Période d'un Pendule Pesant
Contexte : Le pendule pesantSystème oscillant constitué d'une masse suspendue à un fil inextensible, se déplaçant sous l'effet de la pesanteur. C'est un modèle fondamental en physique pour étudier les oscillations..
Le pendule pesant est l'un des objets d'étude les plus classiques en mécanique. De Galilée à Foucault, il a permis des avancées majeures dans notre compréhension du temps et du mouvement. Cet exercice a pour but d'étudier les facteurs qui influencent sa période d'oscillation, c'est-à-dire le temps qu'il met pour effectuer un aller-retour complet.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer un modèle mathématique simple pour décrire un phénomène physique. Vous verrez comment isoler les variables pertinentes et comment l'environnement (comme la planète où l'on se trouve !) peut modifier le comportement d'un système.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre les paramètres qui influencent la période d'un pendule pesant.
- Appliquer la formule de la période pour les petites oscillations (isochronisme des petites oscillations).
- Analyser l'influence de la longueur du fil et de l'accélération de la pesanteur.
- Savoir manipuler la formule pour isoler une inconnue.
Données de l'étude
Schéma du pendule pesant
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil | \(L\) | 1,00 | \(\text{m}\) |
| Masse de la bille | \(m\) | 200 | \(\text{g}\) |
| Accélération de la pesanteur terrestre | \(g\) | 9,81 | \(\text{m} \cdot \text{s}^{-2}\) |
Questions à traiter
- Quelle est l'expression de la période propre \(T_{\text{0}}\) d'un pendule pesant dans l'approximation des petites oscillations ?
- Calculer la valeur de la période \(T_{\text{0}}\) du pendule étudié sur Terre.
- Quelle serait la nouvelle période si l'on doublait la masse \(m\) de la bille (en gardant la même longueur) ? Justifier.
- On souhaite maintenant construire une horloge dont le pendule bat la seconde (c'est-à-dire que sa période est de 2,00 s). Quelle devrait être la longueur \(L'\) du fil ?
- On transporte le pendule initial (\(L=1,00 \text{ m}\)) sur la Lune, où l'accélération de la pesanteur vaut \(g_{\text{L}} \approx 1,62 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}\). Calculer sa nouvelle période d'oscillation \(T_{\text{L}}\).
Les bases sur le Pendule Pesant
Un pendule pesant est un système mécanique qui oscille dans un plan vertical sous l'effet de la pesanteur. Son mouvement est périodique.
1. Équation du mouvement et approximation
L'étude dynamique du pendule mène à une équation différentielle non linéaire. Cependant, pour des angles d'oscillation faibles (typiquement \(\theta < 15°\)), on peut faire l'approximation \(\sin(\theta) \approx \theta\) (avec \(\theta\) en radians). L'équation devient alors celle d'un oscillateur harmonique.
2. Période propre des petites oscillations
Dans le cadre de cette approximation, la période des oscillations, appelée période propre \(T_{\text{0}}\), ne dépend que de la longueur du fil et de l'accélération de la pesanteur. C'est le principe de l'isochronisme des petites oscillations découvert par Galilée. La formule est :
\[ T_{\text{0}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
Correction : Période d'un Pendule Pesant
Question 1 : Expression de la période propre \(T_{\text{0}}\)
Principe
Le concept physique est celui de l'oscillation harmonique. Pour de petits déplacements, le pendule se comporte comme un oscillateur harmonique simple, dont la période est une caractéristique intrinsèque.
Mini-Cours
La période propre est la période d'oscillation d'un système lorsqu'il est laissé à lui-même, sans force extérieure motrice ni amortissement. Pour le pendule simple, cette période est déterminée par le rapport entre un paramètre d'inertie (la longueur) et un paramètre de "rappel" (la gravité).
Remarque Pédagogique
Cette formule est l'un des résultats les plus importants de la mécanique en terminale. Il est crucial de la connaître par cœur et de savoir d'où elle vient (l'approximation des petits angles).
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie, mais d'une loi fondamentale de la physique classique, découlant de la deuxième loi de Newton appliquée au système dans un cas simplifié.
Formule(s)
L'outil mathématique est la formule de la période propre du pendule simple.
Hypothèses
Le cadre du calcul repose sur des hypothèses simplificatrices essentielles :
- L'angle d'oscillation initial \(\theta_0\) est petit (\(\theta_0 < 15°\)).
- Le fil est inextensible et sa masse est négligeable devant celle de la bille.
- Les frottements (air, point de pivot) sont négligés.
- La masse est considérée comme ponctuelle.
Astuces
Pour mémoriser la formule, pensez à l'analyse dimensionnelle : pour obtenir un temps (T), il faut une racine carrée d'une longueur (L) sur une accélération (L·T⁻²), ce qui donne bien \(\sqrt{L / (L \cdot T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T\).
