Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique
Calculer le moment d'inertie de différents objets cylindriques (disque plein, cylindre creux) et d'un système composite, et appliquer le théorème des axes parallèles.
Le moment d'inertie (\(I\)) est une grandeur physique qui caractérise la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation autour d'un axe donné. Il dépend de la masse du corps et de la manière dont cette masse est distribuée par rapport à l'axe de rotation.
Formules de moment d'inertie pour des objets homogènes :
- Disque plein (ou cylindre plein) de masse \(M\) et de rayon \(R\), tournant autour de son axe de symétrie central : \(I = \frac{1}{2} M R^2\).
- Cylindre creux (ou anneau ou tube mince) de masse \(M\) et de rayon \(R\), tournant autour de son axe de symétrie central : \(I = M R^2\).
- Cylindre creux épais (ou annulus) de masse \(M\), de rayon interne \(R_1\) et de rayon externe \(R_2\), tournant autour de son axe de symétrie central : \(I = \frac{1}{2} M (R_1^2 + R_2^2)\).
Théorème des axes parallèles (Théorème de Huygens) : Le moment d'inertie \(I\) d'un corps par rapport à un axe quelconque est égal à la somme de son moment d'inertie \(I_{cm}\) par rapport à un axe parallèle passant par son centre de masse, et du produit de sa masse \(M\) par le carré de la distance \(d\) entre les deux axes : \(I = I_{cm} + M d^2\).
Données du Problème
On considère les objets suivants :
Objet 1 : Un disque plein homogène
- Masse du disque : \(M_d = 2.0 \text{ kg}\)
- Rayon du disque : \(R_d = 0.15 \text{ m}\)
Objet 2 : Un cylindre creux (annulus) homogène
- Masse de l'annulus : \(M_a = 1.0 \text{ kg}\)
- Rayon interne de l'annulus : \(R_{int} = 0.05 \text{ m}\)
- Rayon externe de l'annulus : \(R_{ext} = 0.10 \text{ m}\)
Questions
- Calculer le moment d'inertie \(I_d\) du disque plein (Objet 1) par rapport à son axe de symétrie central.
- Calculer le moment d'inertie \(I_a\) de l'annulus (Objet 2) par rapport à son axe de symétrie central.
- Si l'annulus est placé concentriquement sur le disque plein (les deux objets partageant le même axe de rotation central), quel est le moment d'inertie total \(I_{tot}\) du système composite ?
- En utilisant le théorème des axes parallèles, calculer le moment d'inertie \(I_{bord}\) du disque plein (Objet 1) par rapport à un axe parallèle à son axe central, mais passant par son bord (c'est-à-dire à une distance \(d = R_d\) de l'axe central).
Correction : Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique
1. Moment d'Inertie (\(I_d\)) du Disque Plein
Le moment d'inertie d'un disque plein de masse \(M_d\) et de rayon \(R_d\) par rapport à son axe central est \(I_d = \frac{1}{2} M_d R_d^2\).
Données :
- \(M_d = 2.0 \text{ kg}\)
- \(R_d = 0.15 \text{ m}\)
Le moment d'inertie du disque plein est \(I_d = 0.0225 \text{ kg.m}^2\).
2. Moment d'Inertie (\(I_a\)) de l'Annulus
Le moment d'inertie d'un annulus de masse \(M_a\), rayon interne \(R_{int}\) et rayon externe \(R_{ext}\) par rapport à son axe central est \(I_a = \frac{1}{2} M_a (R_{int}^2 + R_{ext}^2)\).
Données :
- \(M_a = 1.0 \text{ kg}\)
- \(R_{int} = 0.05 \text{ m}\)
- \(R_{ext} = 0.10 \text{ m}\)
Le moment d'inertie de l'annulus est \(I_a = 0.00625 \text{ kg.m}^2\).
Quiz Intermédiaire : Formules de Moment d'Inertie
3. Moment d'Inertie Total (\(I_{tot}\)) du Système Composite
Les moments d'inertie par rapport au même axe de rotation s'additionnent simplement : \(I_{tot} = I_d + I_a\).
Données :
- \(I_d = 0.0225 \text{ kg.m}^2\)
- \(I_a = 0.00625 \text{ kg.m}^2\)
Le moment d'inertie total du système composite est \(I_{tot} = 0.02875 \text{ kg.m}^2\).
4. Moment d'Inertie (\(I_{bord}\)) du Disque Plein par Rapport à un Axe au Bord
On utilise le théorème des axes parallèles : \(I = I_{cm} + M d^2\). Ici, \(I_{cm} = I_d\), \(M = M_d\), et la distance \(d\) entre l'axe central et un axe passant par le bord est \(d = R_d\).
Données :
- \(I_d = 0.0225 \text{ kg.m}^2\) (moment d'inertie par rapport au centre de masse)
- \(M_d = 2.0 \text{ kg}\)
- \(R_d = 0.15 \text{ m}\)
Le moment d'inertie du disque plein par rapport à un axe passant par son bord est \(I_{bord} = 0.0675 \text{ kg.m}^2\).
Quiz Intermédiaire : Théorème des Axes Parallèles
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Glossaire des Termes Clés
Moment d'Inertie (\(I\)) :
Grandeur scalaire qui caractérise la résistance d'un corps à la mise en rotation ou à la modification de son état de rotation autour d'un axe. Il est l'analogue de la masse pour la rotation.
Axe de Rotation :
Droite fixe autour de laquelle un corps effectue un mouvement de rotation.
Disque Plein (ou Cylindre Plein) :
Objet cylindrique dont toute la masse est répartie uniformément de l'axe jusqu'à son rayon extérieur.
Annulus (ou Cylindre Creux Épais) :
Objet de forme cylindrique avec un trou central concentrique, où la masse est répartie entre un rayon interne et un rayon externe.
Théorème des Axes Parallèles (Théorème de Huygens) :
Théorème qui permet de calculer le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque, connaissant son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de masse et la distance entre les deux axes.
Centre de Masse (CM) :
Point géométrique d'un corps (ou d'un système de corps) où l'on peut considérer que toute la masse du corps est concentrée pour décrire son mouvement de translation.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la forme d'un objet affecte-t-elle son moment d'inertie, même si sa masse totale est la même ? Donnez des exemples.
2. Si un disque et un anneau de même masse et de même rayon extérieur sont lâchés simultanément du haut d'un plan incliné, lequel arrive en bas en premier (en supposant qu'ils roulent sans glisser) ? Expliquez en termes de moment d'inertie.
3. Le moment d'inertie est-il une grandeur vectorielle ou scalaire ? Justifiez.
4. Comment le concept de moment d'inertie est-il utilisé dans la conception des volants d'inertie dans les moteurs ou d'autres systèmes mécaniques ?
5. Qu'est-ce que le rayon de giration et quel est son lien avec le moment d'inertie ?
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