}} &= v_0 \cdot \cos(\alpha) \\ &= 50 \cdot \cos(30^\circ) \\ &\approx 43.3 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} v_{0\text{z}} &= v_0 \cdot \sin(\alpha) \\ &= 50 \cdot \sin(30^\circ) \\ &= 25 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Étape 2 : Intégrations successives pour trouver les équations horaires

On part du vecteur accélération \(\vec{a} = (0, -g_M)\) et on l'intègre une première fois par rapport au temps.

\[ \vec{v}(t) = \int \vec{a} \,dt = \begin{pmatrix} C_{\text{x}} \\ -g_{\text{M}} t + C_{\text{z}} \end{pmatrix} \]

On détermine les constantes d'intégration \(C_x\) et \(C_z\) en utilisant les conditions initiales à \(t=0\), où \(\vec{v}(0) = \vec{v}_0 = (v_{0x}, v_{0z})\). On obtient alors l'équation horaire de la vitesse.

\[ \begin{aligned} \vec{v}(t) &= \begin{pmatrix} v_{\text{x}}(t) \\ v_{\text{z}}(t) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_{0\text{x}} \\ -g_{\text{M}} t + v_{0\text{z}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 43.3 \\ -3.71 t + 25 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

On intègre ensuite le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\) pour obtenir le vecteur position \(\vec{r}(t)\).

\[ \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) \,dt = \begin{pmatrix} v_{0\text{x}}t + D_{\text{x}} \\ -\frac{1}{2}g_{\text{M}} t^2 + v_{0\text{z}}t + D_{\text{z}} \end{pmatrix} \]

On détermine les nouvelles constantes \(D_x\) et \(D_z\) avec la position initiale à \(t=0\), \(\vec{r}(0) = (x_0, z_0) = (0, h)\). Cela nous donne les équations horaires sous leur forme littérale.

\[ \begin{aligned} \vec{r}(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_{0\text{x}}t \\ -\frac{1}{2}g_{\text{M}} t^2 + v_{0\text{z}}t + h \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Étape 3 : Application numérique pour les équations de position

En remplaçant les symboles dans le vecteur position par leurs valeurs numériques respectives, on obtient les équations horaires finales :

Équation pour x(t)

\[ \begin{aligned} x(t) &= v_{0\text{x}} \cdot t \\ &= 43.3 \cdot t \end{aligned} \]

Équation pour z(t)

\[ \begin{aligned} z(t) &= -\frac{1}{2}g_{\text{M}} t^2 + v_{0\text{z}}t + h \\ &= -\frac{1}{2}(3.71) t^2 + (25)t + 200 \\ &= -1.855 t^2 + 25t + 200 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation des équations horaires
tx(t)Mouvement uniformetz(t)Mouvement uniformément accéléréh
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation \(x(t)\) est linéaire, ce qui confirme que le mouvement horizontal se fait à vitesse constante (principe d'inertie). L'équation \(z(t)\) est un polynôme du second degré avec un coefficient de \(t^2\) négatif, ce qui décrit bien un objet qui monte puis redescend sous l'effet constant de la gravité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande source d'erreur est le signe de l'accélération de la pesanteur. Comme l'axe \((O\text{z})\) est orienté vers le haut, le vecteur \(\vec{g}_{\text{M}}\) pointe vers le bas, donc sa coordonnée est bien négative: \(a_{\text{z}} = -g_{\text{M}}\). Une autre erreur fréquente est d'oublier la hauteur initiale \(h\) dans l'équation de \(z(t)\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les équations horaires sont le résultat de deux intégrations successives du vecteur accélération.
  • Les constantes d'intégration sont systématiquement déterminées par les conditions initiales de vitesse et de position.
  • Le mouvement se décompose en un mouvement rectiligne uniforme horizontal et un mouvement rectiligne uniformément accéléré vertical.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les mêmes équations, en ajoutant la force de poussée des moteurs et en tenant compte de la variation de masse (éjection de carburant), sont utilisées pour les premières phases du décollage d'une fusée. La physique du projectile est la première brique de la mécanique spatiale.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la masse \(m=10 \text{ kg}\) n'intervient-elle pas dans les calculs ?

