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Calcul de la Distance d’Arrêt d’un Véhicule

Calcul de la Distance d’Arrêt d’un Véhicule

Calcul de la Distance d’Arrêt d’un Véhicule

Comprendre la Distance d'Arrêt

La distance d'arrêt (\(d_A\)) d'un véhicule est la distance totale parcourue entre le moment où le conducteur perçoit un obstacle et le moment où le véhicule s'immobilise complètement. Elle se décompose en deux parties : la distance de réaction (\(d_R\)) et la distance de freinage (\(d_F\)).

La distance de réaction est la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur (\(t_R\)), c'est-à-dire le temps entre la perception de l'obstacle et le début effectif du freinage. Pendant ce temps, le véhicule continue de se déplacer à sa vitesse initiale.

La distance de freinage est la distance parcourue par le véhicule à partir du moment où les freins sont actionnés jusqu'à son immobilisation. Elle dépend de la vitesse initiale du véhicule, de sa masse, et des forces de freinage (principalement les frottements entre les pneus et la route, et l'efficacité du système de freinage).

L'étude de la distance d'arrêt est cruciale pour la sécurité routière. Nous utiliserons ici les lois de Newton et le théorème de l'énergie cinétique pour analyser ces distances.

Données de l'étude

Un véhicule de masse \(m\) roule à une vitesse initiale \(v_0\) sur une route horizontale. Le conducteur aperçoit un obstacle et freine jusqu'à l'arrêt complet.

Informations et constantes :

  • Masse du véhicule (\(m\)) : \(1200 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale du véhicule (\(v_0\)) : \(90,0 \, \text{km/h}\)
  • Temps de réaction du conducteur (\(t_R\)) : \(1,0 \, \text{s}\)
  • Force de freinage totale (supposée constante et due aux frottements solides et au système de freinage) (\(F_{\text{freinage}}\)) : \(6000 \, \text{N}\)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\) (non directement utilisée pour les forces horizontales ici, mais utile pour le contexte).
Schéma : Phases de l'Arrêt d'un Véhicule
Début Perception d_R Début Freinage d_F Arrêt d_A = d_R + d_F

Schéma illustrant la distance de réaction (\(d_R\)), la distance de freinage (\(d_F\)) et la distance d'arrêt totale (\(d_A\)).

Questions à traiter

  1. Convertir la vitesse initiale \(v_0\) du véhicule en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).
  2. Calculer la distance de réaction (\(d_R\)).
  3. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique pendant la phase de freinage, établir une relation entre la distance de freinage (\(d_F\)), la masse (\(m\)), la vitesse initiale (\(v_0\)) et la force de freinage (\(F_{\text{freinage}}\)).
  4. Calculer la distance de freinage (\(d_F\)).
  5. Calculer la distance d'arrêt totale (\(d_A\)) du véhicule.
  6. Si la vitesse initiale était de \(130 \, \text{km/h}\) (limite sur autoroute), quelle serait la nouvelle distance d'arrêt totale (en supposant le même temps de réaction et la même force de freinage) ? Conclure sur l'importance de la vitesse.

Correction : Calcul de la Distance d’Arrêt d’un Véhicule

Question 1 : Conversion de la vitesse initiale

Principe :

Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6 (car \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) et \(1 \, \text{h} = 3600 \, \text{s}\)).

Données spécifiques :
  • Vitesse initiale (\(v_0\)) : \(90,0 \, \text{km/h}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_0 &= \frac{90,0}{3,6} \, \text{m/s} \\ &= 25,0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse initiale du véhicule est \(v_0 = 25,0 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Calcul de la distance de réaction (\(d_R\))

Principe :

Pendant le temps de réaction, le véhicule continue de se déplacer à sa vitesse initiale \(v_0\) car le conducteur n'a pas encore actionné les freins. La distance de réaction est donc le produit de la vitesse initiale par le temps de réaction.

