Électron dans un Champ Électromagnétique

Analyser le mouvement d'un électron soumis à des champs électrique et magnétique, et calculer les forces mises en jeu.

Lorsqu'une particule chargée, comme un électron, se déplace dans une région où règnent un champ électrique \(\vec{E}\) et un champ magnétique \(\vec{B}\), elle est soumise à une force globale appelée force de Lorentz. Cette force est la somme vectorielle de la force électrique \(\vec{F}_e\) et de la force magnétique \(\vec{F}_m\).

La force de Lorentz est donnée par l'expression :

\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Où :

\(q\) est la charge de la particule (pour un électron, \(q = -e\)).
\(\vec{v}\) est le vecteur vitesse de la particule.
\(\vec{E}\) est le vecteur champ électrique.
\(\vec{B}\) est le vecteur champ magnétique.
\(\vec{v} \times \vec{B}\) représente le produit vectoriel entre la vitesse et le champ magnétique.

La force électrique est \(\vec{F}_e = q\vec{E}\) et la force magnétique est \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\).

Données du Problème

Un électron pénètre dans une région de l'espace avec une vitesse initiale \(\vec{v}\). Dans cette région, règnent un champ électrique uniforme \(\vec{E}\) et un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\).

On utilisera un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

Charge de l'électron (\(q\)) : \(-e = -1.60 \times 10^{-19} \text{ C}\)
Masse de l'électron (\(m_e\)) : \(9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
Vecteur vitesse initiale de l'électron (\(\vec{v}\)) : \(2.0 \times 10^6 \vec{i} \text{ m/s}\) (selon l'axe Ox)
Vecteur champ électrique (\(\vec{E}\)) : \(1000 \vec{j} \text{ V/m}\) (selon l'axe Oy)
Vecteur champ magnétique (\(\vec{B}\)) : \(0.50 \vec{k} \text{ T}\) (selon l'axe Oz)

Représentation schématique d'un électron entrant dans une région avec un champ électrique \(\vec{E}\) et un champ magnétique \(\vec{B}\).

Questions

Exprimer vectoriellement la force électrique \(\vec{F}_e\) s'exerçant sur l'électron. Calculer sa norme.
Calculer le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\).
Exprimer vectoriellement la force magnétique \(\vec{F}_m\) s'exerçant sur l'électron. Calculer sa norme.
Représenter sur un schéma (qualitatif, sans souci d'échelle exacte mais en respectant les directions et sens relatifs) les vecteurs \(\vec{v}\), \(\vec{E}\), \(\vec{B}\), \(\vec{F}_e\) et \(\vec{F}_m\) au point où l'électron pénètre dans les champs. (Le schéma ci-dessus peut servir de base).
Exprimer vectoriellement la force de Lorentz totale \(\vec{F}\) s'exerçant sur l'électron. Calculer sa norme.
Quel est le travail \(W(\vec{F}_m)\) de la force magnétique lorsque l'électron se déplace ? Justifier.
Si seul le champ électrique \(\vec{E}\) était présent, quelle serait la nature du mouvement de l'électron (en négligeant la pesanteur) ? Décrire qualitativement sa trajectoire.
Si seul le champ magnétique \(\vec{B}\) était présent et que la vitesse initiale \(\vec{v}\) lui était perpendiculaire (ce qui est le cas ici), quelle serait la nature du mouvement de l'électron ? Calculer le rayon \(R\) de sa trajectoire.

Correction : Électron dans un Champ Électromagnétique

1. Force Électrique \(\vec{F}_e\)

La force électrique \(\vec{F}_e\) subie par une particule de charge \(q\) dans un champ électrique \(\vec{E}\) est donnée par \(\vec{F}_e = q\vec{E}\). L'électron a une charge \(q = -e\). Le champ électrique est \(\vec{E} = 1000 \vec{j} \text{ V/m}\).

Expression vectorielle :

\begin{aligned} \vec{F}_e &= q\vec{E} \\ &= (-1.60 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (1000 \vec{j} \text{ V/m}) \\ &= -1.60 \times 10^{-16} \vec{j} \text{ N} \end{aligned}

La norme de la force électrique est \(||\vec{F}_e|| = |q| \cdot ||\vec{E}||\) :

\begin{aligned} ||\vec{F}_e|| &= |-1.60 \times 10^{-19}| \times 1000 \\ &= 1.60 \times 10^{-19} \times 1000 \\ &= 1.60 \times 10^{-16} \text{ N} \end{aligned}

\(\vec{F}_e = -1.60 \times 10^{-16} \vec{j} \text{ N}\). Sa norme est \(||\vec{F}_e|| = 1.60 \times 10^{-16} \text{ N}\).

