Chute Libre Sans Résistance de l’Air
Contexte : La chute libreMouvement d'un corps soumis uniquement à son propre poids. La résistance de l'air est négligée..
L'étude de la chute libre est un pilier fondamental de la mécanique classique, initiée par les travaux révolutionnaires de Galilée. Elle décrit le mouvement d'un objet sous l'unique influence de la gravité. Cet exercice vous guidera dans l'analyse mathématique complète du lancer vertical d'un projectile, de son ascension à sa chute, en établissant et en exploitant ses équations horaires.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la deuxième loi de Newton pour établir les équations du mouvement, puis à les utiliser pour déterminer des grandeurs clés comme la hauteur maximale, le temps de vol ou la vitesse d'impact.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la deuxième loi de Newton dans un cas simple.
- Établir les équations horaires du mouvement (position, vitesse, accélération) par intégrations successives.
- Calculer la hauteur maximale (flèche) et le temps nécessaire pour l'atteindre.
- Déterminer le temps de vol total et la vitesse d'impact au sol.
- Analyser et interpréter les résultats physiques d'un problème de cinématique.
Données de l'étude
Schéma de la situation initiale
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur initiale de lancer | \(h\) | 50 | m |
| Vitesse initiale (ascendante) | \(v_0\) | 20 | m/s |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Déterminer les équations horaires du mouvement de la balle : \(a_z(t)\), \(v_z(t)\) et \(z(t)\).
- Calculer la durée \(t_{\text{peak}}\) nécessaire pour que la balle atteigne sa hauteur maximale.
- En déduire la hauteur maximale \(z_{\text{max}}\) atteinte par la balle (mesurée depuis le sol).
- Calculer la durée totale du vol \(t_{\text{final}}\) jusqu'à ce que la balle touche le sol.
- Déterminer la vitesse finale \(v_{\text{final}}\) de la balle juste avant l'impact avec le sol.
Les bases de la Chute Libre
La chute libre est un modèle où un objet se déplace sous l'unique action de son poids. On y fait l'hypothèse fondamentale que la résistance de l'air et la poussée d'Archimède sont négligeables.
1. Deuxième Loi de Newton
Le point de départ est la deuxième loi de Newton (ou Principe Fondamental de la Dynamique) qui énonce que la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
Dans notre cas, la seule force est le poids \(\vec{P} = m\vec{g}\). L'équation devient donc \(m\vec{a} = m\vec{g}\), ce qui implique \(\vec{a} = \vec{g}\).
2. De l'accélération à la position
Le vecteur vitesseVecteur dont la direction et le sens sont ceux du mouvement, et dont la norme est la vitesse instantanée. C'est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. \(\vec{v}(t)\) est la primitive du vecteur accélération \(\vec{a}(t)\), et le vecteur position \(\vec{OM}(t)\) est la primitive du vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\).
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} \quad \text{et} \quad \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} \]
Pour un mouvement rectiligne, on travaille avec les composantes scalaires sur un axe (ici, \(z\)) et on obtient les équations horaires par intégrations successives en déterminant les constantes grâce aux conditions initiales.
Correction : Chute Libre Sans Résistance de l’Air
Question 1 : Déterminer les équations horaires du mouvement.
Principe (le concept physique)
L'objectif est de trouver les fonctions mathématiques qui décrivent l'accélération, la vitesse et la position (altitude) de la balle à n'importe quel instant \(t\). On part du seul principe physique connu : l'objet n'est soumis qu'à la gravité.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le vecteur accélération de la pesanteur \(\vec{g}\) est constant, vertical et dirigé vers le bas. Dans un repère avec un axe \((Oz)\) vertical orienté vers le haut, sa seule composante non nulle est \(g_z = -g\). Le passage de l'accélération à la vitesse, puis à la position se fait par intégrations successives.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La clé est de toujours partir de l'information physique la plus fondamentale (ici, l'accélération dictée par les forces) et d'utiliser l'outil mathématique de l'intégration pour "remonter le temps" et trouver la vitesse, puis la position.
Normes (la référence réglementaire)
En physique, le cadre est défini par les lois de la mécanique Newtonienne. Pour assurer la cohérence des calculs, toutes les grandeurs doivent être exprimées dans les unités du Système International (mètres, secondes, kilogrammes).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Relation Accélération - Vitesse
Relation Vitesse - Position
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour que notre modèle soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le référentiel terrestre est galiléen.
- La résistance de l'air est négligeable.
- L'accélération de la pesanteur \(g\) est constante en module et en direction.