Formule(s) utilisée(s) :
\[d_R = v_0 \times t_R\]
Données spécifiques :
  • Vitesse initiale (\(v_0\)) : \(25,0 \, \text{m/s}\)
  • Temps de réaction (\(t_R\)) : \(1,0 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d_R &= 25,0 \, \text{m/s} \times 1,0 \, \text{s} \\ &= 25,0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La distance de réaction est \(d_R = 25,0 \, \text{m}\).

Question 3 : Relation pour la distance de freinage (\(d_F\)) via le théorème de l'énergie cinétique

Principe :

Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation de l'énergie cinétique (\(\Delta E_c\)) d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux (\(W\)) de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système pendant cet intervalle : \(\Delta E_c = E_{c,\text{final}} - E_{c,\text{initial}} = \Sigma W(\vec{F}_{\text{ext}})\).

Pendant la phase de freinage, le véhicule passe d'une vitesse \(v_0\) à une vitesse nulle. La seule force qui travaille horizontalement (et s'oppose au mouvement) est la force de freinage \(\vec{F}_{\text{freinage}}\).

Application du théorème :

Énergie cinétique initiale (début du freinage) : \(E_{c,\text{initial}} = \frac{1}{2} m v_0^2\)

Énergie cinétique finale (arrêt) : \(E_{c,\text{final}} = 0\) (car \(v_{\text{final}} = 0\))

Variation d'énergie cinétique : \(\Delta E_c = 0 - \frac{1}{2} m v_0^2 = -\frac{1}{2} m v_0^2\)

Le travail de la force de freinage \(\vec{F}_{\text{freinage}}\) sur la distance de freinage \(d_F\) est résistant (s'oppose au mouvement) :

\[W(\vec{F}_{\text{freinage}}) = -F_{\text{freinage}} \times d_F\]

(Les forces verticales, poids et réaction normale, sont perpendiculaires au déplacement horizontal et ne travaillent pas).

Application du théorème :

\[ -\frac{1}{2} m v_0^2 = -F_{\text{freinage}} \times d_F \]

En simplifiant les signes négatifs, on obtient la relation :

\[ \frac{1}{2} m v_0^2 = F_{\text{freinage}} \times d_F \]
Résultat Question 3 : La relation est \(\frac{1}{2} m v_0^2 = F_{\text{freinage}} \times d_F\).

Question 4 : Calcul de la distance de freinage (\(d_F\))

Principe :

On utilise la relation établie à la question précédente pour isoler et calculer \(d_F\).

Formule(s) dérivée(s) :
\[ d_F = \frac{\frac{1}{2} m v_0^2}{F_{\text{freinage}}} = \frac{m v_0^2}{2 F_{\text{freinage}}} \]
Données spécifiques :
  • Masse du véhicule (\(m\)) : \(1200 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale (\(v_0\)) : \(25,0 \, \text{m/s}\)
  • Force de freinage (\(F_{\text{freinage}}\)) : \(6000 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d_F &= \frac{1200 \, \text{kg} \times (25,0 \, \text{m/s})^2}{2 \times 6000 \, \text{N}} \\ &= \frac{1200 \times 625}{12000} \, \text{m} \\ &= \frac{750000}{12000} \, \text{m} \\ &= 62,5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La distance de freinage est \(d_F = 62,5 \, \text{m}\).

Question 5 : Calcul de la distance d'arrêt totale (\(d_A\))

Principe :

La distance d'arrêt totale est la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[d_A = d_R + d_F\]
Données spécifiques :
  • Distance de réaction (\(d_R\)) : \(25,0 \, \text{m}\) (calculée à la question 2)
  • Distance de freinage (\(d_F\)) : \(62,5 \, \text{m}\) (calculée à la question 4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d_A &= 25,0 \, \text{m} + 62,5 \, \text{m} \\ &= 87,5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La distance d'arrêt totale du véhicule est \(d_A = 87,5 \, \text{m}\).

Question 6 : Distance d'arrêt à \(130 \, \text{km/h}\)

Principe :

On refait les calculs de \(d_R\) et \(d_F\) avec la nouvelle vitesse initiale.