2. Calcul du Produit Vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\)

Le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\) est un vecteur perpendiculaire à la fois à \(\vec{v}\) et à \(\vec{B}\). Son sens est donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), et sa norme est \(||\vec{v}|| \cdot ||\vec{B}|| \sin(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\). Ici, \(\vec{v} = 2.0 \times 10^6 \vec{i}\) et \(\vec{B} = 0.50 \vec{k}\). Les vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{k}\) sont orthogonaux, donc \(\theta = 90^\circ\) et \(\sin(90^\circ) = 1\). On utilise les propriétés du produit vectoriel des vecteurs unitaires : \(\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}\).

\begin{aligned} \vec{v} \times \vec{B} &= (2.0 \times 10^6 \vec{i}) \times (0.50 \vec{k}) \\ &= (2.0 \times 10^6 \times 0.50) (\vec{i} \times \vec{k}) \\ &= (1.0 \times 10^6) (-\vec{j}) \\ &= -1.0 \times 10^6 \vec{j} \text{ (unités T} \cdot \text{m/s ou V/m)} \end{aligned}

L'unité du produit vectoriel \(vB\) est Tesla \(\times\) mètre/seconde. On sait que \(F = qvB\), donc \(vB = F/q\). L'unité de \(F/q\) est N/C, qui est aussi l'unité du champ électrique (V/m). Donc, l'unité de \(vB\) est V/m.

\(\vec{v} \times \vec{B} = -1.0 \times 10^6 \vec{j} \text{ V/m}\).

3. Force Magnétique \(\vec{F}_m\)

La force magnétique \(\vec{F}_m\) est donnée par \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\). Nous avons \(q = -1.60 \times 10^{-19} \text{ C}\) et \(\vec{v} \times \vec{B} = -1.0 \times 10^6 \vec{j} \text{ V/m}\).

Expression vectorielle :

\begin{aligned} \vec{F}_m &= q(\vec{v} \times \vec{B}) \\ &= (-1.60 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (-1.0 \times 10^6 \vec{j} \text{ V/m}) \\ &= 1.60 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N} \end{aligned}

La norme de la force magnétique est \(||\vec{F}_m|| = |q| \cdot ||\vec{v} \times \vec{B}||\) :

\begin{aligned} ||\vec{F}_m|| &= |-1.60 \times 10^{-19}| \times |-1.0 \times 10^6| \\ &= 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^6 \\ &= 1.60 \times 10^{-13} \text{ N} \end{aligned}

Alternativement, \(||\vec{F}_m|| = |q| v B \sin(\theta)\). Ici \(\theta = 90^\circ\) car \(\vec{v}\) est selon Ox et \(\vec{B}\) selon Oz.

\begin{aligned} ||\vec{F}_m|| &= |-1.60 \times 10^{-19}| \times (2.0 \times 10^6) \times (0.50) \times \sin(90^\circ) \\ &= (1.60 \times 10^{-19}) \times (2.0 \times 10^6) \times 0.50 \times 1 \\ &= 1.60 \times 10^{-13} \text{ N} \end{aligned}

\(\vec{F}_m = 1.60 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N}\). Sa norme est \(||\vec{F}_m|| = 1.60 \times 10^{-13} \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire : Direction de la Force Magnétique

4. Représentation Schématique des Vecteurs

Le schéma doit illustrer les directions relatives des vecteurs.

\(\vec{v}\) est selon \(+\vec{i}\) (axe Ox).
\(\vec{E}\) est selon \(+\vec{j}\) (axe Oy).
\(\vec{B}\) est selon \(+\vec{k}\) (axe Oz, sortant du plan xy si on dessine x horizontal et y vertical).
\(\vec{F}_e = q\vec{E}\). Puisque \(q < 0\), \(\vec{F}_e\) est opposée à \(\vec{E}\), donc selon \(-\vec{j}\).
\(\vec{v} \times \vec{B}\) : \(\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}\). Donc \(\vec{v} \times \vec{B}\) est selon \(-\vec{j}\).
\(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\). Puisque \(q < 0\) et \(\vec{v} \times \vec{B}\) est selon \(-\vec{j}\), \(\vec{F}_m\) est selon \((-) \times (-\vec{j}) = +\vec{j}\).