- La balle est assimilée à un point matériel.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Statut |
|---|---|---|
| Position initiale | \(z(0) = h\) | Condition initiale |
| Vitesse initiale | \(v_z(0) = v_0\) | Condition initiale |
| Accélération | \(a_z = -g\) | Constante du problème |
Astuces (Pour aller plus vite)
Toujours vérifier la cohérence des signes. Si l'axe est orienté vers le haut, toute grandeur vectorielle dirigée vers le bas (comme l'accélération \(\vec{g}\)) doit avoir une composante négative.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation des forces
Calcul(s) (l'application numérique)
Équation de l'accélération
Intégration pour la vitesse
Détermination de la constante \(C_1\)
Équation de la vitesse
Intégration pour la position
Détermination de la constante \(C_2\)
Équation de la position
Schéma (Après les calculs)
Allure des graphes horaires
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons obtenu un modèle mathématique complet du mouvement. L'accélération constante est la signature d'un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA). La vitesse varie linéairement et la position de façon quadratique, ce qui décrit une trajectoire parabolique dans le temps.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier les constantes d'intégration (\(C_1\), \(C_2\)) ou de mal les déterminer à partir des conditions initiales (\(v_0\) et \(h\)). Chaque intégration fait apparaître une nouvelle constante qui a un sens physique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La méthode est toujours la même :
1. \(\vec{a} = \vec{g}\) (PFD).
2. Projeter sur l'axe : \(a_z = -g\).
3. Intégrer une fois pour \(v_z(t)\) et utiliser \(v_0\) pour la constante.
4. Intégrer une seconde fois pour \(z(t)\) et utiliser \(h\) pour la constante.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Galilée fut le premier à établir que, dans le vide, tous les corps tombent avec la même accélération, indépendamment de leur masse. Il aurait (selon la légende) réalisé ses expériences depuis le sommet de la Tour de Pise, infirmant ainsi la théorie d'Aristote qui prévalait depuis près de 2000 ans.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\(a_z(t) = -9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(v_z(t) = -9.81 t + 20 \, \text{m/s}\)
\(z(t) = -4.905 t^2 + 20 t + 50 \, \text{m}\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelles seraient les équations si l'on lançait la balle vers le bas depuis la même hauteur avec la même vitesse (en norme) ? La seule chose qui change est la condition initiale sur la vitesse : \(v_z(0) = -v_0\).
Question 2 : Calculer la durée \(t_{\text{peak}}\) pour atteindre la hauteur maximale.
Principe (le concept physique)
Au sommet de sa trajectoire, la balle cesse de monter et commence à redescendre. À cet instant précis, sa vitesse verticale s'annule. C'est la condition physique clé.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le sommet de la parabole \(z(t)\) correspond à un extremum. En mathématiques, on trouve un extremum en annulant la dérivée. La dérivée de la position \(z(t)\) étant la vitesse \(v_z(t)\), la condition physique \(v_z(t)=0\) correspond bien à la condition mathématique \(z'(t)=0\) pour un maximum.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Traduisez toujours les événements physiques ("atteindre le sommet", "toucher le sol") en une condition mathématique simple applicable à vos équations horaires (\(v_z=0\), \(z=0\), etc.).
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme spécifique ici, c'est une application directe des lois de la cinématique établies précédemment.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On pose la condition dans l'équation de la vitesse :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise les équations établies à la question 1, donc on se base sur les mêmes hypothèses (chute libre sans frottements).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 20 | m/s |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces (Pour aller plus vite)
C'est une résolution d'équation du premier degré très directe. Isoler l'inconnue \(t_{\text{peak}}\) est immédiat.
Schéma (Avant les calculs)
Instant où la vitesse s'annule
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(t_{\text{peak}}\)
Schéma (Après les calculs)
Sommet de la trajectoire
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ce temps ne dépend que de la vitesse initiale et de la gravité, pas de la hauteur de départ. C'est logique : le temps nécessaire pour que la gravité "annule" la vitesse initiale ne dépend que de cette vitesse et de la "force de freinage" gravitationnelle.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le temps pour atteindre le sommet (\(t_{\text{peak}}\)) avec le temps de vol total (\(t_{\text{final}}\)). La balle doit encore redescendre !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La condition physique fondamentale à retenir est : Sommet de la trajectoire \(\iff\) Vitesse verticale nulle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans un tir balistique avec un angle, la composante verticale de la vitesse s'annule aussi au sommet, mais la composante horizontale reste constante (en l'absence de frottements). L'objet n'est donc pas immobile à son apogée, sa vitesse est minimale mais non nulle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Combien de temps faudrait-il pour atteindre le sommet si on doublait la vitesse initiale à 40 m/s ?
Question 3 : Calculer la hauteur maximale \(z_{\text{max}}\) atteinte.
