Étude du Cycle Thermonucléaire de Bethe

Comprendre les étapes du cycle CNO, calculer le bilan énergétique et la consommation d'hydrogène.

Le cycle Carbone-Azote-Oxygène (CNO), aussi appelé cycle de Bethe, est l'un des deux principaux ensembles de réactions de fusion nucléaire par lesquelles les étoiles convertissent l'hydrogène en hélium. Il est prédominant dans les étoiles plus massives et plus chaudes que le Soleil (typiquement plus de 1.3 fois la masse solaire).

Dans ce cycle, les isotopes du carbone, de l'azote et de l'oxygène agissent comme des catalyseurs : ils sont consommés puis régénérés au cours des différentes étapes. Le résultat net du cycle est la transformation de quatre protons (noyaux d'hydrogène) en un noyau d'hélium-4, avec libération d'énergie.

Les principales étapes du cycle CNO-I sont les suivantes :

\(^{12}_6C + ^1_1H \rightarrow ^{13}_7N + \gamma\)
\(^{13}_7N \rightarrow ^{13}_6C + e^+ + \nu_e\) (Désintégration \(\beta^+\))
\(^{13}_6C + ^1_1H \rightarrow ^{14}_7N + \gamma\)
\(^{14}_7N + ^1_1H \rightarrow ^{15}_8O + \gamma\)
\(^{15}_8O \rightarrow ^{15}_7N + e^+ + \nu_e\) (Désintégration \(\beta^+\))
\(^{15}_7N + ^1_1H \rightarrow ^{12}_6C + ^4_2He\)

Chaque positron (\(e^+\)) émis s'annihile rapidement avec un électron (\(e^-\)) du milieu, produisant deux photons gamma (\(2\gamma\)). Cette énergie d'annihilation contribue au bilan énergétique total.

Données du Problème

On utilisera les masses atomiques et constantes suivantes :

Masse d'un proton (\(m_p\) ou \(m(^{1}_1H)\)) : \(1.007276 \text{ u}\)
Masse d'un noyau d'hélium-4 (\(m_{\alpha}\) ou \(m(^{4}_2He)\)) : \(4.001506 \text{ u}\)
Masse d'un positron (\(m_{e^+}\)) ou d'un électron (\(m_e\)) : \(0.000549 \text{ u}\)
Unité de masse atomique (\(1 \text{ u}\)) : \(1.66054 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
Équivalence masse-énergie pour 1 u : \(931.5 \text{ MeV/c}^2\), donc \(1 \text{ u} \cdot c^2 = 931.5 \text{ MeV}\)
Mégaélectronvolt (\(1 \text{ MeV}\)) : \(1.602 \times 10^{-13} \text{ J}\)
Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Luminosité du Soleil (\(L_\odot\)) : \(3.828 \times 10^{26} \text{ W}\) (Watts, ou J/s)

Schéma simplifié du cycle CNO-I (cycle de Bethe).

Questions

Écrire la réaction nucléaire globale (bilan) pour un cycle CNO-I complet.
Calculer le défaut de masse (\(\Delta m\)) pour un cycle CNO-I complet, en unités de masse atomique (u).
En déduire l'énergie totale \(Q\) libérée par un cycle CNO-I complet, en MeV puis en Joules (J).
L'annihilation de chaque positron (\(e^+\)) avec un électron (\(e^-\)) libère une énergie supplémentaire. Sachant que \(m_{e^+} = m_{e^-}\), calculer l'énergie libérée par l'annihilation des deux positrons produits lors d'un cycle, en MeV.
Calculer l'énergie totale réellement disponible (incluant l'annihilation des positrons) par cycle CNO-I, en MeV. (On négligera l'énergie emportée par les neutrinos qui interagissent très peu avec la matière stellaire).
En supposant que la luminosité du Soleil (\(L_\odot = 3.828 \times 10^{26} \text{ W}\)) est entièrement produite par le cycle CNO (ce qui est une simplification), calculer le nombre de cycles CNO qui devraient se produire chaque seconde.
Calculer la masse d'hydrogène (en kg) consommée chaque seconde par le Soleil dans cette hypothèse.

Correction : Étude du Cycle Thermonucléaire de Bethe

1. Réaction Nucléaire Globale (Bilan) du Cycle CNO-I

Pour obtenir la réaction globale, on additionne toutes les étapes du cycle CNO-I et on simplifie les espèces qui apparaissent des deux côtés (les catalyseurs).