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de principe du pendule
Réflexions
Cette formule montre que la période est indépendante de la masse et de l'amplitude initiale (tant qu'elle reste faible). C'est une propriété remarquable. Elle dépend uniquement des caractéristiques géométriques du pendule (sa longueur) et de son environnement (le champ de pesanteur).
Schéma (Après les calculs)
Visualisation d'une Période T₀
Points de vigilance
Ne pas oublier le facteur \(2\pi\) et la racine carrée. Une erreur fréquente est d'inverser \(L\) et \(g\) sous la racine.
Points à retenir
La période propre \(T_{\text{0}}\) d'un pendule simple est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur \(L\) et inversement proportionnelle à la racine carrée de l'accélération de la pesanteur \(g\).
Le saviez-vous ?
C'est en observant l'oscillation d'un lustre dans la cathédrale de Pise que le jeune Galilée aurait eu l'intuition, vers 1583, de l'isochronisme des petites oscillations, jetant les bases de la mesure précise du temps.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Sans calcul, si on augmente la longueur L, comment la période \(T_{\text{0}}\) va-t-elle évoluer ?
Question 2 : Calcul de la période \(T_{\text{0}}\) sur Terre
Principe
Le concept est l'application numérique directe d'une loi physique. Il s'agit de passer d'une expression littérale à une valeur chiffrée en utilisant les données fournies.
Mini-Cours
Appliquer une formule de physique consiste à remplacer chaque variable littérale par sa valeur numérique, en s'assurant que toutes les valeurs sont exprimées dans les unités du Système International (mètres, kilogrammes, secondes) pour garantir la cohérence du résultat.
Remarque Pédagogique
Le premier réflexe avant tout calcul doit être de vérifier la cohérence des unités. Ici, la longueur est en mètres et l'accélération en m·s⁻², c'est parfait. Si la longueur avait été donnée en centimètres, il aurait fallu la convertir avant de l'injecter dans la formule.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
On utilise la formule établie à la question précédente.
Hypothèses
On se place implicitement dans le cadre des hypothèses de la question 1 (petites oscillations, etc.).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil | \(L\) | 1,00 | \(\text{m}\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m} \cdot \text{s}^{-2}\) |
Astuces
Pour une estimation rapide, on peut utiliser l'approximation \(g \approx \pi^2 \approx 9,87\). Avec \(L=1 \text{ m}\), la formule devient \(T_{\text{0}} \approx 2\pi \sqrt{1/\pi^2} = 2\pi \times (1/\pi) = 2\) s. Le résultat final doit donc être très proche de 2 secondes.
Schéma (Avant les calculs)
Pendule étudié sur Terre
Calcul(s)
On remplace les variables par leurs valeurs numériques dans la formule et on effectue le calcul par étapes successives.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la période
Réflexions
Un pendule de 1 mètre de long sur Terre a une période d'environ 2 secondes. C'est une échelle de temps très "humaine", ce qui explique pourquoi les horloges à balancier ont été si populaires et intuitives.
Points de vigilance
Attention à bien respecter les chiffres significatifs. Les données \(L\) et \(g\) sont fournies avec 3 chiffres significatifs, le résultat doit donc être arrondi à 3 chiffres significatifs, soit 2,01 s.
Points à retenir
Le calcul de la période d'un pendule de 1m sur Terre donne un résultat emblématique d'environ 2 secondes. C'est un bon ordre de grandeur à mémoriser.
Le saviez-vous ?
En 1851, le physicien Léon Foucault a suspendu un pendule de 67 mètres de long à la voûte du Panthéon à Paris. En observant la lente déviation du plan d'oscillation du pendule, il a apporté la première preuve expérimentale directe de la rotation de la Terre.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la période si la longueur du fil était de \(25 \text{ cm}\) ? (Attention aux unités !)
Question 3 : Influence de la masse
Principe
Cette question conceptuelle teste la compréhension du modèle du pendule simple. L'analyse de la formule littérale permet de conclure sans aucun calcul.
Mini-Cours
L'indépendance de la période par rapport à la masse est une conséquence de l'égalité entre la masse grave (celle qui intervient dans la force de pesanteur \(\vec{P}=m\vec{g}\)) et la masse inerte (celle qui intervient dans le principe fondamental de la dynamique \(\Sigma\vec{F}=m\vec{a}\)). Ce principe d'équivalence est un pilier de la physique.
Remarque Pédagogique
En physique, il est essentiel de ne pas se fier uniquement à son intuition. L'intuition pourrait suggérer qu'un objet plus lourd tombe plus vite ou oscille différemment. Il faut toujours revenir à la formule validée par l'expérience pour raisonner juste.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
On examine à nouveau l'expression de la période.
