Électron dans un Champ Électromagnétique
Contexte : Le Tube Cathodique.
Cet exercice s'inspire du fonctionnement des anciens écrans à tube cathodique. Dans ces dispositifs, un faisceau d'électronsParticule subatomique de charge négative, fondamentale en électricité. est accéléré puis dévié par des champs électriques pour former une image sur un écran phosphorescent. Nous allons étudier la première partie de ce processus : la déviation d'un électron par un champ électrique uniformeRégion de l'espace où la force électrique est constante en direction, sens et intensité. Créé typiquement entre deux plaques de condensateur..
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un classique qui permet d'appliquer la deuxième loi de Newton dans un contexte d'électromagnétisme. Il vous apprendra à établir et résoudre les équations du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la deuxième loi de Newton à une particule chargée.
- Déterminer les équations horaires et la trajectoire d'un électron dans un champ E.
- Calculer la déviation subie par l'électron et analyser les paramètres qui l'influencent.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Charge élémentaire (e) | \( 1,60 \times 10^{-19} \text{ C} \) |
| Masse de l'électron (\(m_{\text{e}}\)) | \( 9,11 \times 10^{-31} \text{ kg} \) |
| Charge de l'électron (q) | \(-e\) |
Schéma du dispositif de déviation
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale de l'électron | \( v_0 \) | \( 2,0 \times 10^7 \) | \( \text{m/s} \) |
| Intensité du champ électrique | E | \( 1,5 \times 10^4 \) | \( \text{V/m} \) |
| Longueur des plaques | L | 5,0 | \( \text{cm} \) |
Questions à traiter
- Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'électron et appliquer la deuxième loi de Newton.
- Établir les équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \) du mouvement de l'électron.
- En déduire l'équation de la trajectoire \( y(x) \). Quelle est la nature de cette trajectoire ?
- Calculer la durée de la traversée des plaques par l'électron.
- Calculer les coordonnées du point de sortie S de l'électron et la valeur de la déviation verticale \( y_{\text{S}} \).
Les bases sur la Dynamique Newtonienne
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser la deuxième loi de Newton, qui est le pilier de la dynamique du point matériel.
1. Deuxième Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique)
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par l'accélération de son centre d'inertie.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
2. Force Électrique
Une particule de charge \( q \) placée dans un champ électrique \( \vec{E} \) subit une force électrique \( \vec{F}_{\text{e}} \) donnée par :
\[ \vec{F}_{\text{e}} = q \cdot \vec{E} \]
Correction : Électron dans un Champ Électromagnétique
Question 1 : Bilan des forces et deuxième loi de Newton
Principe
Le concept physique fondamental ici est que le mouvement d'un objet est déterminé par les forces qui s'exercent sur lui. Pour trouver l'accélération, qui est la clé de la description du mouvement, nous devons d'abord identifier toutes les forces, puis les relier à l'accélération via la loi la plus importante de la mécanique classique.
Mini-Cours
La deuxième loi de Newton, ou Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), stipule que l'accélération \( \vec{a} \) d'un corps de masse \( m \) est proportionnelle à la somme des forces \( \sum \vec{F} \) qui lui sont appliquées. La force électrique \( \vec{F}_{\text{e}} \) est la force subie par une charge \( q \) dans un champ \( \vec{E} \). Son sens dépend du signe de la charge : même sens que \( \vec{E} \) si \( q>0 \), sens opposé si \( q<0 \).
Remarque Pédagogique
La stratégie est toujours la même en dynamique : 1. Définir le système. 2. Choisir un référentiel (ici, le référentiel terrestre supposé galiléen). 3. Faire le bilan des forces extérieures. 4. Appliquer le PFD. Ne sautez jamais une étape !
Normes
En physique fondamentale, nous n'utilisons pas de "normes" au sens de l'ingénierie (comme les Eurocodes). Nos "règles" sont les lois fondamentales de la physique, comme les lois de Newton ou de l'électromagnétisme, qui sont universellement valides dans leur domaine d'application.