\(^{12}_6C + ^1_1H \rightarrow ^{13}_7N + \gamma\)
\(^{13}_7N \rightarrow ^{13}_6C + e^+ + \nu_e\)
\(^{13}_6C + ^1_1H \rightarrow ^{14}_7N + \gamma\)
\(^{14}_7N + ^1_1H \rightarrow ^{15}_8O + \gamma\)
\(^{15}_8O \rightarrow ^{15}_7N + e^+ + \nu_e\)
\(^{15}_7N + ^1_1H \rightarrow ^{12}_6C + ^4_2He\)

Les noyaux \(^{12}_6C\), \(^{13}_7N\), \(^{13}_6C\), \(^{14}_7N\), \(^{15}_8O\), et \(^{15}_7N\) sont des intermédiaires catalytiques et sont régénérés ou consommés pour être reformés. En sommant, on voit que :

\(^{12}C\) est consommé en (1) et produit en (6).
\(^{13}N\) est produit en (1) et consommé en (2).
\(^{13}C\) est produit en (2) et consommé en (3).
\(^{14}N\) est produit en (3) et consommé en (4).
\(^{15}O\) est produit en (4) et consommé en (5).
\(^{15}N\) est produit en (5) et consommé en (6).

Il reste : 4 protons (\(^1_1H\)) comme réactifs, et 1 noyau d'hélium-4 (\(^4_2He\)), 2 positrons (\(e^+\)), 2 neutrinos électroniques (\(\nu_e\)), et plusieurs photons gamma (\(\gamma\)) comme produits.

4 \cdot ^1_1H \rightarrow ^4_2He + 2e^+ + 2\nu_e + \text{photons } \gamma

La réaction nucléaire globale est : \(4 \ ^1_1H \rightarrow \ ^4_2He + 2e^+ + 2\nu_e + \text{Énergie}\).

2. Calcul du Défaut de Masse (\(\Delta m\))

Le défaut de masse \(\Delta m\) est la différence entre la somme des masses des réactifs initiaux et la somme des masses des produits finaux (hors énergie). Pour le bilan, les réactifs sont 4 protons, et les produits massifs sont un noyau d'hélium-4 et deux positrons. Les neutrinos ont une masse très faible, souvent négligée dans ce type de calcul au niveau terminale, et les photons gamma n'ont pas de masse au repos. \[ \Delta m = (\text{Masse des réactifs}) - (\text{Masse des produits}) \]

\begin{aligned} \Delta m &= [4 \times m(^1_1H)] - [m(^4_2He) + 2 \times m(e^+)] \\ &= [4 \times 1.007276 \text{ u}] - [4.001506 \text{ u} + 2 \times 0.000549 \text{ u}] \\ &= 4.029104 \text{ u} - [4.001506 \text{ u} + 0.001098 \text{ u}] \\ &= 4.029104 \text{ u} - 4.002604 \text{ u} \\ &= 0.026500 \text{ u} \end{aligned}

Le défaut de masse pour un cycle CNO-I complet est \(\Delta m = 0.026500 \text{ u}\).

3. Énergie \(Q\) Libérée par un Cycle (en MeV puis en Joules)

L'énergie \(Q\) libérée est donnée par la célèbre équation d'Einstein \(E = \Delta m c^2\). Si \(\Delta m\) est exprimé en unités de masse atomique (u), on peut utiliser l'équivalence \(1 \text{ u} \cdot c^2 = 931.5 \text{ MeV}\). Ensuite, nous convertirons les MeV en Joules en utilisant \(1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}\). Cette énergie \(Q\) représente l'énergie libérée par la transformation nucléaire elle-même, avant de considérer l'annihilation des positrons.

Énergie en MeV :

\begin{aligned} Q &= \Delta m \times 931.5 \text{ MeV/u} \\ &= 0.026500 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV/u} \\ &\approx 24.68175 \text{ MeV} \end{aligned}

Énergie en Joules :

\begin{aligned} Q_J &= 24.68175 \text{ MeV} \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV} \\ &\approx 3.9540 \times 10^{-12} \text{ J} \end{aligned}

L'énergie libérée (directement par la réaction nucléaire, hors annihilation) par un cycle CNO-I est \(Q \approx 24.68 \text{ MeV}\), soit environ \(3.954 \times 10^{-12} \text{ J}\).

Quiz Intermédiaire : Défaut de Masse et Énergie

4. Énergie d'Annihilation des Positrons

Chaque positron (\(e^+\)) émis lors du cycle s'annihile avec un électron (\(e^-\)) du milieu stellaire. L'annihilation d'une paire particule-antiparticule (\(e^+ + e^-\)) convertit intégralement leur masse au repos combinée en énergie, généralement sous forme de deux photons gamma. L'énergie libérée par l'annihilation d'une seule paire \(e^+ - e^-\) est \(E_{paire} = (m_{e^+} + m_{e^-})c^2\). Puisque la masse du positron est égale à celle de l'électron (\(m_{e^+} = m_{e^-} = m_e\)), alors \(E_{paire} = 2m_e c^2\). Le cycle CNO-I produit deux positrons.