Dans le Principe Fondamental de la Dynamique (\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\)), la seule force est le poids \(\vec{P}=m\vec{g}\). L'équation devient \(m\vec{a} = m\vec{g}\). La masse \(m\) se simplifie de chaque côté. C'est le principe d'équivalence : en l'absence de frottement, tous les corps chutent avec la même accélération, quelle que soit leur masse.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Après calculs, les équations horaires du mouvement de la sonde sont :

\(x(t) = 43.3 \cdot t\)
\(z(t) = -1.855 t^2 + 25t + 200\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la sonde était lancée horizontalement (\(\alpha=0^\circ\)) avec la même vitesse \(v_0=50 \text{ m/s}\), quelle serait la valeur du coefficient de \(t\) dans l'équation de \(z(t)\) (c'est-à-dire la valeur de \(v_{0\text{z}}\))?

Question 2 : Établir l'équation de la trajectoire \(z(x)\).

Principe (le concept physique)

L'équation de la trajectoire est une relation entre les coordonnées de position \(z\) et \(x\) qui ne dépend pas du temps. On l'obtient en exprimant le temps \(t\) à partir de l'équation horaire \(x(t)\), puis en substituant cette expression dans l'équation horaire \(z(t)\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La trajectoire est le chemin géométrique suivi par l'objet. Mathématiquement, c'est une courbe paramétrée par le temps \(t\) : \((x(t), z(t))\). Éliminer le paramètre \(t\) entre ces deux équations nous donne une relation directe \(z(x)\) qui décrit la forme de ce chemin dans le plan \((x,z)\). Cette technique est très courante en physique pour passer d'une vision cinématique (avec le temps) à une vision géométrique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape de substitution est fondamentale. Elle permet de passer d'une description temporelle ("où est l'objet à l'instant t ?") à une description spatiale ("à quelle altitude se trouve l'objet quand il a parcouru une distance x ?"). C'est comme passer d'un film à une photographie de la scène entière.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie, mais d'une technique mathématique standard d'élimination de paramètre pour trouver l'équation cartésienne d'une courbe paramétrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Expression du temps \(t\)

\[ \text{De } x(t) = v_{0\text{x}}t \Rightarrow t = \frac{x}{v_{0\text{x}}} \]

Substitution dans \(z(t)\)

\[ z(x) = z(t(x)) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1, puisque nous utilisons les équations qui en découlent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse initiale horizontale\(v_{0\text{x}}\)43.3m/s
Vitesse initiale verticale\(v_{0\text{z}}\)25m/s
Accélération de la pesanteur\(g_M\)3.71m/s²
Hauteur initiale\(h\)200m
Astuces (Pour aller plus vite)

Observez la forme générale de la trajectoire : \(z(x) = (\tan \alpha) x - \frac{g}{2(v_0 \cos \alpha)^2} x^2 + h\). Cette forme est très utile et peut être apprise par cœur pour gagner du temps lors des concours, à condition de bien savoir la redémontrer.

Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire Parabolique Attendue
xzz(x) = Ax² + Bx + C
Calcul(s) (l'application numérique)

De l'équation horaire \(x(t) = v_{0x}t\), qui est la plus simple, on isole la variable temps \(t\).

\[ x(t) = v_{0\text{x}}t \Rightarrow t = \frac{x}{v_{0\text{x}}} \]

Maintenant, on remplace l'expression de \(t\) que nous venons de trouver dans chaque occurrence de \(t\) de l'équation horaire \(z(t) = -\frac{1}{2}g_M t^2 + v_{0z}t + h\).

\[ z(x) = -\frac{1}{2}g_{\text{M}} \left(\frac{x}{v_{0\text{x}}}\right)^2 + v_{0\text{z}}\left(\frac{x}{v_{0\text{x}}}\right) + h \]

