L'eau salée est plus dense que l'eau douce, on y flotte mieux !
La Poussée d'Archimède et la Flottabilité
📝 Situation du Projet : L'Urgence du Raid Aventure
Dans le cadre de la grande finale départementale du Raid Aventure "Robinson 2024", l'équipe "Les Castors", composée de trois adolescents sportifs, fait face à l'épreuve reine : la traversée du lac. Ils se trouvent sur la rive du Lac de Serre-Ponçon, un vaste plan d'eau douce situé dans les Hautes-Alpes.
Leur objectif est de rejoindre une balise située à 50 mètres de la rive en transportant tout leur équipement de bivouac sans qu'il ne soit mouillé. Ils ne disposent pour cela que de matériaux bruts fournis par l'organisation : des rondins de bois de pin standardisés et des cordages. Le temps est compté : chaque minute passée à concevoir le radeau est une minute perdue sur la course, mais une erreur de calcul entraînant le naufrage est synonyme d'élimination immédiate. La pression est à son comble.
Vous êtes le responsable technique de l'équipe. Votre rôle n'est pas de deviner ou de faire "au pif", mais de garantir la sécurité de vos coéquipiers par la science. Vous devez calculer le nombre minimal exact de rondins (N) nécessaires pour assurer la flottabilité du radeau.
Vous devrez appliquer rigoureusement le Principe d'Archimède pour prouver que votre structure supportera la charge totale (passagers + matériel) sans couler. Une erreur de calcul, et c'est le bain forcé pour toute l'équipe !
- Lieu : Lac de Serre-Ponçon
Environnement : Eau Douce (Paramètre critique pour la densité) - Organisateur : Club "Aventure & Co"
Exigence : Zéro accident, gilets obligatoires. - Ouvrage : Radeau de Fortune
Type : Structure flottante temporaire en bois brut.
"Attention, piège classique ! Ne négligez surtout pas le poids des rondins eux-mêmes ! Ils flottent, certes, mais ils ont une masse qui pèse sur l'ensemble. Un radeau doit se porter lui-même AVANT de porter les passagers. C'est la notion de 'Portance Nette' qui fera la différence."
En ingénierie, on ne peut rien construire de solide sans des données précises et fiables. L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre physique strict dans lequel nous allons opérer. Ces valeurs sont immuables et serviront de base à tous nos calculs.
📚 Référentiel Physique et Normatif
Nous nous appuyons sur deux piliers fondamentaux de la physique :
[Art. 1] ÉQUIPAGE ET CHARGE
Le radeau doit transporter 3 Adolescents + leur Équipement de sécurité complet sans qu'aucun élément ne soit immergé.
[Art. 2] MATÉRIAUX IMPOSÉS
La structure principale sera constituée exclusivement de Bois de Pin (forme cylindrique). Les liaisons sont assurées par des cordages (dont le poids sera négligé).
[Art. 3] SÉCURITÉ ET STABILITÉ
Le radeau doit flotter avec une marge de sécurité suffisante (franc-bord positif) pour affronter le clapotis du lac.
Ces constantes définissent le comportement de la matière dans notre environnement :
| CONSTANTES DE L'ENVIRONNEMENT | |
|
Masse volumique de l'eau douce (\(\rho_{\text{eau}}\))
C'est la densité de référence. 1 m³ d'eau pèse exactement 1 tonne.
|
\( 1000 \, \text{kg}/\text{m}^3 \) |
|
Intensité de la pesanteur (\(g\))
La force d'attraction terrestre moyenne.
|
\( 9,81 \, \text{N}/\text{kg} \) |
| MATÉRIAU DE CONSTRUCTION (BOIS) | |
|
Masse volumique du Pin (\(\rho_{\text{bois}}\))
Le pin est moins dense que l'eau (600 < 1000), c'est pour cela qu'il flotte. C'est cette différence de 400 kg/m³ qui crée la portance.
|
\( 600 \, \text{kg}/\text{m}^3 \) |
📐 Géométrie d'un Rondin
Les rondins fournis sont calibrés industriellement. Ils ont tous exactement les mêmes dimensions, ce qui simplifie nos calculs car nous pourrons considérer le volume d'un rondin type.
- Longueur (\(L\)): 3,0 m. C'est une longueur standard pour assurer la stabilité longitudinale du radeau.