Formule(s)
Les deux outils mathématiques essentiels pour cette question sont :
2ème loi de Newton
Force électrique
Hypothèses
L'hypothèse majeure, donnée dans l'énoncé, est de négliger le poids de l'électron. Justifions-le : \( P = m_{\text{e}} g \approx 9 \times 10^{-30} \text{ N} \), tandis que \( F_{\text{e}} = eE \approx 1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \times 10^4 = 2.4 \times 10^{-15} \text{ N} \). La force électrique est environ \( 10^{14} \) fois plus grande que le poids, l'hypothèse est donc excellente.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Expression |
|---|---|---|
| Masse de l'électron | \(m_{\text{e}}\) | \( 9,11 \times 10^{-31} \text{ kg} \) |
| Charge de l'électron | q | \(-e\) |
| Vecteur champ électrique | \(\vec{E}\) | \(-E \vec{j}\) |
Astuces
Le signe de la charge est crucial ! Pour un électron (charge négative), la force électrique est toujours de sens opposé au champ électrique. Visualisez-le : l'électron est attiré par le pôle positif, qui est à l'origine des lignes de champ.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur l'électron
Calcul(s)
Application de la 2ème loi de Newton
Expression de la force électrique
Déduction de l'accélération
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Accélération
Réflexions
Le résultat \( \vec{a} = \frac{eE}{m_{\text{e}}}\vec{j} \) est fondamental. Il montre que l'accélération est purement verticale et constante. L'absence de composante selon \( \vec{i} \) (\( a_x=0 \)) est tout aussi importante : elle signifie que la vitesse horizontale restera constante.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier le signe négatif de la charge de l'électron. Si vous faites cela, votre force sera dirigée vers le bas et toute la trajectoire sera inversée !
Points à retenir
Pour une particule chargée dans un champ E uniforme, si on néglige les autres forces, l'accélération est toujours constante et colinéaire au champ E. Son sens dépend du signe de la charge.
Le saviez-vous ?
C'est en étudiant la déviation de "rayons cathodiques" (des faisceaux d'électrons) dans des champs électriques et magnétiques que J.J. Thomson a découvert l'électron en 1897 et a pu mesurer le rapport e/m de sa charge à sa masse.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'accélération (en \( \text{m/s}^2 \)) d'un proton (charge +e, masse \( 1,67 \times 10^{-27} \text{ kg} \)) dans le même champ ?
Question 2 : Équations horaires du mouvement
Principe
Le concept physique est que la vitesse est la primitive de l'accélération, et la position est la primitive de la vitesse. Mathématiquement, cela se traduit par des intégrations successives par rapport au temps.
Mini-Cours
En cinématique, pour passer de l'accélération \( \vec{a}(t) \) à la vitesse \( \vec{v}(t) \), on intègre : \( \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) dt + \vec{C_1} \). Pour passer de la vitesse à la position \( \vec{OM}(t) \), on intègre à nouveau : \( \vec{OM}(t) = \int \vec{v}(t) dt + \vec{C_2} \). Les vecteurs constants \( \vec{C_1} \) et \( \vec{C_2} \) sont déterminés par les conditions initiales du mouvement (vitesse et position à t=0).
Remarque Pédagogique
Le conseil est de toujours traiter les composantes (x et y) séparément. C'est plus simple et moins source d'erreurs. Projetez vos vecteurs \( \vec{a} \), \( \vec{v} \) et \( \vec{OM} \) sur les axes, puis intégrez chaque composante l'une après l'autre.
Normes
Pas de normes applicables ici. Nous suivons la méthode mathématique standard de la cinématique.
Formule(s)
Les relations mathématiques sont les définitions de la vitesse et de l'accélération :
Qui s'inversent par intégration pour trouver les équations horaires.
Hypothèses
Nous nous plaçons dans le cadre de la mécanique classique, où le temps est absolu et les vitesses sont bien inférieures à celle de la lumière (ici, \( v_0 \approx 7\% \) de c, donc l'approximation est bonne).
Donnée(s)
| Paramètre | Condition à t=0 | Valeur |
|---|---|---|
| Position | \(x(0), y(0)\) | (0, 0) |
| Vitesse | \(v_x(0), v_y(0)\) | (\(v_0\), 0) |
| Accélération | \(a_x, a_y\) | (0, \(eE/m_{\text{e}}\)) |
Astuces
Quand l'accélération est constante, on peut utiliser directement les formules du mouvement uniformément varié : \( y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 + v_{0y} t + y_0 \). C'est plus rapide que de refaire les intégrations, à condition de bien connaître ses formules !