On réorganise les termes pour faire apparaître une forme classique de polynôme du second degré en \(x\), de la forme \(z(x) = Ax^2 + Bx + C\).

\[ z(x) = \left(-\frac{g_{\text{M}}}{2v_{0\text{x}}^2}\right)x^2 + \left(\frac{v_{0\text{z}}}{v_{0\text{x}}}\right)x + h \]
Schéma (Après les calculs)
Graphique de la Trajectoire \(z(x)\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation de la trajectoire est de la forme \(z(x) = Ax^2 + Bx + C\), avec \(A < 0\). Il s'agit de l'équation d'une parabole dont la concavité est tournée vers le bas, ce qui est caractéristique du mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Faites attention à ne pas oublier de mettre au carré le terme \(v_{0\text{x}}\) au dénominateur lors de la substitution. C'est une erreur de calcul fréquente qui modifie complètement la forme de la trajectoire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant le temps \(t\) des équations horaires.
  • La trajectoire d'un projectile en l'absence de frottements est toujours une parabole.
  • Le coefficient du terme en \(x^2\) est directement lié à l'accélération de la pesanteur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

C'est en étudiant le mouvement des boulets de canon que les artilleurs de la Renaissance, comme Tartaglia, ont développé les premières tables balistiques. Galilée fut le premier à démontrer théoriquement que la trajectoire idéale était une parabole, en combinant un mouvement horizontal uniforme et un mouvement vertical uniformément accéléré.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette équation de trajectoire est-elle toujours valable sur Terre ?

Oui, absolument. Il suffit de remplacer la valeur de la pesanteur martienne \(g_{\text{M}}\) (3.71 m/s²) par celle de la Terre, \(g_{\text{T}}\) (environ 9.81 m/s²). La forme de l'équation reste identique. Cependant, sur Terre, les frottements de l'air deviennent rapidement non négligeables pour les grandes vitesses, et la trajectoire réelle (dite "balistique") n'est plus une parabole parfaite.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Application numérique

\[ \begin{aligned} z(x) &= \left(-\frac{3.71}{2 \cdot (43.3)^2}\right)x^2 + \left(\frac{25}{43.3}\right)x + 200 \\ &\approx -0.00099 x^2 + 0.577 x + 200 \end{aligned} \]
$z(x) \approx -0.00099 x^2 + 0.577 x + 200$
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur de la pente de la trajectoire au point de départ (en \(x=0\))? (Indice: c'est la dérivée \(z'(0)\), qui est le coefficient de \(x\)).

Question 3 : Calculer l'altitude maximale atteinte par la sonde (la flèche).

Principe (le concept physique)

L'altitude maximale, ou flèche, est atteinte lorsque la composante verticale de la vitesse, \(v_{\text{z}}(t)\), s'annule. À cet instant précis, la sonde arrête de monter et commence à descendre. On calcule donc cet instant \(t_{\text{flèche}}\) puis on l'utilise pour trouver l'altitude \(z(t_{\text{flèche}})\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le sommet d'une trajectoire parabolique (ou de toute fonction dérivable) correspond à un extremum local. Cet extremum est atteint lorsque la dérivée de la fonction par rapport à sa variable s'annule. Pour l'altitude \(z(t)\), la variable est le temps \(t\), et sa dérivée est la vitesse verticale \(v_{\text{z}}(t)\). La condition \(v_{\text{z}}(t) = 0\) est donc la condition mathématique pour trouver le temps correspondant à l'altitude maximale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez pas la vitesse et l'accélération ! Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale est nulle, mais l'accélération, elle, est toujours égale à \(\vec{g}_{\text{M}}\) (dirigée vers le bas). L'objet ne flotte pas, il est constamment accéléré vers le bas, ce qui lui permet de redescendre.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme ici. Il s'agit d'une application directe des principes de la cinématique et de l'analyse mathématique (recherche d'extremum d'une fonction).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition pour l'altitude maximale

\[ v_{\text{z}}(t_{\text{flèche}}) = -g_{\text{M}} t_{\text{flèche}} + v_{0\text{z}} = 0 \Rightarrow t_{\text{flèche}} = \frac{v_{0\text{z}}}{g_{\text{M}}} \]