- Rayon (\(R\)): 0,15 m (soit 15 cm). Attention, c'est bien le rayon (la moitié du diamètre) qui est donné ici. Le diamètre total est donc de 30 cm.
- Forme: Cylindre plein. On néglige les irrégularités de l'écorce.
⚖️ Chargement (Données Brutes)
Voici le détail des éléments que le radeau devra soulever. À vous de calculer la charge totale.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse 1 Adolescent | \(m_{\text{ado}}\) | 50 | \(\text{kg}\) |
| Masse Matériel | \(m_{\text{mat}}\) | 50 | \(\text{kg}\) |
| Masse vol. Eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | \(\text{kg}/\text{m}^3\) |
| Masse vol. Bois | \(\rho_{\text{bois}}\) | 600 | \(\text{kg}/\text{m}^3\) |
| Rayon rondin | \(R\) | 0,15 | \(\text{m}\) |
| Longueur rondin | \(L\) | 3,0 | \(\text{m}\) |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer le nombre de rondins, nous allons suivre une démarche rigoureuse basée sur l'équilibre des forces.
[Étape 1 : Masses]
Calculer la masse totale que le radeau doit supporter (passagers + équipement).
[Étape 2 : Unitaire]
Calculer le volume et la masse d'un seul rondin de bois.
[Étape 3 : Équilibre]
Appliquer le principe d'Archimède : Poids Total = Poussée d'Archimède max.
[Étape 4 : Conclusion]
Déterminer le nombre entier de rondins nécessaires (N) pour assurer la flottaison.
La Poussée d'Archimède et la Flottabilité
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de déterminer la Charge Utile, c'est-à-dire la masse totale "extérieure" qui va venir peser sur la structure flottante. Contrairement aux rondins qui constituent la structure (la charge morte), cette masse représente tout ce que le radeau doit transporter pour remplir sa mission : l'équipage humain et tout le matériel embarqué.
📚 Référentiel
Additivité des massesPour qu'un ouvrage (ici, un radeau) soit sûr, il faut d'abord recenser toutes les forces qui vont s'exercer sur lui vers le bas. Ici, il s'agit de la force de pesanteur (le poids) liée à la masse de l'équipage et du matériel. Si on oublie ne serait-ce qu'un sac à dos ou un passager dans ce calcul, le radeau risque d'être sous-dimensionné et de couler. La masse est une grandeur scalaire additive : cela signifie que pour obtenir la masse d'un ensemble, il suffit d'additionner simplement les masses de chaque composant.
Cette valeur de masse totale servira de donnée d'entrée fondamentale pour tous les calculs d'équilibre suivants.
La masse (m), exprimée en kilogrammes (kg), représente la quantité de matière d'un objet. C'est une valeur invariable, peu importe où l'on se trouve. Le poids (P), exprimé en Newtons (N), est la force d'attraction que la Terre exerce sur cette masse. Ils sont liés par la relation \(P = m \times g\). Dans cet exercice, comme \(g\) est constant, nous pouvons raisonner en équivalence de masse pour simplifier les additions, mais c'est bien le Poids qui s'oppose à la Poussée d'Archimède.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Masse d'un seul adolescent | 50 kg |
| Nombre d'adolescents | 3 |
| Masse globale du Matériel | 50 kg |
Une erreur fréquente est d'oublier de multiplier la masse unitaire par la quantité ! Si un adolescent pèse 50kg, trois adolescents pèsent bien \(3 \times 50\) kg. De plus, ne négligez jamais le "petit matériel" (gilets, pagaies, eau) : 50kg, c'est l'équivalent d'un adolescent supplémentaire !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons au calcul en deux temps : d'abord le groupe humain, puis l'ajout du matériel.
1. Calcul de la masse des passagersPour obtenir la masse totale des humains, nous multiplions la masse d'un seul adolescent par le nombre de personnes présentes.
Sous-total PassagersCela représente la masse de l'équipage seul. Il faut maintenant prendre en compte l'équipement.
2. Calcul de la masse totale (Charge Utile)Nous additionnons la masse de l'équipage calculée précédemment avec la masse du matériel embarqué.
Somme FinaleLa charge utile totale est donc de 200 kg. Concrètement, cela signifie que notre radeau devra générer une force de flottabilité capable de soulever au moins 200 kg (sans compter son propre poids).