Schéma (Avant les calculs)
Conditions Initiales du Mouvement
Calcul(s)
Intégration de l'accélération pour la vitesse
Avec les conditions initiales de vitesse (\(v_x(0) = v_0, v_y(0) = 0\)), on trouve \( C_1 = v_0 \) et \( C_2 = 0 \).
Intégration de la vitesse pour la position
Avec les conditions initiales de position (\(x(0) = 0, y(0) = 0\)), on trouve \( C_3 = 0 \) et \( C_4 = 0 \).
Schéma (Après les calculs)
Évolution des composantes de la vitesse
Réflexions
Les équations trouvées décrivent une composition de deux mouvements : un mouvement rectiligne uniforme selon l'axe (Ox) et un mouvement rectiligne uniformément accéléré (partant du repos) selon l'axe (Oy). C'est la composition de ces deux mouvements simples qui donne la trajectoire parabolique.
Points de vigilance
Ne jamais oublier les constantes d'intégration ! C'est une erreur très fréquente. C'est à cela que servent les conditions initiales : les déterminer.
Points à retenir
Pour trouver les équations horaires à partir de l'accélération, il faut :
1. Intégrer une première fois pour obtenir la vitesse.
2. Utiliser la vitesse initiale pour trouver la première constante.
3. Intégrer une seconde fois pour obtenir la position.
4. Utiliser la position initiale pour trouver la seconde constante.
Le saviez-vous ?
Le concept d'intégration pour retrouver le mouvement à partir de l'accélération est l'une des inventions majeures d'Isaac Newton et Gottfried Leibniz, qui ont développé le calcul infinitésimal au XVIIe siècle, précisément pour résoudre ce genre de problèmes de physique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelles seraient les coordonnées de l'électron à l'instant t = 1,0 ns ?
Question 3 : Équation et nature de la trajectoire
Principe
La trajectoire est le chemin géométrique suivi par l'objet, indépendamment de la "vitesse" à laquelle il le parcourt. Pour trouver son équation, il faut donc éliminer la variable temps (t) des équations horaires pour ne garder qu'une relation entre les coordonnées d'espace (y en fonction de x).
Mini-Cours
Une équation de trajectoire est une fonction de la forme \( y = f(x) \). La nature de la trajectoire est le nom de la courbe géométrique correspondante (droite, parabole, cercle, etc.). Une fonction de type \( y=ax^2+bx+c \) correspond toujours à une parabole.
Remarque Pédagogique
La méthode est quasi-systématique : l'équation la plus simple (souvent celle du mouvement uniforme, ici x(t)) est utilisée pour exprimer t. On reporte ensuite cette expression de t dans l'autre équation (ici y(t)).
Normes
Pas de normes applicables. C'est une technique mathématique standard.
Formule(s)
Équation horaire en x
Équation horaire en y
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. On continue de travailler dans le cadre défini précédemment.
Donnée(s)
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Équation horaire en x | \(x(t) = v_0 t\) |
| Équation horaire en y | \(y(t) = \frac{eE}{2m_{\text{e}}} t^2\) |
Astuces
Avant de remplacer, regardez bien les équations. Ici, on a \( t \) dans l'une et \( t^2 \) dans l'autre. Il est donc malin d'exprimer \( t \) à partir de (1) et de le mettre au carré avant de l'injecter dans (2).
Schéma (Avant les calculs)
Composition des mouvements
Calcul(s)
Expression du temps
Substitution dans y(t)
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire Parabolique
Réflexions
L'équation est de la forme \( y = kx^2 \). C'est l'équation caractéristique d'une parabole. Ce résultat est analogue à celui de la chute libre d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme, où la trajectoire est aussi parabolique.
Points de vigilance
Attention à bien mettre au carré tous les termes quand vous substituez \( t \). Une erreur fréquente est d'oublier de mettre \( v_0 \) au carré au dénominateur.