Équation de l'altitude maximale

\[ z_{\text{max}} = z(t_{\text{flèche}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses du mouvement parabolique restent valables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse initiale verticale\(v_{0\text{z}}\)25m/s
Accélération de la pesanteur\(g_{\text{M}}\)3.71m/s²
Hauteur initiale\(h\)200m
Astuces (Pour aller plus vite)

Une autre méthode consiste à utiliser l'équation de la trajectoire \(z(x)\). Le sommet de la parabole \(Ax^2+Bx+C\) se trouve à l'abscisse \(x_{\text{S}} = -B/(2A)\). Vous pouvez calculer \(x_{\text{S}}\) puis trouver \(z_{\text{max}} = z(x_{\text{S}})\). C'est souvent plus rapide si vous avez déjà \(z(x)\).

Schéma (Avant les calculs)
Identification de la Flèche
xzv_z = 0z_max
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du temps pour atteindre la flèche

\[ \begin{aligned} t_{\text{flèche}} &= \frac{v_{0\text{z}}}{g_{\text{M}}} \\ &= \frac{25}{3.71} \\ &\approx 6.74 \text{ s} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude maximale

\[ \begin{aligned} z_{\text{max}} &= z(t_{\text{flèche}}) \\ &= -\frac{1}{2}g_{\text{M}} (t_{\text{flèche}})^2 + v_{0\text{z}}(t_{\text{flèche}}) + h \\ &= -\frac{1}{2}(3.71)(6.74)^2 + 25(6.74) + 200 \\ &\approx -84.2 + 168.5 + 200 \\ &\approx 284.3 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Flèche
xz284.3 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 284.3 m est cohérent. Il est bien supérieur à la hauteur de départ de 200 m, ce qui est logique puisque la sonde a été lancée vers le haut. La hauteur gagnée par rapport au point de départ est de 84.3 m.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la flèche (altitude maximale par rapport au sol \(z=0\)) et la hauteur maximale atteinte par rapport au point de lancement. Ici, comme le lancement se fait d'une falaise, il faut bien penser à ajouter la hauteur \(h\) au calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le sommet de la trajectoire est atteint lorsque la composante verticale de la vitesse, \(v_{\text{z}}(t)\), s'annule.
  • Le temps pour atteindre ce sommet ne dépend que de la vitesse verticale initiale et de la gravité.
  • L'altitude maximale est la position \(z\) évaluée à cet instant précis.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les athlètes de saut en hauteur exploitent intuitivement ce principe. Ils doivent donner une impulsion initiale (vitesse verticale) suffisante pour que le sommet de la parabole de leur centre de gravité passe juste au-dessus de la barre. Leur corps s'enroule autour de la barre pour que le centre de gravité, lui, puisse même passer en dessous !

FAQ (pour lever les doutes)
La flèche dépend-elle de l'angle de lancement ?

Oui, absolument. L'angle \(\alpha\) détermine la répartition de la vitesse initiale entre ses composantes horizontale (\(v_{0\text{x}}=v_0\cos\alpha\)) et verticale (\(v_{0\text{z}}=v_0\sin\alpha\)). Comme la flèche dépend directement de \(v_{0\text{z}}\), elle dépend fortement de l'angle. Pour une même vitesse \(v_0\), la flèche est maximale pour un tir vertical (\(\alpha=90^\circ\)).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\(z_{\text{max}} \approx 284.3 \text{ m}\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la gravité sur Mars était deux fois plus forte (\(g_{\text{M}} = 7.42 \text{ m/s²}\)), quelle serait (approximativement) la nouvelle altitude maximale \(z_{\text{max}}\)? (Réponse en m)

Question 4 : Déterminer la durée totale du vol de la sonde.

