Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme
Comprendre le Mouvement d'un Projectile
Le mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme (en négligeant la résistance de l'air) est un exemple classique de mouvement à deux dimensions. La seule force agissant sur le projectile après son lancement est son poids, dirigé verticalement vers le bas. En appliquant la deuxième loi de Newton, on peut décomposer le mouvement en une composante horizontale (mouvement rectiligne uniforme) et une composante verticale (mouvement rectiligne uniformément varié).
L'étude de ce mouvement permet de déterminer des caractéristiques importantes comme la trajectoire, la portée maximale, la hauteur maximale atteinte et le temps de vol.
Données de l'étude
- Module de la vitesse initiale (\(v_0\)) : \(50,0 \, \text{m/s}\)
- Angle de lancement (\(\alpha\)) : \(30,0^\circ\) par rapport à l'horizontale
- Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
- On néglige la résistance de l'air.
Schéma : Trajectoire d'un Projectile
Schéma de la trajectoire parabolique d'un projectile lancé avec une vitesse initiale \(v_0\) et un angle \(\alpha\).
Questions à traiter
- Déterminer les composantes initiales du vecteur vitesse \(\vec{v}_0\), soit \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\).
- En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les composantes du vecteur accélération \(\vec{a}\) du projectile au cours de son mouvement.
- Établir les équations horaires de la vitesse, \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\).
- Établir les équations horaires de la position, \(x(t)\) et \(y(t)\), en considérant que le projectile part de l'origine O(0,0) à \(t=0\).
- Déterminer l'instant \(t_S\) où le projectile atteint le sommet de sa trajectoire. Quelle est la caractéristique de la composante verticale de la vitesse à cet instant ?
- Calculer la hauteur maximale \(H = y(t_S)\) atteinte par le projectile.
- Déterminer l'instant \(t_F\) où le projectile retombe au sol (temps de vol).
- Calculer la portée \(R = x(t_F)\) du projectile.
Correction : Mouvement d’un Projectile
Question 1 : Composantes initiales du vecteur vitesse \(\vec{v}_0\)
Principe :
Le vecteur vitesse initiale \(\vec{v}_0\) fait un angle \(\alpha\) avec l'horizontale (axe Ox). Ses composantes \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\) sont obtenues par projection trigonométrique.
Formules :
Données spécifiques :
- \(v_0 = 50,0 \, \text{m/s}\)
- \(\alpha = 30,0^\circ\)
- \(\cos(30^\circ) \approx 0,866\) ; \(\sin(30^\circ) = 0,500\)
Calculs :
Question 2 : Composantes du vecteur accélération \(\vec{a}\)
Principe :
En négligeant la résistance de l'air, la seule force agissant sur le projectile est son poids \(\vec{P} = m\vec{g}\). D'après la deuxième loi de Newton, \(\Sigma \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\), donc \(m\vec{g} = m\vec{a}\), ce qui implique \(\vec{a} = \vec{g}\).
Détermination :
Le vecteur accélération de la pesanteur \(\vec{g}\) est vertical et dirigé vers le bas. Dans le repère (Ox horizontal, Oy vertical vers le haut) :
Donc :
Question 3 : Équations horaires de la vitesse \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\)
Principe :
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps (\(\vec{a} = d\vec{v}/dt\)). On intègre donc les composantes de l'accélération pour obtenir celles de la vitesse, en utilisant les conditions initiales de vitesse.
Intégration :
\(a_x = dv_x/dt = 0 \Rightarrow v_x(t) = \text{constante}\). À \(t=0\), \(v_x(0) = v_{0x}\). Donc :
\(a_y = dv_y/dt = -g \Rightarrow v_y(t) = -gt + \text{constante}\). À \(t=0\), \(v_y(0) = v_{0y}\). Donc la constante est \(v_{0y}\).
Données :
- \(v_{0x} \approx 43,3 \, \text{m/s}\)
- \(v_{0y} = 25,0 \, \text{m/s}\)
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
Équations :
Question 4 : Équations horaires de la position \(x(t)\) et \(y(t)\)
Principe :
La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps (\(\vec{v} = d\vec{r}/dt\)). On intègre les composantes de la vitesse pour obtenir celles de la position, en utilisant les conditions initiales de position (O(0,0) à \(t=0\)).