Est-ce que 200 kg est réaliste ? Cela correspond au poids d'une grosse moto ou d'un piano droit. Pour un équipage de 3 personnes et du matériel de survie, cet ordre de grandeur est tout à fait cohérent. Si vous aviez trouvé 20 kg (poids d'un chien) ou 2000 kg (poids d'un gros 4x4), il y aurait eu une erreur évidente !
Ne confondez pas la charge utile (ce qu'on porte) et la masse totale en charge (ce qu'on porte + le poids du véhicule). Ici, nous n'avons calculé que la charge utile. Le poids du bois sera ajouté plus tard.
❓ Question Fréquente
Pourquoi compte-t-on 50kg pour le matériel ? N'est-ce pas trop ?
En sécurité nautique, on compte large. Cela inclut : 3 gilets de sauvetage, 3 pagaies, une trousse de secours étanche, des réserves d'eau (lourd !), des cordages de rechange et les vêtements mouillés qui sont plus lourds. Mieux vaut prévoir trop que pas assez.
🎯 Objectif
Maintenant que nous connaissons la charge à porter, nous devons étudier notre "moteur de flottabilité" : le rondin de bois. L'objectif est double :
1. Calculer son Volume (V) : c'est lui qui détermine la force de poussée d'Archimède (plus le volume est grand, plus ça flotte).
2. Calculer sa Masse (m) : car le bois n'est pas en apesanteur ! Il pèse lui aussi sur l'eau et "consomme" une partie de la flottabilité qu'il crée.
📚 Référentiel
Géométrie (Cylindre)Pourquoi utiliser des rondins ? Leur forme cylindrique est naturelle pour du bois et offre un bon rapport volume/surface. Pour savoir si ce bois va flotter, on compare sa masse volumique (\(600\,\text{kg}/\text{m}^3\)) à celle de l'eau (\(1000\,\text{kg}/\text{m}^3\)). Comme \(600 < 1000\), il flottera. Mais de combien ? C'est ce que le calcul précis du volume et de la masse va nous dire.
Ces deux valeurs sont les "caractéristiques techniques" de notre brique de base pour construire le radeau.
Le volume d'un cylindre s'obtient en multipliant l'Aire de sa Base (un disque) par sa Hauteur (ici, la longueur du rondin).
Aire du disque = \(\pi \times \text{Rayon} \times \text{Rayon}\) (\(\pi R^2\)).
Donc Volume = \(\pi R^2 \times L\).
Étape 1 : Données Géométriques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Rayon (R) | 0,15 m (soit 15 cm) |
| Longueur (L) | 3,0 m |
| Masse Volumique Bois (\(\rho\)) | 600 kg/m³ |
C'est le piège classique ! Le rayon est souvent donné en centimètres (ici 15 cm). Or, pour obtenir un volume en mètres cubes (m³), il est impératif de convertir toutes les longueurs en mètres AVANT de calculer. \(15\,\text{cm} = 0,15\,\text{m}\). Si vous utilisez 15, votre résultat sera faux d'un facteur 10 000 !
Étape 2 : Calculs Détaillés
On procède en cascade : le volume d'abord, la masse ensuite.
1. Calcul du Volume d'un rondinOn applique la formule du volume d'un cylindre : \(\pi \times R^2 \times L\). Attention à bien utiliser le rayon en mètres (0,15 m) et non en centimètres.
Application Numérique (Volume)Ce volume de 0,212 m³ correspond à 212 litres. C'est le volume d'eau maximal qu'un rondin peut déplacer.
Pour trouver la masse, on multiplie le volume trouvé par la masse volumique (densité) du bois de pin.
Application Numérique (Masse)Interprétation : Chaque rondin est une pièce très lourde (127 kg, impossible à soulever seul) mais volumineuse (212 Litres). C'est ce grand volume qui lui permettra de déplacer beaucoup d'eau.
127 kg pour un tronc de 3 mètres de long et 30 cm de diamètre, cela semble réaliste. Un tronc d'arbre est très lourd à manipuler sur la plage (il faudra être 3 ou 4 pour le porter), mais il flotte très bien une fois à l'eau.
Attention à ne pas confondre le m³ et le Litre. 1 m³ = 1000 Litres. Un volume de 0,212 m³ correspond bien à 212 Litres d'eau déplacée.