Principe (le concept physique)

La durée totale du vol correspond au temps \(t_{\text{sol}}\) écoulé entre le lancement (\(t=0\)) et l'instant où la sonde touche le sol, c'est-à-dire lorsque son altitude \(z(t_{\text{sol}})\) devient nulle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Trouver la durée du vol revient à résoudre une équation où l'une des variables cinématiques atteint une valeur seuil (ici, \(z=0\)). Comme l'équation horaire \(z(t)\) est un polynôme du second degré, sa résolution implique de trouver les racines de ce polynôme. En physique, il faut ensuite analyser ces racines mathématiques pour ne conserver que celle(s) qui ont un sens dans le contexte de l'expérience (généralement, un temps positif).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

N'essayez pas de deviner le résultat ! La résolution d'une équation du second degré est une méthode systématique qui garantit de trouver la bonne réponse. Identifiez clairement les coefficients a, b, et c, calculez le discriminant \(\Delta\), puis appliquez la formule des racines.

Normes (la référence réglementaire)

La résolution des équations polynomiales du second degré est une procédure mathématique standard.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule des racines d'un polynôme du second degré

\[ \text{Pour } at^2+bt+c=0, \text{ avec } \Delta = b^2 - 4ac, \text{ on a } t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses du mouvement parabolique sont toujours valables. On suppose que le sol est plat et correspond à l'altitude \(z=0\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient quadratique\(a = -g_M/2\)-1.855m/s²
Coefficient linéaire\(b = v_{0z}\)25m/s
Terme constant\(c = h\)200m
Astuces (Pour aller plus vite)

Si le lancement s'était fait depuis le sol (\(h=0\)), l'équation aurait été \(-1.855t^2+25t=0\). On peut factoriser par \(t\), ce qui donne \(t(-1.855t+25)=0\). Les solutions sont évidentes : \(t=0\) (le départ) et \(t=25/1.855\) (l'arrivée).

Schéma (Avant les calculs)
Graphique de l'Altitude en fonction du Temps
tz(t)t_solh
Calcul(s) (l'application numérique)

Équation à résoudre

\[ -1.855 t^2 + 25 t + 200 = 0 \]

Calcul du discriminant

\[ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (25)^2 - 4(-1.855)(200) \\ &= 625 + 1484 \\ &= 2109 \end{aligned} \]

Calcul de la racine positive (temps de vol)

\[ \begin{aligned} t_{\text{sol}} &= \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \frac{-25 - \sqrt{2109}}{2(-1.855)} \\ &= \frac{-25 - 45.92}{-3.71} \\ &= \frac{-70.92}{-3.71} \\ &\approx 19.12 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point d'Impact sur la Trajectoire
Impact (t=t_sol)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La durée du vol de 19.12 s est significativement plus longue que le temps pour atteindre la flèche (6.74 s). C'est logique, car la sonde doit non seulement redescendre de sa flèche jusqu'à sa hauteur de départ, mais aussi parcourir les 200 m de la falaise.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal identifier les signes des coefficients \(a,b,c\) dans la formule du discriminant, surtout quand \(a\) est négatif. Une autre erreur est de choisir la mauvaise racine (la négative) ou de mal calculer le dénominateur \(2a\). Pour un problème où l'objet finit plus bas que son point de départ, il faut prendre la racine qui donne le temps le plus long.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le temps de vol est déterminé par le mouvement vertical uniquement.
  • Il correspond à la racine positive de l'équation du second degré \(z(t) = 0\).
  • La résolution d'une équation du second degré est un outil mathématique essentiel en cinématique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'atmosphère de Mars est environ 100 fois moins dense que celle de la Terre. C'est pourquoi l'atterrissage des sondes et rovers (comme Perseverance) est un défi majeur : les parachutes sont beaucoup moins efficaces. Ils doivent être complétés par des rétrofusées ou des systèmes complexes comme la "grue volante" (sky crane).