Points à retenir
La trajectoire d'une particule dont l'accélération est constante (en vecteur) et dont la vitesse initiale n'est pas colinéaire à cette accélération est toujours une parabole.
Le saviez-vous ?
Les grandes antennes paraboliques de communication ou les radiotélescopes utilisent la propriété géométrique de la parabole : toutes les ondes reçues parallèlement à l'axe de la parabole sont réfléchies vers un unique point appelé le foyer. C'est là que l'on place le capteur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Par quel facteur la "courbure" de la parabole (le coefficient k devant \( x^2 \)) est-elle modifiée si on divise la vitesse initiale par 2 ?
Question 4 : Durée de la traversée
Principe
Le concept physique est que, puisque le mouvement horizontal n'est pas affecté par la force verticale, sa vitesse reste constante. La durée pour parcourir une distance horizontale L est donc simplement cette distance divisée par la vitesse horizontale constante.
Mini-Cours
Pour un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante \( v \)), la relation entre la distance parcourue \( d \), la vitesse \( v \) et la durée \( \Delta t \) est la plus simple de la cinématique : \( d = v \cdot \Delta t \).
Remarque Pédagogique
Ici, le problème est en 2D mais la question ne porte que sur une seule dimension. Il faut avoir le réflexe de n'utiliser que l'équation horaire correspondant à cette dimension, ici \( x(t) \).
Normes
Pas de normes applicables.
Formule(s)
Équation du mouvement horizontal
Hypothèses
On suppose que les plaques ont bien une longueur L finie et que le champ électrique s'arrête brusquement à \( x=L \).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur des plaques | L | 5,0 | cm |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | \(2,0 \times 10^7\) | m/s |
Astuces
Faites toujours une analyse dimensionnelle rapide pour vérifier votre formule. Ici, \( t_S = L/v_0 \). Une longueur [L] divisée par une vitesse [L]/[T] donne bien un temps [T]. La formule est cohérente.
Schéma (Avant les calculs)
Définition de la durée de traversée
Calcul(s)
Expression littérale de la durée
Conversion d'unité pour L
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Durée de traversée calculée
Réflexions
La durée de la traversée est extrêmement courte : 2,5 nanosecondes. C'est cohérent avec la vitesse très élevée de l'électron. On remarque que cette durée ne dépend pas du champ électrique, mais uniquement de la vitesse initiale et de la longueur des plaques.
Points de vigilance
L'erreur classique est la conversion d'unités. Il faut impérativement convertir la longueur L des centimètres en mètres avant de faire le calcul pour être cohérent avec les unités de la vitesse (m/s).
Points à retenir
Dans un mouvement à 2D où l'accélération est purement selon un axe (ici Oy), le mouvement selon l'autre axe (Ox) est indépendant et reste uniforme. La durée du parcours est donc dictée uniquement par la composante de la vitesse sur cet axe.
Le saviez-vous ?
Dans les accélérateurs de particules comme le LHC au CERN, les particules voyagent à des vitesses si proches de celle de la lumière que les effets de la relativité restreinte deviennent prépondérants. Le temps ne s'écoule pas de la même manière pour elles que pour nous ! La formule \( t=d/v \) reste une bonne approximation mais n'est plus exactement juste.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si les plaques mesuraient 10 cm de long, quelle serait la nouvelle durée de traversée en ns ?
Question 5 : Coordonnées du point de sortie S et déviation verticale
Principe
Le point de sortie S est le point de la trajectoire où l'électron quitte la zone du champ électrique. Ses coordonnées sont simplement la position (x, y) de l'électron à l'instant final \( t_{\text{S}} \). La déviation verticale est l'ordonnée \( y_{\text{S}} \) de ce point.
Mini-Cours
Il n'y a pas de nouveau concept théorique ici. Il s'agit d'appliquer les équations établies précédemment (soit les équations horaires, soit l'équation de la trajectoire) pour un point particulier, le point de sortie S, dont on connaît l'abscisse \( x_{\text{S}} = L \) et l'instant de passage \( t_{\text{S}} = L/v_0 \).