❓ Question Fréquente
Le bois flotte-t-il toujours ?
En général oui, car la plupart des bois (pin, sapin, chêne) ont une masse volumique inférieure à 1000 kg/m³. Cependant, certains bois exotiques très denses (comme l'ébène ou le gaïac) ont une masse volumique supérieure à 1000 kg/m³ et coulent comme des pierres !
🎯 Objectif
C'est le cœur de l'exercice. Nous devons trouver combien de rondins (N) sont nécessaires pour porter tout le monde. Pour cela, nous allons écrire l'équation de l'équilibre physique : le moment précis où le radeau flotte "tout juste", sans couler, mais sans marge.
📚 Référentiel
Loi de Newton / ArchimèdeImaginez un bras de fer vertical. D'un côté, la Gravité tire tout vers le bas : elle tire la Charge Utile (200kg) ET le poids des rondins eux-mêmes. De l'autre côté, la Poussée d'Archimède pousse vers le haut. Pour que le radeau ne coule pas, la Poussée doit être au moins égale au Poids total. La situation "limite" (où le radeau affleure l'eau) correspond au cas où le volume immergé est égal au volume TOTAL des rondins.
Nous allons résoudre cette équation pour trouver l'inconnue N (nombre de rondins).
"Tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du fluide déplacé."
En termes de force : \(F_a = \rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{immergé}} \times g\).
Pour simplifier (puisque le poids \(P = m \times g\)), on peut dire que la "Masse que l'on peut porter" est égale à la "Masse d'eau qu'on déplace".
Étape 1 : Hypothèses & Données
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Rho Eau | 1000 kg/m³ |
| Charge Utile | 200 kg |
| Masse 1 rondin | 127,2 kg |
| Volume 1 rondin | 0,212 m³ |
Plutôt que de manipuler une grosse équation, raisonnez par unité :
Combien un seul rondin peut-il porter DE PLUS que son propre poids ?
Portance Nette = (Masse d'eau déplacée par 1 rondin) - (Masse du rondin lui-même).
C'est cette "marge" qui servira à porter les passagers.
Étape 2 : Calculs Détaillés
Nous allons décomposer le problème en trois calculs successifs pour plus de clarté.
1. Calcul de la masse d'eau déplacée par un rondinNous calculons d'abord la masse d'eau qu'un seul rondin déplacerait s'il était entièrement immergé. C'est la force maximale qu'il peut générer vers le haut (en équivalent masse).
Masse d'eau déplacée (Max)Un rondin de 212 litres déplace 212 kg d'eau. La poussée d'Archimède maximale sur un rondin correspond donc à une force capable de soulever 212 kg.
2. Calcul de la Portance Nette d'un rondinCependant, le rondin doit d'abord se porter lui-même avant de porter les passagers. Nous soustrayons sa propre masse de la masse d'eau déplacée pour connaître sa capacité utile.
Capacité Utile (Portance Nette)Chaque rondin "s'annule" lui-même (il porte ses 127 kg) et offre un bonus de 84,8 kg pour porter la charge utile (passagers + matériel).
3. Calcul du nombre de rondins (N)Enfin, pour déterminer le nombre total de rondins nécessaires, nous divisons la charge totale à supporter par la capacité utile d'un seul rondin.
Le calcul indique qu'il faut exactement 2,36 rondins pour compenser la charge. Comme nous ne pouvons pas utiliser de fraction de rondin, ce chiffre sera analysé à l'étape suivante.
Le résultat 2,36 est cohérent. Si on avait trouvé 0,5 rondin, cela aurait signifié que le bois flotte énormément ou que la charge est très légère. Si on avait trouvé 50 rondins, le projet serait irréalisable. Ici, 3 rondins est une taille standard pour un petit radeau.
L'erreur fatale : Oublier le poids du bois !
Si on oublie que le bois pèse son poids, on ferait : \(200 / 212 = 0,94\) rondin. On penserait qu'un seul rondin suffit pour tout le monde. Résultat : Plouf ! Le rondin porterait à peine un nageur.
❓ Question Fréquente
Pourquoi ne pas arrondir à 2 ?
En mathématiques, 2,36 s'arrondit à 2. Mais en ingénierie de sécurité, on arrondit toujours à l'entier supérieur. Avec 2 rondins, la capacité portante est de \(2 \times 84,8 = 169,6\) kg. Or nous devons porter 200 kg. Il manquerait 30 kg de portance, donc le radeau coulerait jusqu'à toucher le fond (ou s'enfoncer sous la surface).
