Calcul de la masse d’une étoile
Comprendre le Calcul de la masse d’une étoile
Dans le cadre de l’étude des systèmes stellaires, il est crucial de comprendre les masses des étoiles autour desquelles orbitent les planètes. Ces masses peuvent être estimées en utilisant les lois de Kepler et la mécanique newtonienne.
Vous allez calculer la masse d’une étoile à partir des données orbitales d’une planète hypothétique.
Données fournies:
- Période orbitale (\(T\)) de la planète : 2 ans terrestres.
- Distance moyenne (\(r\)) entre la planète et l’étoile : 300 millions de kilomètres (ce qui équivaut à 2 unités astronomiques).
- Constante gravitationnelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\).
Question:
Calculez la masse de l’étoile en utilisant les informations fournies. Assurez-vous de convertir toutes les unités en unités du système international avant de faire vos calculs.
– Conversions:
- Conversion de la période orbitale en secondes (1 année terrestre = 365.25 jours, 1 jour = 86400 secondes).
- Conversion de la distance en mètres (1 unité astronomique = \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\))
Correction : Calcul de la masse d’une étoile
1. Conversion des unités
a. Conversion de la période orbitale (T):
Convertir la période orbitale de la planète de années terrestres en secondes pour l’utiliser dans la formule de Kepler.
Formule :
\[ T_{\text{sec}} = T_{\text{ans}} \times 365.25 \times 86400 \]
Données :
- \(T = 2 \text{ ans}\)
Calcul :
\[ T_{\text{sec}} = 2 \times 365.25 \times 86400 \] \[ T_{\text{sec}} = 63,072,000 \text{ secondes} \]
b. Conversion de la distance moyenne (r)
Convertir la distance de l’unité astronomique en mètres.
Formule :
\[ r_{\text{m}} = r_{\text{UA}} \times 1.496 \times 10^{11} \]
Données :
- \(r = 2 \text{ UA}\)
Calcul :
\[ r_{\text{m}} = 2 \times 1.496 \times 10^{11} \] \[ r_{\text{m}} = 2.992 \times 10^{11} \text{ m} \]
2. Application de la troisième loi de Kepler
Utiliser la troisième loi de Kepler pour calculer la masse de l’étoile, en substituant les valeurs converties.
Formule :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M} \]
Données :
- \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2}\)
Réarrangement pour M :
\[ M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \]
Calcul :
\[ M = \frac{4\pi^2 \times (2.992 \times 10^{11})^3}{6.674 \times 10^{-11} \times (63,072,000)^2} \] \[ M \approx 3.977 \times 10^{30} \text{ kg} \]
Conclusion :
La masse de l’étoile, basée sur les calculs ci-dessus et en utilisant la troisième loi de Kepler, est approximativement \(3.977 \times 10^{30}\) kilogrammes, ce qui est typique pour une étoile de la taille de notre Soleil (masse solaire approximative).
Calcul de la masse d’une étoile
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