Remarque Pédagogique
Vous avez deux chemins pour trouver \( y_{\text{S}} \): soit utiliser \( y(t_{\text{S}}) \), soit utiliser \( y(x_{\text{S}}=L) \). Les deux doivent donner exactement le même résultat. Utiliser l'équation de la trajectoire est souvent plus direct car on a déjà fait la substitution.
Normes
Pas de normes applicables.
Formule(s)
Formule de la déviation verticale
Hypothèses
On continue avec les mêmes hypothèses.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge élémentaire | e | \(1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\) |
| Champ électrique | E | \(1,5 \times 10^4 \text{ V/m}\) |
| Longueur des plaques | L | \(5,0 \times 10^{-2} \text{ m}\) |
| Masse de l'électron | \(m_{\text{e}}\) | \(9,11 \times 10^{-31} \text{ kg}\) |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | \(2,0 \times 10^7 \text{ m/s}\) |
Astuces
Lors du calcul numérique, traitez séparément les puissances de 10 et les autres nombres. C'est une excellente méthode pour éviter les erreurs de calcul avec la calculatrice. Par exemple, regroupez tous les \( 10^k \) et additionnez/soustrayez les exposants.
Schéma (Avant les calculs)
Point de sortie S et déviation yS
Calcul(s)
Expression littérale
Application numérique
Calcul du numérateur
Calcul du dénominateur
Calcul final
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées du point de sortie S
Réflexions
La déviation est de 8,2 mm. C'est une valeur mesurable, ce qui montre que même un champ modeste peut avoir un effet significatif sur une particule aussi légère qu'un électron se déplaçant rapidement. On voit aussi que la déviation est proportionnelle à E et à L², mais inversement proportionnelle à l'énergie cinétique initiale (\( \frac{1}{2}m_{\text{e}} v_0^2 \)).
Points de vigilance
Attention aux carrés ! La longueur L et la vitesse v₀ sont toutes les deux au carré. Oublier l'un de ces carrés est une erreur très courante qui fausse complètement le résultat numérique.
Points à retenir
La déviation verticale d'une particule chargée dans un condensateur plan est :
• Proportionnelle à l'intensité du champ E.
• Proportionnelle au carré de la longueur L.
• Inversement proportionnelle au carré de la vitesse initiale v₀.
Le saviez-vous ?
Dans un oscilloscope analogique, il y a deux paires de plaques de déviation : une pour la déviation verticale (proportionnelle à la tension du signal à mesurer) et une pour la déviation horizontale (qui assure le "balayage" à vitesse constante pour représenter l'axe du temps).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la déviation verticale (en µm) si on utilisait un proton (même vitesse, même charge en valeur absolue) ? Indice : regardez l'influence de la masse.
Outil Interactif : Simulateur de Déviation
Utilisez les curseurs pour faire varier la vitesse initiale de l'électron et l'intensité du champ électrique. Observez comment la déviation verticale finale est affectée. Le graphique montre la trajectoire parabolique pour les paramètres sélectionnés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la direction de la force électrique agissant sur l'électron ?
2. La trajectoire de l'électron dans le champ est :
3. Si on double la valeur du champ électrique E, la déviation verticale \(y_{\text{S}}\) est :
4. Si on double la vitesse initiale \(v_0\), la déviation verticale \(y_{\text{S}}\) est :
5. Le mouvement de l'électron selon l'axe horizontal (Ox) est :
- Champ Électrique Uniforme
- Une région de l'espace où le vecteur champ électrique \( \vec{E} \) est le même en tout point (même direction, même sens, même norme). Il est typiquement créé entre deux plaques conductrices parallèles (condensateur plan).
- Deuxième Loi de Newton
- Aussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique, elle énonce que l'accélération d'un objet est directement proportionnelle à la somme des forces qui lui sont appliquées et inversement proportionnelle à sa masse ( \( \sum \vec{F} = m\vec{a} \) ).
- Équations Horaires
- Ensemble d'équations qui donnent les coordonnées de position (x(t), y(t), z(t)) d'un point mobile en fonction du temps.
- Trajectoire
- La courbe décrite par un objet en mouvement dans l'espace. Son équation mathématique est obtenue en éliminant le temps des équations horaires.
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