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous connaissons l'instant \(t_{\text{peak}}\) où la hauteur maximale est atteinte, il suffit d'utiliser cet instant dans l'équation de la position \(z(t)\) pour trouver l'altitude correspondante.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette étape est une application directe du concept de fonction en mathématiques. Nous avons une fonction \(z(t)\) qui donne la position pour n'importe quel temps \(t\). Nous avons trouvé un temps particulier, \(t_{\text{peak}}\). Il suffit de calculer l'image de ce temps par la fonction position, soit \(z(t_{\text{peak}})\), pour obtenir la hauteur maximale.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une fois qu'une variable clé (ici, le temps) est trouvée, réinjectez-la dans les autres équations horaires pour trouver toutes les informations relatives à cet instant précis (position, vitesse, etc.).
Normes (la référence réglementaire)
Pas de norme spécifique, on continue d'appliquer les lois de la cinématique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise l'équation de la position évaluée au temps \(t_{\text{peak}}\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Mêmes hypothèses que précédemment.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 20 | m/s |
| Hauteur initiale | \(h\) | 50 | m |
| Temps au sommet | \(t_{\text{peak}}\) | 2.0387 | s |
Astuces (Pour aller plus vite)
Une formule alternative, issue du théorème de l'énergie cinétique, évite de calculer le temps : \(v_f^2 - v_i^2 = 2a\Delta z\). Ici, \(0^2 - v_0^2 = 2(-g)(z_{\text{max}}-h)\), ce qui donne \(z_{\text{max}} = h + \frac{v_0^2}{2g}\). C'est un excellent moyen de vérifier le calcul : \(50 + \frac{20^2}{2 \times 9.81} \approx 70.387 \, \text{m}\).
Schéma (Avant les calculs)
Ordonnée du sommet de la trajectoire
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(z_{\text{max}}\)
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées du sommet
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La hauteur maximale est la somme de la hauteur initiale de l'immeuble et de la hauteur "gagnée" grâce à l'impulsion de départ. Cette hauteur gagnée, \(\frac{v_0^2}{2g}\), ne dépend que de l'énergie cinétique initiale convertie en énergie potentielle.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier d'ajouter la hauteur initiale \(h\) dans le calcul final. La question demande la hauteur mesurée depuis le sol (origine O), pas seulement la hauteur gagnée depuis le point de lancer.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La hauteur maximale est simplement la valeur de la fonction position à l'instant où la vitesse s'annule : \(z_{\text{max}} = z(t_{\text{peak}})\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de conversion d'énergie cinétique (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)) en énergie potentielle de pesanteur (\(E_p = mgz\)) est fondamental en ingénierie, par exemple pour le dimensionnement des montagnes russes ou des barrages hydroélectriques.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la hauteur maximale si l'on lançait la balle depuis le sol (\(h=0\)) avec la même vitesse initiale ?
Question 4 : Calculer la durée totale du vol \(t_{\text{final}}\).
Principe (le concept physique)
La balle touche le sol lorsque son altitude est nulle. On cherche donc l'instant \(t_{\text{final}}\) (positif) pour lequel la fonction position s'annule : \(z(t_{\text{final}}) = 0\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Résoudre \(z(t) = 0\) est un problème classique de recherche des racines d'un polynôme du second degré. Une équation \(at^2+bt+c=0\) peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles. Physiquement, une seule solution positive aura un sens dans notre contexte de temps qui s'écoule.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne soyez pas effrayé par une équation du second degré. C'est un outil mathématique standard en physique pour trouver des instants ou des positions correspondant à un événement précis.
Normes (la référence réglementaire)
Pas de norme spécifique, c'est une application mathématique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On cherche les racines de l'équation \(z(t) = 0\) à l'aide du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) et des solutions \(t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Mêmes hypothèses que précédemment.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Description |
|---|---|---|---|
| Coefficient quadratique | \(a\) | -4.905 | \(-\frac{1}{2}g\) |
| Coefficient linéaire | \(b\) | 20 | \(v_0\) |
| Terme constant | \(c\) | 50 | \(h\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Vérifiez toujours le signe de vos coefficients \(a, b, c\) avant de les insérer dans la formule du discriminant et des racines. Une erreur de signe est très fréquente !
