Chute libre d’une bille
Analyser le mouvement d'une bille en chute libre et appliquer les principes de conservation de l'énergie.
La chute libre est le mouvement d'un objet soumis uniquement à l'action de la pesanteur. Dans le vide (ou lorsque la résistance de l'air est négligeable), tous les corps chutent avec la même accélération, appelée accélération de la pesanteur, notée \(g\).
Les équations horaires du mouvement d'un objet en chute libre, lâché sans vitesse initiale (\(v_0 = 0\)) depuis une altitude \(y_0\) (avec un axe vertical \(Oy\) orienté vers le haut et l'origine au sol), sont :
- Accélération : \(a_y(t) = -g\)
- Vitesse : \(v_y(t) = -gt\)
- Position : \(y(t) = y_0 - \frac{1}{2}gt^2\)
L'énergie mécanique \(E_m\) d'un système en chute libre (en l'absence de frottements) est conservée. Elle est la somme de l'énergie cinétique \(E_c\) et de l'énergie potentielle de pesanteur \(E_p\).
Données du Problème
Une bille de masse \(m = 50 \text{ g}\) est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur \(h_0 = 20.0 \text{ m}\) par rapport au sol. On néglige les frottements de l'air.
On prendra l'accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).
L'origine de l'axe vertical \(Oy\) est prise au niveau du sol, et l'axe est orienté vers le haut.
Questions
- Établir les équations horaires du mouvement de la bille : \(v_y(t)\) et \(y(t)\).
- Calculer la durée \(t_{sol}\) de la chute jusqu'à ce que la bille touche le sol.
- Calculer la vitesse \(v_{sol}\) de la bille juste avant l'impact avec le sol. Donner sa valeur en m/s et en km/h.
- Calculer l'énergie mécanique initiale \(E_{m,i}\) de la bille au moment du lâcher.
- En utilisant la conservation de l'énergie mécanique :
- Déterminer l'énergie cinétique \(E_{c,sol}\) de la bille juste avant l'impact au sol.
- Retrouver la valeur de la vitesse \(v_{sol}\) de la bille juste avant l'impact.
- À quelle hauteur \(h_1\) l'énergie cinétique de la bille est-elle égale à son énergie potentielle de pesanteur ?
Correction : Chute libre d’une bille
1. Équations Horaires du Mouvement
Le mouvement est une chute libre, l'accélération est \(a_y(t) = -g\). La vitesse initiale \(v_0 = 0\). La position initiale \(y_0 = h_0\).
Vitesse \(v_y(t)\) :
Position \(y(t)\) :
Les équations horaires sont :
\(v_y(t) = -gt\)
\(y(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2\)
2. Calcul de la Durée de la Chute (\(t_{sol}\))
La bille touche le sol lorsque \(y(t_{sol}) = 0\).
Données :
\(h_0 = 20.0 \text{ m}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
La durée de la chute est \(t_{sol} \approx 2.02 \text{ s}\).
Quiz Intermédiaire : Temps de Chute
3. Calcul de la Vitesse à l'Impact (\(v_{sol}\))
On utilise l'équation de la vitesse \(v_y(t) = -gt\) au temps \(t_{sol}\).
Données :
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
\(t_{sol} \approx 2.019 \text{ s}\)
La vitesse (norme) est \(v_{sol} = |v_{y,sol}| \approx 19.81 \text{ m/s}\).
Conversion en km/h : \(1 \text{ m/s} = 3.6 \text{ km/h}\)
La vitesse de la bille juste avant l'impact est \(v_{sol} \approx 19.8 \text{ m/s}\).
Soit \(v_{sol} \approx 71.3 \text{ km/h}\).
4. Calcul de l'Énergie Mécanique Initiale (\(E_{m,i}\))
\(E_{m,i} = E_{c,i} + E_{p,i}\). Au moment du lâcher, \(v_0 = 0\), donc \(E_{c,i} = 0\). L'altitude est \(y_0 = h_0\).
Données :
\(m = 50 \text{ g} = 0.050 \text{ kg}\)
\(h_0 = 20.0 \text{ m}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
L'énergie mécanique initiale de la bille est \(E_{m,i} = 9.81 \text{ J}\).
5. Utilisation de la Conservation de l'Énergie Mécanique
L'énergie mécanique se conserve : \(E_{m,sol} = E_{m,i}\).
a. Énergie Cinétique à l'Impact (\(E_{c,sol}\))
Au sol, \(y_{sol} = 0\), donc \(E_{p,sol} = mgy_{sol} = 0\).
L'énergie cinétique juste avant l'impact est \(E_{c,sol} = 9.81 \text{ J}\).
b. Vitesse à l'Impact (\(v_{sol}\))
On utilise \(E_{c,sol} = \frac{1}{2}mv_{sol}^2\).
La vitesse retrouvée par conservation de l'énergie est \(v_{sol} \approx 19.8 \text{ m/s}\), ce qui est cohérent avec le calcul précédent.
Quiz Intermédiaire : Énergie en Chute Libre
6. Hauteur \(h_1\) où \(E_c = E_p\)
On cherche \(h_1\) telle que \(E_c(h_1) = E_p(h_1)\). Par conservation de l'énergie mécanique : \(E_m = E_c(h_1) + E_p(h_1)\). Si \(E_c(h_1) = E_p(h_1)\), alors \(E_m = 2 E_p(h_1) = 2 mgh_1\). On sait que \(E_m = E_{m,i} = mgh_0\).
L'énergie cinétique est égale à l'énergie potentielle à une hauteur \(h_1 = 10.0 \text{ m}\) (mi-hauteur).
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Glossaire des Termes Clés
Chute Libre :
Mouvement d'un objet soumis uniquement à l'action de son poids (la force de pesanteur).
Accélération de la Pesanteur (\(g\)) :
Accélération subie par un corps en chute libre. Sur Terre, sa valeur moyenne est d'environ \(9.81 \text{ m/s}^2\).
Énergie Cinétique (\(E_c\)) :
Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\)) :
Énergie que possède un corps du fait de sa position (altitude) dans un champ de pesanteur. \(E_p = mgy\).
Énergie Mécanique (\(E_m\)) :
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. Elle est conservée si seules des forces conservatives (comme le poids) travaillent.
Conservation de l'Énergie Mécanique :
Principe selon lequel, en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique totale d'un système isolé reste constante.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la résistance de l'air affecterait-elle la durée de la chute et la vitesse d'impact de la bille ? La vitesse limite serait-elle atteinte ?
2. Si la bille était lancée vers le haut avec une vitesse initiale \(v_0\), comment cela modifierait-il les équations du mouvement et le temps pour atteindre le sol ?
3. Expliquez pourquoi, en l'absence de frottements, une plume et une boule de pétanque lâchées de la même hauteur atteignent le sol en même temps.
4. Comment la valeur de \(g\) varie-t-elle avec l'altitude ou la latitude sur Terre ? Quelles en sont les conséquences pour la chute libre ?
5. Décrivez une expérience simple que vous pourriez réaliser pour mesurer approximativement la valeur de \(g\).
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