FAQ (pour lever les doutes)
Le temps de vol est-il simplement le double du temps pour atteindre la flèche ?

Non ! Ce n'est vrai que si le point de départ et le point d'arrivée sont à la même altitude (par exemple, un tir depuis le sol avec \(h=0\)). Comme la sonde est lancée d'une falaise, le temps de descente est plus long que le temps de montée, car elle a une distance verticale plus grande à parcourir vers le bas.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La durée totale du vol de la sonde est d'environ \(19.12\) secondes.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la falaise était deux fois plus haute (\(h=400 \text{ m}\)), quelle serait approximativement la nouvelle durée de vol ? (Réponse en s)

Question 5 : Calculer la portée et le vecteur vitesse à l'impact.

Principe (le concept physique)

La portée est la distance horizontale maximale \(x\) parcourue. Comme le mouvement horizontal se fait à vitesse constante, il suffit de multiplier cette vitesse par la durée totale du vol. Le vecteur vitesse final est simplement le vecteur \(\vec{v}(t)\) évalué à l'instant de l'impact, \(t=t_{\text{sol}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette question illustre parfaitement la décorrélation des mouvements horizontal et vertical. La durée du vol est entièrement dictée par le mouvement vertical (temps pour que \(z\) revienne à 0). Une fois ce temps connu, on l'"injecte" dans le mouvement horizontal, qui est indépendant, pour trouver la distance parcourue pendant cette durée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Rappelez-vous que la vitesse est un vecteur. Donner la vitesse finale implique de donner ses deux composantes, \(v_{f\text{x}}\) et \(v_{f\text{z}}\). Ne donnez pas seulement sa norme (le "speed") si on vous demande le vecteur vitesse.

Normes (la référence réglementaire)

Il s'agit d'une application directe des définitions de la cinématique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la portée

\[ R = x(t_{\text{sol}}) = v_{0\text{x}} \cdot t_{\text{sol}} \]

Formule du vecteur vitesse

\[ \vec{v}_{\text{f}} = \vec{v}(t_{\text{sol}}) = \begin{pmatrix} v_{\text{x}}(t_{\text{sol}}) \\ v_{\text{z}}(t_{\text{sol}}) \end{pmatrix} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses restent inchangées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse initiale horizontale\(v_{0\text{x}}\)43.3m/s
Durée totale du vol\(t_{\text{sol}}\)19.12s
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour vérifier la cohérence de votre vitesse finale, calculez sa norme : \(\|\vec{v}_{\text{f}}\| = \sqrt{v_{f\text{x}}^2 + v_{f\text{z}}^2}\). En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve. Vous devriez donc avoir \(\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{f}}^2\), ce qui implique \(v_{\text{f}} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}\). C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs !

Schéma (Avant les calculs)
Identification de la Portée et de la Vitesse Finale
v_fPortée (R)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la portée (R)

\[ \begin{aligned} R &= x(t_{\text{sol}}) \\ &= v_{0\text{x}} \cdot t_{\text{sol}} \\ &= 43.3 \cdot 19.12 \\ &\approx 827.8 \text{ m} \end{aligned} \]

Expression du vecteur vitesse final

\[ \begin{aligned} \vec{v}_{\text{f}} &= \vec{v}(t_{\text{sol}}) \\ &= \begin{pmatrix} v_{0\text{x}} \\ -g_{\text{M}} t_{\text{sol}} + v_{0\text{z}} \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Calcul des composantes du vecteur vitesse final