🎯 Objectif
Le calcul théorique nous donne un chiffre minimal (2,36), mais on ne construit pas des demi-rondins. L'objectif est de transformer ce résultat brut en une solution technique réalisable, stable et sûre. Nous devons choisir un nombre entier de rondins et vérifier quelle "marge de sécurité" cela nous donne (c'est-à-dire, à quelle hauteur le radeau sortira de l'eau).
📚 Référentiel
Normes de SécuritéNous savons qu'il faut au moins 3 rondins (N=3). Mais un radeau à 3 rondins est-il stable ? Si tout le monde se met d'un côté, il risque de basculer (forme triangulaire en coupe). De plus, avec 3 rondins, on est proche de la limite (2,36 sur 3, c'est presque saturé). En ingénierie, on cherche souvent la symétrie et la stabilité. Passer à 4 rondins permettrait d'avoir une forme rectangulaire plus stable et une meilleure marge de flottabilité (franc-bord). Nous allons calculer le taux d'immersion pour valider ce choix.
Plus ce taux est bas, plus le radeau flotte "haut" sur l'eau.
En construction navale, le "franc-bord" est la hauteur de la coque au-dessus de l'eau. Pour un radeau, on veut éviter que l'eau passe par-dessus les rondins à la moindre vague. On vise généralement une immersion inférieure à 85-90%.
Étape 1 : Analyse des Options
| Option | Avantages | Inconvénients |
|---|---|---|
| 3 Rondins | Économique, léger. | Instable (étroit), faible marge (trempé). |
| 4 Rondins | Stable, confortable, sûr. | Plus lourd à transporter sur la plage. |
Préférez toujours les nombres pairs pour les radeaux : cela facilite la construction (symétrie par rapport à l'axe central) et assure une meilleure assiette (équilibre horizontal).
Étape 2 : Vérification Technique (Cas N=4)
Calculons précisément comment se comportera le radeau avec 4 rondins.
1. Calcul des nouvelles masses totalesLa charge utile reste 200kg, mais nous devons recalculer la masse du bois car nous utilisons maintenant 4 rondins entiers.
Masse Totale du Radeau ChargéLe radeau complet avec ses passagers pèse donc près de 709 kg.
2. Calcul de la Poussée Maximale PossibleCalculons la force d'Archimède maximale que ces 4 rondins généreraient s'ils étaient entièrement enfoncés sous l'eau.
Capacité Max (Archimède)C'est le poids maximum que le radeau pourrait supporter avant de couler complètement.
3. Calcul du Taux d'ImmersionEnfin, nous faisons le rapport entre la masse réelle et la capacité maximale pour savoir à quel point le radeau s'enfonce.
Ratio d'immersionInterprétation : Les rondins seront immergés à 83,6%. Cela signifie que 16,4% du diamètre du rondin sera hors de l'eau. Comme le diamètre est de 30 cm, cela représente environ 5 cm de bois hors de l'eau. C'est suffisant pour que l'eau ne passe pas constamment par-dessus, assurant un minimum de confort.
Avec 3 rondins, faisons le calcul mentalement : Capacité = 3x212 = 636 kg. Charge totale = (3x127)+200 = 581 kg. Taux = 581/636 = 91%.
Avec 3 rondins, il ne resterait que 9% hors de l'eau (moins de 3 cm). Au moindre mouvement ou clapotis, le radeau serait submergé. Le choix de 4 rondins est donc techniquement justifié par la sécurité.
Le calcul suppose que les rondins restent solidaires. Si les cordages se détendent et que les rondins s'écartent, l'eau passera entre eux et la plateforme (si elle existe) sera mouillée. Il faut utiliser des nœuds de brêlage serrés (nœud plat, cabestan).
❓ Question Fréquente
Peut-on empiler les rondins sur deux étages ?
Techniquement oui, cela augmente la hauteur hors d'eau. Mais cela remonte considérablement le centre de gravité de l'ensemble (surtout avec des passagers dessus). Le radeau deviendrait instable et risquerait de se retourner (chavirer) très facilement. La configuration "à plat" (côte à côte) est toujours la plus stable.
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