Énergie d'annihilation pour une paire positron-électron :

\begin{aligned} E_{paire} &= 2 \times m_{e} \times c^2 \\ &= 2 \times (0.000549 \text{ u}) \times 931.5 \text{ MeV/u} \\ &= 2 \times 0.5113335 \text{ MeV} \\ &\approx 1.0227 \text{ MeV} \end{aligned}

Pour les deux positrons produits (donc deux annihilations de paires) dans un cycle CNO :

\begin{aligned} E_{annih\_total} &= 2 \times E_{paire} \\ &\approx 2 \times 1.0227 \text{ MeV} \\ &\approx 2.0454 \text{ MeV} \end{aligned}

L'énergie libérée par l'annihilation des deux positrons est \(E_{annih\_total} \approx 2.045 \text{ MeV}\).

5. Énergie Totale Réellement Disponible par Cycle CNO

L'énergie totale disponible pour l'étoile par cycle CNO-I (en négligeant l'énergie emportée par les neutrinos, qui interagissent très peu) provient de deux contributions principales :

L'énergie \(Q\) libérée directement par les réactions nucléaires transformant 4 protons en un noyau d'hélium et deux positrons. Cette énergie a été calculée en question 3 comme \(Q \approx 24.68 \text{ MeV}\). Elle correspond à la conversion en énergie du défaut de masse \(\Delta m = (4m_p) - (m_{\alpha} + 2m_{e+})\).
L'énergie \(E_{annih\_total}\) libérée lorsque les deux positrons créés s'annihilent chacun avec un électron présent dans le milieu stellaire. Cette énergie a été calculée en question 4 comme \(E_{annih\_total} \approx 2.045 \text{ MeV}\).

L'énergie totale réellement disponible pour l'étoile est donc la somme de ces deux contributions.

\begin{aligned} E_{totale\_disponible} &= Q + E_{annih\_total} \\ &\approx 24.68175 \text{ MeV} + 2.0454 \text{ MeV} \\ &\approx 26.72715 \text{ MeV} \end{aligned}

Cette valeur est cohérente avec l'énergie typiquement citée (environ 26.73 MeV) pour la fusion de quatre protons en un noyau d'hélium-4, lorsque l'énergie des neutrinos est exclue et que l'annihilation des positrons est incluse.

L'énergie totale réellement disponible par cycle CNO-I (hors énergie des neutrinos) est \(E_{totale\_disponible} \approx 26.73 \text{ MeV}\).

6. Nombre de Cycles CNO par Seconde pour la Luminosité Solaire

La luminosité \(L_\odot\) est la puissance totale rayonnée par le Soleil, c'est-à-dire l'énergie totale émise par seconde. Chaque cycle CNO complet libère une énergie \(E_{totale\_disponible}\) qui contribue à cette luminosité (nous avons négligé l'énergie des neutrinos). Pour trouver le nombre de cycles nécessaires par seconde, nous divisons la luminosité totale par l'énergie libérée par un seul cycle (préalablement convertie en Joules).

Énergie disponible par cycle en Joules :

\begin{aligned} E_{totale\_disponible, J} &= 26.72715 \text{ MeV} \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV} \\ &\approx 4.28169 \times 10^{-12} \text{ J} \end{aligned}

Nombre de cycles par seconde :

\begin{aligned} N_{cycles/s} &= \frac{L_\odot}{E_{totale\_disponible, J}} \\ &= \frac{3.828 \times 10^{26} \text{ J/s}}{4.28169 \times 10^{-12} \text{ J/cycle}} \\ &\approx 8.9404 \times 10^{37} \text{ cycles/s} \end{aligned}

Il faudrait environ \(8.94 \times 10^{37}\) cycles CNO par seconde pour produire la luminosité du Soleil.

7. Masse d'Hydrogène Consommée par Seconde

Chaque cycle CNO-I complet consomme 4 protons (c'est-à-dire 4 noyaux d'hydrogène \(^1_1H\)). Nous connaissons la masse d'un proton (\(m_p\)). La masse d'hydrogène consommée par cycle est donc \(4 \times m_p\). Pour trouver la masse totale d'hydrogène consommée par seconde, nous multiplions le nombre de cycles par seconde (calculé à la question précédente) par la masse d'hydrogène consommée par cycle. Finalement, nous convertirons cette masse d'unités de masse atomique (u) en kilogrammes (kg).