\[ \begin{aligned} \vec{v}_{\text{f}} &= \begin{pmatrix} 43.3 \\ -3.71 \cdot 19.12 + 25 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 43.3 \\ -70.94 + 25 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 43.3 \\ -45.94 \end{pmatrix} \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vitesse à l'Impact
x (sol)Impactv_fv_fxv_fz
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le vecteur vitesse final a une composante horizontale inchangée (logique, car il n'y a pas de force horizontale) et une composante verticale négative (logique, la sonde tombe). La norme de la vitesse verticale à l'arrivée (45.94 m/s) est supérieure à celle du départ (25 m/s), ce qui est normal car la sonde a chuté d'une hauteur de 200 m.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas d'utiliser la durée totale de vol \(t_{\text{sol}}\) pour ces calculs. Utiliser un autre temps (comme le temps pour atteindre la flèche) est une erreur fréquente. Assurez-vous également de calculer la composante \(v_{\text{z}}\) à l'instant final, elle n'est pas simplement l'opposé de la vitesse initiale \(v_{0\text{z}}\) car \(h \neq 0\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La portée est le produit de la vitesse horizontale constante et de la durée totale du vol.
  • Le vecteur vitesse final a deux composantes qui doivent être calculées à l'instant final \(t_{\text{sol}}\).
  • La composante horizontale de la vitesse est conservée tout au long du mouvement (en l'absence de frottements).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour un lancement depuis le sol (\(h=0\)), la portée maximale est obtenue pour un angle de 45°. Cependant, lorsque le lancement se fait depuis une hauteur \(h > 0\), l'angle optimal pour une portée maximale est toujours inférieur à 45° ! Les artilleurs le savent depuis longtemps : pour tirer loin depuis une colline, il faut viser un peu plus bas.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment calculer l'angle d'impact avec le sol ?

L'angle d'impact \(\beta\) est l'angle que fait le vecteur vitesse final \(\vec{v}_{\text{f}}\) avec l'horizontale. On peut le trouver avec la trigonométrie : \(\tan(\beta) = \frac{|v_{f\text{z}}|}{|v_{f\text{x}}|}\). Dans notre cas, \(\tan(\beta) = \frac{45.94}{43.3}\), ce qui donne un angle d'impact d'environ 46.7° sous l'horizontale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La portée du lancement est d'environ \(R \approx 827.8 \text{ m}\).
Le vecteur vitesse à l'impact est \(\vec{v}_{\text{f}} \approx (43.3\vec{i} - 45.94\vec{k}) \text{ m/s}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la norme (ou module) de la vitesse d'impact \(\|\vec{v}_{\text{f}}\|\). (Réponse en m/s, arrondie à un chiffre après la virgule)

Outil Interactif : Simulateur de Lancement Martien

Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et l'angle de lancement. Le simulateur calcule en temps réel la trajectoire de la sonde, sa portée, sa flèche et la durée du vol, pour une hauteur de falaise fixe de 200 m.

Paramètres d'Entrée
50 m/s
30 °
Résultats Clés
Portée (R) - m
Flèche (z_max) - m
Durée du vol (t_sol) - s

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la forme de la trajectoire d'un projectile soumis uniquement à un champ de pesanteur uniforme ?

2. Au sommet de la trajectoire (la flèche), quelle affirmation est correcte ?

3. En l'absence de frottements, quelle composante du mouvement reste constante ?

4. Si on effectue le même lancement sur la Lune (\(g_{\text{L}} \approx g_{\text{M}}/2\)) au lieu de Mars, comment la portée sera-t-elle affectée ?

5. L'équation de la trajectoire \(z(x)\) dépend-elle de la masse du projectile ?

Glossaire

Champ de pesanteur uniforme
Région de l'espace où le vecteur accélération de la pesanteur \(\vec{g}\) est considéré comme constant en norme, en direction et en sens. C'est une excellente approximation pour des mouvements proches de la surface d'une planète.
Flèche
L'altitude maximale \(z_{\text{max}}\) atteinte par le projectile au cours de sa trajectoire, mesurée depuis un niveau de référence (ici, le sol à \(z=0\)).
Portée
La distance horizontale totale \(R\) parcourue par le projectile entre son point de lancement et son point d'impact final.
Trajectoire
L'ensemble des positions successives occupées par le projectile au cours de son mouvement. C'est la courbe géométrique décrite par l'objet.
Mouvement d'un Projectile sur Mars

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