Le schéma fourni dans l'énoncé représente ces directions. (Note : dans le schéma initial, Fm était incorrectement orienté, il a été corrigé mentalement ici pour la description).

Les vecteurs sont représentés sur le schéma de l'énoncé (avec \(\vec{F}_e\) vers le bas et \(\vec{F}_m\) vers le haut, si Ox est vers la droite, Oy vers le haut, et Oz sortant).

5. Force de Lorentz Totale \(\vec{F}\)

La force de Lorentz totale est la somme vectorielle de la force électrique et de la force magnétique : \(\vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_m\).

Expression vectorielle :

\begin{aligned} \vec{F} &= \vec{F}_e + \vec{F}_m \\ &= (-1.60 \times 10^{-16} \vec{j} \text{ N}) + (1.60 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N}) \\ &= (-0.0016 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N}) + (1.60 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N}) \\ &= (1.60 - 0.0016) \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N} \\ &= 1.5984 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N} \end{aligned}

La norme de la force de Lorentz est simplement la valeur absolue de sa composante, car elle est dirigée uniquement selon \(\vec{j}\) :

\begin{aligned} ||\vec{F}|| &= |1.5984 \times 10^{-13}| \text{ N} \\ &\approx 1.60 \times 10^{-13} \text{ N} \quad (\text{car } F_e \text{ est négligeable devant } F_m \text{ ici}) \end{aligned}

\(\vec{F} \approx 1.60 \times 10^{-13} \vec{j} \text{ N}\). Sa norme est \(||\vec{F}|| \approx 1.60 \times 10^{-13} \text{ N}\).

6. Travail de la Force Magnétique \(W(\vec{F}_m)\)

Le travail d'une force \(\vec{F}\) lors d'un déplacement élémentaire \(d\vec{l}\) est \(dW = \vec{F} \cdot d\vec{l}\). La force magnétique \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\) est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse \(\vec{v}\) (car le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\) est perpendiculaire à \(\vec{v}\)). Le déplacement élémentaire \(d\vec{l}\) est colinéaire à la vitesse \(\vec{v}\) (\(d\vec{l} = \vec{v} dt\)). Ainsi, \(\vec{F}_m\) est toujours perpendiculaire à \(d\vec{l}\).

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul :

dW(\vec{F}_m) = \vec{F}_m \cdot d\vec{l} = ||\vec{F}_m|| \cdot ||d\vec{l}|| \cos(90^\circ) = 0

Puisque le travail élémentaire est toujours nul, le travail total de la force magnétique sur n'importe quelle trajectoire est nul.

Le travail de la force magnétique \(W(\vec{F}_m)\) est toujours nul, car la force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse (et donc au déplacement) de la particule.

Quiz Intermédiaire : Travail de la Force Magnétique

7. Mouvement sous l'Action Seule du Champ Électrique \(\vec{E}\)

Si seul \(\vec{E} = 1000 \vec{j}\) agit, l'électron subit une force constante \(\vec{F}_e = -1.60 \times 10^{-16} \vec{j} \text{ N}\). D'après la deuxième loi de Newton, \(\vec{F}_e = m_e \vec{a}\), donc l'accélération \(\vec{a} = \vec{F}_e / m_e\) est constante et dirigée selon \(-\vec{j}\). La vitesse initiale est \(\vec{v}_0 = 2.0 \times 10^6 \vec{i}\). Le mouvement est donc celui d'un projectile dans un champ de force uniforme (analogue à un mouvement parabolique sous l'effet de la pesanteur, mais ici la force est électrique).

Le mouvement sera :

Uniforme selon Ox (pas de force selon Ox). \(x(t) = v_0 t\)
Uniformément varié (accéléré ou décéléré) selon Oy. L'accélération est \(a_y = F_{ey}/m_e\). La trajectoire sera une parabole.

Qualitativement, l'électron, initialement dirigé selon Ox, sera dévié vers les y négatifs (car \(\vec{F}_e\) est selon \(-\vec{j}\)). Sa trajectoire sera une courbe parabolique dont la concavité est dirigée vers le bas (selon \(-\vec{j}\)).