Hypothèses
Le raisonnement n'est valable que dans le cadre du modèle du pendule simple, où l'on néglige notamment la résistance de l'air, qui, elle, dépendrait de la forme et de la masse de l'objet.
Donnée(s)
| Paramètre | Statut |
|---|---|
| Longueur L | Constante |
| Pesanteur g | Constante |
| Masse m | Variable (on teste son influence) |
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de deux pendules
Raisonnement
La résolution de cette question ne nécessite aucun calcul numérique. Il suffit d'analyser l'expression littérale de la période \(T_{\text{0}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\). On constate que la variable 'masse' (\(m\)) n'apparaît pas dans la formule. Par conséquent, toute variation de la masse n'aura aucune incidence sur la valeur de la période, à condition que les autres paramètres (\(L\) et \(g\)) restent constants.
Schéma (Après les calculs)
Oscillation Synchrone
Réflexions
La variable \(m\) (masse) n'apparaît nulle part dans l'équation de la période. Cela signifie que, dans le cadre de ce modèle, la période est indépendante de la masse de l'objet suspendu.
Points de vigilance
Ne pas confondre le pendule simple avec d'autres oscillateurs où la masse joue un rôle, comme le système masse-ressort dont la période \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) dépend de la masse.
Points à retenir
L'isochronisme des petites oscillations signifie que la période ne dépend ni de l'amplitude (si elle est faible), ni de la masse de l'oscillateur.
Le saviez-vous ?
La légende veut que Galilée ait testé l'influence de la masse sur la chute des corps en lâchant des objets de masses différentes du haut de la Tour de Pise. Bien que l'expérience n'ait probablement jamais eu lieu ainsi, elle illustre parfaitement ce principe contre-intuitif que la masse n'influe pas sur la durée de la chute (en l'absence de frottements).
FAQ
Clarification.
Résultat Final
A vous de jouer
Si on refaisait l'expérience avec un pendule de même longueur mais avec une bille en polystyrène (très légère) et une bille en plomb (très lourde), observerait-on une différence de période ? Pourquoi ?
Question 4 : Calcul de la longueur pour une période donnée
Principe
Il s'agit d'utiliser le modèle physique "à l'envers". Au lieu de prédire le comportement (la période) à partir des caractéristiques (la longueur), on cherche à déterminer les caractéristiques nécessaires pour obtenir un comportement souhaité. C'est une démarche typique de l'ingénieur.
Mini-Cours
La manipulation algébrique des équations est une compétence fondamentale en sciences. Elle permet d'isoler n'importe quelle variable d'une formule pour la calculer en fonction des autres. Les règles de base sont : ce qui est additionné d'un côté est soustrait de l'autre, ce qui multiplie est divisé, et la fonction réciproque de la racine carrée est le carré.
Remarque Pédagogique
Un excellent conseil est de toujours effectuer la manipulation de la formule sous sa forme littérale (avec les lettres) AVANT de remplacer par les valeurs numériques. Cela limite les erreurs de calcul et permet de vérifier la cohérence de la formule finale.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
On part de la formule de la période et on isole la longueur \(L'\).
Formule de départ
Étape 1 : Isoler la racine carrée
Étape 2 : Élever au carré pour supprimer la racine
Étape 3 : Isoler la longueur L'
Hypothèses
On suppose toujours que le pendule ainsi construit oscillera avec de petites amplitudes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Période souhaitée | \(T_{\text{0}}\) | 2,00 | \(\text{s}\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m} \cdot \text{s}^{-2}\) |
Astuces
En utilisant l'approximation \(g \approx \pi^2\), la formule devient \(L' \approx \pi^2 \times (2/(2\pi))^2 = \pi^2 \times (1/\pi)^2 = \pi^2 \times (1/\pi^2) = 1 \text{ m}\). On sait donc que le résultat doit être très proche de 1 mètre.
Schéma (Avant les calculs)
Objectif : pendule battant la seconde
Calcul(s)
On applique la formule inversée avec les valeurs numériques et on procède au calcul.
Schéma (Après les calculs)
Résultat : longueur du pendule
Réflexions
Le résultat est remarquablement proche de 1 mètre. Cette quasi-coïncidence a historiquement été proposée comme base pour une définition universelle du mètre, bien qu'une autre définition ait finalement été adoptée.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante est d'oublier de mettre au carré le dénominateur \(2\pi\) en entier. On doit calculer \((2\pi)^2 = 4\pi^2\) et non \(2\pi^2\).
Points à retenir
Pour trouver un paramètre dans une formule, il faut d'abord l'isoler algébriquement avant de faire l'application numérique. Un pendule "battant la seconde" (\(T=2 \text{ s}\)) a une longueur d'environ 1 mètre sur Terre.