Masse d'hydrogène consommée par cycle en u :

\begin{aligned} m_{H\_par\_cycle} &= 4 \times m_p \\ &= 4 \times 1.007276 \text{ u} \\ &= 4.029104 \text{ u} \end{aligned}

Masse d'hydrogène consommée par seconde en u :

\begin{aligned} M_{H\_consommée/s, u} &= N_{cycles/s} \times m_{H\_par\_cycle} \\ &\approx (8.9404 \times 10^{37} \text{ cycles/s}) \times (4.029104 \text{ u/cycle}) \\ &\approx 3.6022 \times 10^{38} \text{ u/s} \end{aligned}

Conversion en kg/s (avec \(1 \text{ u} = 1.66054 \times 10^{-27} \text{ kg}\)) :

\begin{aligned} M_{H\_consommée/s, kg} &= (3.6022 \times 10^{38} \text{ u/s}) \times (1.66054 \times 10^{-27} \text{ kg/u}) \\ &\approx 5.9816 \times 10^{11} \text{ kg/s} \end{aligned}

Cela représente environ 598 millions de tonnes d'hydrogène par seconde.

La masse d'hydrogène consommée par seconde serait d'environ \(5.98 \times 10^{11} \text{ kg/s}\).

Glossaire des Termes Clés

Cycle CNO (Carbone-Azote-Oxygène) / Cycle de Bethe :

Série de réactions de fusion nucléaire qui se produisent dans les étoiles massives, convertissant l'hydrogène en hélium avec le carbone, l'azote et l'oxygène comme catalyseurs.

Fusion Nucléaire :

Processus au cours duquel plusieurs noyaux atomiques légers s'assemblent pour former un noyau plus lourd, libérant ou absorbant de l'énergie.

Catalyseur :

Substance qui augmente la vitesse d'une réaction chimique ou nucléaire sans être consommée dans le processus global.

Proton (\(^1_1H\) ou \(p^+\)) :

Particule subatomique avec une charge électrique positive, constituant du noyau atomique. C'est le noyau de l'atome d'hydrogène le plus courant.

Noyau d'Hélium-4 (\(^4_2He\) ou particule \(\alpha\)) :

Noyau atomique composé de deux protons et deux neutrons.

Positron (\(e^+\) ou \(\beta^+\)) :

Antiparticule de l'électron, ayant la même masse mais une charge électrique positive.

Neutrino (\(\nu_e\)) :

Particule élémentaire de masse très faible, électriquement neutre, qui interagit très faiblement avec la matière.

Photon Gamma (\(\gamma\)) :

Particule de rayonnement électromagnétique de haute énergie, sans masse ni charge.

Défaut de Masse (\(\Delta m\)) :

Différence entre la somme des masses des nucléons séparés et la masse du noyau qu'ils forment, ou différence entre la masse des réactifs et la masse des produits dans une réaction nucléaire. Cette différence de masse est convertie en énergie (ou vice-versa) selon \(E=\Delta m c^2\).

Unité de Masse Atomique (u) :

Unité de masse utilisée pour exprimer les masses des atomes et des particules subatomiques, définie comme 1/12 de la masse d'un atome de carbone-12.

MeV (Mégaélectronvolt) :

Unité d'énergie couramment utilisée en physique nucléaire. \(1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}\).

Luminosité (stellaire) :

Quantité totale d'énergie rayonnée par une étoile par unité de temps. Unité : Watt (W).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi le cycle CNO nécessite-t-il des températures plus élevées que la chaîne proton-proton pour être efficace ? (Indice : barrière coulombienne des noyaux plus lourds).

2. Quel est le rôle des neutrinos émis lors du cycle CNO ? Pourquoi leur détection est-elle importante pour comprendre les processus nucléaires au cœur des étoiles ?

3. Le cycle CNO produit différents isotopes d'azote et d'oxygène. Comment ces isotopes peuvent-ils être observés et quelle information fournissent-ils sur l'évolution stellaire ?

4. Existe-t-il d'autres cycles de fusion de l'hydrogène en hélium dans les étoiles (par exemple, CNO-II, CNO-III, CNO-IV) ? En quoi diffèrent-ils du cycle CNO-I ?

5. Comment la composition chimique initiale d'une étoile (sa métallicité) influence-t-elle l'efficacité relative du cycle CNO par rapport à la chaîne proton-proton ?

Étude du Cycle Thermonucléaire de Bethe