Si seul \(\vec{E}\) agit, l'électron aura un mouvement parabolique, dévié dans la direction opposée à \(\vec{E}\) (vers les y négatifs).

8. Mouvement sous l'Action Seule du Champ Magnétique \(\vec{B}\)

Si seul \(\vec{B} = 0.50 \vec{k}\) agit et que \(\vec{v} = 2.0 \times 10^6 \vec{i}\) est perpendiculaire à \(\vec{B}\), l'électron subit la force magnétique \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\). Cette force est toujours perpendiculaire à \(\vec{v}\) et à \(\vec{B}\). Comme elle est toujours perpendiculaire à \(\vec{v}\), elle ne modifie pas la norme de la vitesse (donc l'énergie cinétique est constante), mais seulement sa direction. Une force constante en norme, toujours perpendiculaire à la vitesse, provoque un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à \(\vec{B}\) (ici, le plan (x,y)). La force magnétique joue le rôle de force centripète.

Norme de la force magnétique : \(||\vec{F}_m|| = |q|vB\) (car \(\sin(90^\circ)=1\)).

Force centripète : \(F_c = \frac{m_e v^2}{R}\).

En égalant les deux :

\begin{aligned} |q|vB &= \frac{m_e v^2}{R} \\ R &= \frac{m_e v}{|q|B} \end{aligned}

Calcul du rayon \(R\) :

\begin{aligned} R &= \frac{(9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (2.0 \times 10^6 \text{ m/s})}{(1.60 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (0.50 \text{ T})} \\ &= \frac{18.22 \times 10^{-25}}{0.80 \times 10^{-19}} \\ &= \frac{1.822 \times 10^{-24}}{8.0 \times 10^{-20}} \\ &= 0.22775 \times 10^{-4} \text{ m} \\ &= 2.2775 \times 10^{-5} \text{ m} \\ &\approx 22.8 \text{ µm} \end{aligned}

Si seul \(\vec{B}\) agit (avec \(\vec{v} \perp \vec{B}\)), l'électron aura un mouvement circulaire uniforme dans le plan (x,y). Le rayon de sa trajectoire est \(R \approx 2.28 \times 10^{-5} \text{ m}\) (soit \(22.8 \text{ µm}\)).

Glossaire des Termes Clés

Champ Électrique (\(\vec{E}\)) :

Région de l'espace où une charge électrique est soumise à une force électrique. Unité : Volt par mètre (V/m) ou Newton par Coulomb (N/C).

Champ Magnétique (\(\vec{B}\)) :

Région de l'espace où une charge en mouvement (ou un aimant) est soumise à une force magnétique. Unité : Tesla (T).

Force de Lorentz (\(\vec{F}\)) :

Force totale exercée sur une particule chargée se déplaçant dans un champ électromagnétique. \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\).

Force Électrique (\(\vec{F}_e\)) :

Composante de la force de Lorentz due au champ électrique : \(\vec{F}_e = q\vec{E}\).

Force Magnétique (\(\vec{F}_m\)) :

Composante de la force de Lorentz due au champ magnétique sur une charge en mouvement : \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\).

Électron (\(e^-\)) :

Particule subatomique portant une charge électrique élémentaire négative (\(q = -e \approx -1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)).

Produit Vectoriel (\(\times\)) :

Opération sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel qui produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. Sa direction est donnée par la règle de la main droite.

Travail d'une Force (\(W\)) :

Énergie fournie par une force lorsqu'elle déplace son point d'application. \(dW = \vec{F} \cdot d\vec{l}\). Unité : Joule (J).

Énergie Cinétique (\(E_c\)) :

Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). Unité : Joule (J).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Décrire le mouvement d'un électron qui pénètre dans une région où \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont colinéaires et où la vitesse initiale \(\vec{v}\) est également colinéaire à ces champs.

2. Qu'est-ce qu'un sélecteur de vitesse et comment utilise-t-il des champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) croisés pour ne laisser passer que les particules ayant une certaine vitesse ?

3. Expliquer le principe de fonctionnement d'un spectromètre de masse simple utilisant des champs magnétiques.

4. Si la vitesse de l'électron devient très élevée (proche de la vitesse de la lumière), comment les équations de la force de Lorentz et du mouvement devraient-elles être modifiées (introduction à la relativité restreinte) ?

5. Comment la force de Lorentz est-elle impliquée dans le phénomène des aurores boréales/australes ?

Électron dans un Champ Électromagnétique