Nouvelle vitesse initiale :
\[ v'_0 = \frac{130}{3,6} \, \text{m/s} \approx 36,11 \, \text{m/s} \]

(Utilisons \(v'_0 \approx 36,1 \, \text{m/s}\) pour les calculs).

Nouvelle distance de réaction (\(d'_R\)) :
\[ \begin{aligned} d'_R &= v'_0 \times t_R \\ &= 36,1 \, \text{m/s} \times 1,0 \, \text{s} \\ &= 36,1 \, \text{m} \end{aligned} \]
Nouvelle distance de freinage (\(d'_F\)) :
\[ \begin{aligned} d'_F &= \frac{m (v'_0)^2}{2 F_{\text{freinage}}} \\ &= \frac{1200 \, \text{kg} \times (36,1 \, \text{m/s})^2}{2 \times 6000 \, \text{N}} \\ &= \frac{1200 \times 1303,21}{12000} \, \text{m} \\ &= \frac{1563852}{12000} \, \text{m} \\ &\approx 130,3 \, \text{m} \end{aligned} \]
Nouvelle distance d'arrêt totale (\(d'_A\)) :
\[ \begin{aligned} d'_A &= d'_R + d'_F \\ &= 36,1 \, \text{m} + 130,3 \, \text{m} \\ &= 166,4 \, \text{m} \end{aligned} \]
Conclusion sur l'importance de la vitesse :

À \(90 \, \text{km/h}\), \(d_A = 87,5 \, \text{m}\).

À \(130 \, \text{km/h}\), \(d'_A \approx 166,4 \, \text{m}\).

L'augmentation de la vitesse de \(90\) à \(130 \, \text{km/h}\) (environ 44% d'augmentation) a presque doublé la distance d'arrêt totale (augmentation d'environ 90%). Cela souligne l'impact majeur de la vitesse sur la sécurité routière, car la distance de freinage augmente avec le carré de la vitesse.

Résultat Question 6 : À \(130 \, \text{km/h}\), la distance d'arrêt totale serait d'environ \(166,4 \, \text{m}\). Une augmentation de la vitesse augmente considérablement la distance d'arrêt, principalement en raison de l'augmentation quadratique de la distance de freinage.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La distance de réaction dépend principalement :

8. Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation d'énergie cinétique est égale :

9. Si la vitesse initiale d'un véhicule est doublée, sa distance de freinage (en supposant une force de freinage constante) est multipliée par :

Glossaire

Distance d'Arrêt (\(d_A\))
Distance totale parcourue par un véhicule entre le moment où le conducteur perçoit un danger et l'immobilisation complète du véhicule. \(d_A = d_R + d_F\).
Distance de Réaction (\(d_R\))
Distance parcourue par le véhicule pendant le temps de réaction du conducteur, avant que le freinage ne commence effectivement. \(d_R = v_0 \times t_R\).
Temps de Réaction (\(t_R\))
Intervalle de temps entre la perception d'un stimulus (danger) par le conducteur et le début de son action (freinage). Unité : seconde (s).
Distance de Freinage (\(d_F\))
Distance parcourue par le véhicule entre le début de l'action de freinage et son immobilisation complète.
Force de Freinage (\(F_{\text{freinage}}\))
Force résultante qui s'oppose au mouvement du véhicule pendant la phase de freinage, principalement due aux freins et aux frottements. Unité : Newton (N).
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un corps en raison de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). Unité : Joule (J).
Théorème de l'Énergie Cinétique
La variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux états est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au système entre ces deux états : \(\Delta E_c = \Sigma W(\vec{F}_{\text{ext}})\).
Travail d'une Force (\(W\))
Transfert d'énergie résultant de l'action d'une force sur un objet qui se déplace. Pour une force constante \(F\) agissant sur une distance \(d\) dans la direction du mouvement, \(W = F \times d\). Unité : Joule (J).
Calcul de la Distance d’Arrêt d’un Véhicule - Exercice d'Application (Physique Terminale)

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