Intégration :
\(v_x = dx/dt = v_{0x} \Rightarrow x(t) = v_{0x} t + \text{constante}\). À \(t=0\), \(x(0) = 0\). Donc la constante est 0.
\(v_y = dy/dt = v_{0y} - gt \Rightarrow y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 + \text{constante}\). À \(t=0\), \(y(0) = 0\). Donc la constante est 0.
Équations :
(avec \(x, y\) en m et \(t\) en s)
Question 5 : Instant \(t_S\) du sommet de la trajectoire
Principe :
Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse \(v_y(t_S)\) s'annule (le projectile cesse de monter avant de redescendre).
Calcul :
On pose \(v_y(t_S) = 0\) :
(Arrondi à \(2,55 \, \text{s}\))
Question 6 : Hauteur maximale \(H\)
Principe :
La hauteur maximale \(H\) est la valeur de \(y(t)\) à l'instant \(t_S\) où le projectile atteint le sommet.
Formule(s) utilisée(s) :
Ou en substituant \(t_S = v_{0y}/g\) : \(H = \frac{v_{0y}^2}{2g}\).
Calcul (en utilisant \(t_S \approx 2,548 \, \text{s}\)) :
(En utilisant \(H = v_{0y}^2 / (2g) = (25,0)^2 / (2 \times 9,81) = 625 / 19,62 \approx 31,855 \, \text{m}\). Les petites différences sont dues aux arrondis).
Question 7 : Temps de vol (\(t_F\))
Principe :
Le projectile retombe au sol lorsque son altitude \(y(t_F)\) est nulle. On résout l'équation \(y(t_F) = 0\).
Équation à résoudre :
Cette équation a deux solutions :
La deuxième solution correspond au temps de vol total.
Calcul :
(Arrondi à \(5,10 \, \text{s}\). On note que \(t_F = 2 \times t_S\), ce qui est attendu pour un lancement depuis le sol et une retombée au sol en l'absence de frottements).
Question 8 : Portée (\(R\)) du projectile
Principe :
La portée \(R\) est la distance horizontale parcourue par le projectile pendant le temps de vol \(t_F\). C'est la valeur de \(x(t_F)\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_{0x} \approx 43,3 \, \text{m/s}\)
- \(t_F \approx 5,0968 \, \text{s}\) (valeur non arrondie pour plus de précision)
Calcul :
(Arrondi à \(221 \, \text{m}\) avec 3 chiffres significatifs).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
9. Dans un mouvement de projectile (sans frottement de l'air), l'accélération horizontale est :
10. Au sommet de la trajectoire d'un projectile :
11. La portée d'un projectile lancé depuis le sol est maximale pour un angle de lancement (en l'absence de frottement de l'air) de :
Glossaire
- Projectile
- Objet lancé dans l'espace et soumis uniquement à la force de pesanteur (et éventuellement à la résistance de l'air, négligée ici).
- Trajectoire
- Chemin suivi par le projectile au cours de son mouvement. En l'absence de frottement de l'air, elle est parabolique.
- Vitesse Initiale (\(\vec{v}_0\))
- Vecteur vitesse du projectile à l'instant du lancement (\(t=0\)).
- Angle de Lancement (\(\alpha\))
- Angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale.
- Champ de Pesanteur Uniforme (\(\vec{g}\))
- Modèle où l'accélération de la pesanteur est considérée comme constante en direction, sens et valeur en tout point de l'espace considéré.
- Équations Horaires du Mouvement
- Équations qui décrivent la position (\(x(t), y(t)\)) et la vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) du projectile en fonction du temps \(t\).
- Sommet de la Trajectoire
- Point le plus élevé atteint par le projectile, où la composante verticale de sa vitesse est nulle.
- Hauteur Maximale (\(H\))
- Altitude maximale atteinte par le projectile par rapport à son point de lancement.
- Temps de Vol (\(t_F\))
- Durée totale pendant laquelle le projectile est en l'air, depuis son lancement jusqu'à ce qu'il retombe au niveau de son point de lancement (ou un autre niveau de référence).
- Portée (\(R\))
- Distance horizontale maximale parcourue par le projectile lorsqu'il retombe au niveau de son point de lancement.
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