Le saviez-vous ?
Un pendule dont la période est de 2 secondes est appelé "pendule battant la seconde", car chaque demi-période (un seul balancement) dure exactement 1 seconde. C'était la base des horloges à balancier de précision pendant des siècles, inventées par Christiaan Huygens en 1656.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la longueur nécessaire pour avoir une période de \(1,00 \text{ s}\) ?
Question 5 : Période du pendule sur la Lune
Principe
Le concept physique testé ici est l'universalité des lois physiques et la dépendance des phénomènes mécaniques au champ de gravité local. La formule reste la même, mais une des constantes de l'environnement change.
Mini-Cours
L'accélération de la pesanteur \(g\) dépend de la masse de l'astre (\(M\)) et du rayon de l'astre (\(R\)) selon la loi de la gravitation universelle de Newton : \(g = G \cdot M/R^2\). Comme la Lune est beaucoup moins massive et un peu plus petite que la Terre, son '\(g\)' est environ 6 fois plus faible.
Remarque Pédagogique
C'est un excellent exemple de l'importance de bien identifier quels paramètres sont des constantes universelles (comme \(\pi\) ou G) et lesquels sont des constantes contextuelles (comme \(g\), qui change d'un astre à l'autre).
Normes
Non applicable.
Formule(s)
La formule de base reste inchangée.
Hypothèses
On suppose que le pendule est utilisé dans les mêmes conditions de petites oscillations.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil | \(L\) | 1,00 | \(\text{m}\) |
| Accélération de la pesanteur lunaire | \(g_{\text{L}}\) | 1,62 | \(\text{m} \cdot \text{s}^{-2}\) |
Astuces
Avant de calculer, on peut anticiper le résultat. Puisque \(g_{\text{L}} < g_{\text{T}}\), le terme \(1/g_{\text{L}}\) sera plus grand que \(1/g_{\text{T}}\). La période \(T_{\text{L}}\) sera donc nécessairement plus grande que \(T_{\text{T}}\). Cela permet de vérifier la cohérence du résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Terre / Lune
Calcul(s)
On utilise la même formule, mais avec la valeur de \(g\) sur la Lune, puis on effectue le calcul par étapes.
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Périodes (Terre vs Lune)
Réflexions
La période sur la Lune est beaucoup plus longue (près de 5 secondes contre 2 sur Terre). C'est logique : comme la gravité qui "tire" la masse vers sa position d'équilibre est plus faible, le mouvement de va-et-vient est plus lent. Une horloge à balancier conçue pour la Terre retarderait énormément sur la Lune.
Points de vigilance
Ne pas se tromper dans la valeur de \(g\) à utiliser. Bien lire l'énoncé pour identifier le contexte de la question (Terre, Lune, autre planète...).
Points à retenir
La période d'un pendule est inversement proportionnelle à la racine carrée de l'accélération de la pesanteur. Moins il y a de gravité, plus l'oscillation est lente et la période est longue.
Le saviez-vous ?
Lors de la mission Apollo 15, le commandant David Scott a lâché un marteau et une plume en même temps à la surface de la Lune. En l'absence d'atmosphère (et donc de frottement de l'air), les deux objets ont touché le sol lunaire exactement en même temps, prouvant de manière spectaculaire le principe d'équivalence de Galilée.
FAQ
Questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la période du pendule de \(1\text{ m}\) sur Mars, où \(g_{\text{M}} \approx 3,71 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}\).
Outil Interactif : Simulateur de Pendule
Utilisez les curseurs pour faire varier la longueur du fil et l'accélération de la pesanteur, et observez leur influence sur la période d'oscillation.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la longueur d'un pendule, sa période est :
2. Un astronaute emmène une horloge à pendule sur Mars, où la gravité est plus faible que sur Terre. L'horloge va :
3. Laquelle de ces affirmations est correcte pour un pendule simple en petites oscillations ?
4. L'unité de la période dans le Système International est :
5. L'approximation des "petites oscillations" est valable car pour un angle \(\theta\) faible (en radians) :
Glossaire
- Période (\(T_{\text{0}}\))
- Durée nécessaire pour qu'un système oscillant effectue un cycle complet de son mouvement et revienne à son état initial (position et vitesse). Elle se mesure en secondes (s).
- Oscillation
- Mouvement de va-et-vient d'un corps de part et d'autre de sa position d'équilibre stable.
- Accélération de la pesanteur (\(g\))
- Accélération subie par un corps à la surface d'un astre en raison de la gravité. Sur Terre, sa valeur moyenne est d'environ \(9,81 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}\).
- Isochronisme
- Propriété d'un oscillateur dont la période ne dépend pas de l'amplitude de ses oscillations. Pour le pendule, cette propriété n'est approchée que pour les faibles amplitudes.
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