Schéma (Avant les calculs)
Instant de l'impact au sol
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du discriminant \(\Delta\)
Calcul de la racine positive \(t_{\text{final}}\)
Schéma (Après les calculs)
Temps de vol total
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons trouvé deux solutions mathématiques, une positive et une négative. La solution négative correspond à l'instant où la balle *aurait été* au sol si le mouvement parabolique avait commencé avant \(t=0\). Elle n'a pas de sens physique dans notre contexte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de prendre la mauvaise solution (la négative) ou de faire une erreur de signe dans la formule du discriminant. Il faut toujours critiquer la pertinence physique des solutions mathématiques trouvées.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La condition physique fondamentale à retenir est : Impact au sol \(\iff\) Position \(z=0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le temps de descente depuis le sommet (\(t_{\text{final}} - t_{\text{peak}} \approx 3.79 \, \text{s}\)) est plus long que le temps de montée (\(t_{\text{peak}} \approx 2.04 \, \text{s}\)) car la distance à parcourir en descente (\(z_{\text{max}}\)) est plus grande que la distance de montée (\(z_{\text{max}}-h\)).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le temps de vol si la vitesse initiale était nulle (\(v_0=0\)) ?
Question 5 : Déterminer la vitesse finale \(v_{\text{final}}\) à l'impact.
Principe (le concept physique)
Il suffit de calculer la valeur de la vitesse \(v_z(t)\) à l'instant précis de l'impact, c'est-à-dire pour le temps final \(t = t_{\text{final}}\) que nous venons de calculer.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Comme pour la question 3, c'est une application directe des fonctions. Nous connaissons l'instant de l'impact, \(t_{\text{final}}\). Il suffit de calculer l'image de ce temps par la fonction vitesse \(v_z(t)\) pour obtenir la vitesse à cet instant.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le signe du résultat est tout aussi important que sa valeur numérique. En physique, un signe porte une information de direction. Ici, on s'attend à une vitesse négative, car la balle tombe.
Normes (la référence réglementaire)
Pas de norme spécifique, on continue d'appliquer les lois de la cinématique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise l'équation de la vitesse évaluée au temps \(t_{\text{final}}\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Mêmes hypothèses que précédemment.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 20 | m/s |
| Temps final de vol | \(t_{\text{final}}\) | 5.827 | s |
Astuces (Pour aller plus vite)
En utilisant le théorème de l'énergie cinétique entre le sommet (\(v=0, z=z_{\text{max}}\)) et le sol (\(v=v_{\text{final}}, z=0\)) : \(v_{\text{final}}^2 - 0^2 = 2(-g)(0-z_{\text{max}})\). Cela donne \(v_{\text{final}} = -\sqrt{2gz_{\text{max}}} = -\sqrt{2 \times 9.81 \times 70.387} \approx -37.16 \, \text{m/s}\), un excellent moyen de vérifier le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Vitesse à l'instant de l'impact
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(v_{\text{final}}\)
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées de l'impact
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le signe négatif est crucial : il indique que le vecteur vitesse est orienté vers le bas, ce qui est physiquement cohérent. La magnitude (valeur absolue) est plus grande que celle de la vitesse initiale (\(37.2 > 20\)) car la balle a accéléré sur une plus grande distance en descendant qu'elle n'a décéléré en montant.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier le signe. Une vitesse est une grandeur vectorielle ; dire que la vitesse est de \(37.2 \, \text{m/s}\) est incomplet. Il faut préciser la direction (ici, vers le bas), ce que le signe '-' fait pour nous.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La vitesse à un instant donné se trouve en injectant cet instant dans l'équation horaire de la vitesse : \(v_{\text{final}} = v_z(t_{\text{final}})\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Si la balle avait été lancée depuis le sol (\(h=0\)), par symétrie de la parabole, elle serait retombée au sol avec une vitesse exactement opposée à sa vitesse initiale : \(v_{\text{final}} = -v_0\). La hauteur supplémentaire de l'immeuble lui permet de continuer à accélérer et d'atteindre une vitesse plus élevée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la vitesse d'impact si la balle était simplement lâchée depuis le sommet (\(v_0=0\)) ?
Outil Interactif : Simulateur de Lancer Vertical
Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et la hauteur de départ. Observez comment ces changements affectent la trajectoire de la balle et les résultats clés du mouvement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'accélération d'un objet en chute libre (résistance de l'air négligée) ?
2. Au point le plus haut de sa trajectoire, que vaut la vitesse verticale d'un projectile lancé vers le haut ?
3. L'équation horaire de la position \(z(t)\) d'un objet en chute libre est une fonction...
4. Si on lance deux billes de masses différentes de la même hauteur et sans vitesse initiale, laquelle touchera le sol en premier (sans frottements) ?
5. Comment obtient-on l'équation de la vitesse \(v_z(t)\) à partir de l'accélération \(a_z(t) = -g\) ?
- Chute Libre
- Mouvement d'un corps soumis uniquement à l'action de son propre poids. Toute autre force, notamment la résistance de l'air, est considérée comme négligeable.
- Référentiel Galiléen
- Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Pour des expériences de courte durée à la surface de la Terre, le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen.
- Équations Horaires
- Ensemble des équations qui décrivent la position, la vitesse et l'accélération d'un mobile en fonction du temps.
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