Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Calcul de la masse d’une étoile

Calcul de la Masse d’une Étoile (Système Binaire)

Calcul de la Masse d’une Étoile (Système Binaire ou Exoplanétaire)

Comprendre la Détermination des Masses Stellaires

La masse d'une étoile est l'un de ses paramètres les plus fondamentaux, car elle détermine son évolution, sa luminosité, sa température de surface et sa durée de vie. Mesurer directement la masse d'une étoile isolée est très difficile. Cependant, si l'étoile fait partie d'un système binaire (deux étoiles orbitant l'une autour de l'autre) ou si elle possède une planète en orbite (système exoplanétaire), on peut utiliser les lois de la gravitation de Newton et les lois de Kepler pour estimer la masse du système, et souvent la masse de l'étoile principale si la masse du compagnon est négligeable ou connue.

La troisième loi de Kepler, dans sa forme généralisée par Newton, relie la période orbitale (\(T\)) et le demi-grand axe (\(a\)) de l'orbite à la masse totale du système (\(M_1 + M_2\)).

Données de l'étude

On observe une exoplanète (planète orbitant autour d'une autre étoile que le Soleil) en orbite autour de son étoile hôte. On suppose que l'orbite est circulaire pour simplifier (le demi-grand axe \(a\) est alors égal au rayon \(R\) de l'orbite).

Informations et constantes :

  • Période de révolution de l'exoplanète (\(T\)) : \(365,25 \, \text{jours}\) (terrestres)
  • Rayon de l'orbite de l'exoplanète (demi-grand axe \(a\)) : \(1,50 \times 10^{11} \, \text{m}\) (soit 1 Unité Astronomique, UA)
  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}\) (pour comparaison ultérieure)
  • On supposera que la masse de l'exoplanète (\(m_p\)) est négligeable devant la masse de l'étoile (\(M_*\)), donc \(M_* + m_p \approx M_*\).
Schéma : Exoplanète Orbitant autour de son Étoile
Étoile (M*) Planète (m_p) a Système Étoile-Planète

Schéma illustrant une exoplanète orbitant autour de son étoile hôte.

Questions à traiter

  1. Convertir la période de révolution \(T\) de l'exoplanète en secondes (s).
  2. Énoncer la troisième loi de Kepler généralisée par Newton, reliant \(T\), \(a\), \(G\) et la masse totale du système (\(M_1 + M_2\)).
  3. En utilisant l'approximation que la masse de la planète est négligeable devant celle de l'étoile (\(M_* + m_p \approx M_*\)), réarranger la formule de la troisième loi de Kepler pour exprimer la masse de l'étoile \(M_*\).
  4. Calculer la masse de l'étoile \(M_*\) en kilogrammes (kg).
  5. Comparer la masse de cette étoile à la masse du Soleil. Exprimer \(M_*\) en masses solaires (\(M_{\text{Soleil}}\)). Que peut-on en conclure sur cette étoile ?

Correction : Calcul de la Masse d’une Étoile

Question 1 : Conversion de la période \(T\) en secondes

Principe :

Il faut convertir les jours en secondes. On sait que 1 jour = 24 heures, 1 heure = 60 minutes, et 1 minute = 60 secondes.

Données spécifiques :
  • Période (\(T\)) : \(365,25 \, \text{jours}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= 365,25 \, \text{jours} \times 24 \, \text{h/jour} \times 3600 \, \text{s/h} \\ &= 365,25 \times 86400 \, \text{s} \\ &= 31557600 \, \text{s} \\ &\approx 3,156 \times 10^7 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La période de révolution de l'exoplanète est \(T \approx 3,156 \times 10^7 \, \text{s}\).

Question 2 : Énoncé de la troisième loi de Kepler généralisée

Principe :

La troisième loi de Kepler, dans sa forme généralisée par Isaac Newton grâce à sa loi de la gravitation universelle, relie la période orbitale et le demi-grand axe de l'orbite de deux corps à la somme de leurs masses.

Formule :

Pour deux corps de masses \(M_1\) et \(M_2\) orbitant l'un autour de l'autre (ou l'un autour de l'autre si l'un est beaucoup plus massif), avec une période orbitale \(T\) et un demi-grand axe de l'orbite relative \(a\), la loi s'écrit :

\[ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2} \]

Ou, de manière équivalente :

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_1 + M_2)} a^3 \]

Où \(G\) est la constante gravitationnelle universelle.

Résultat Question 2 : La troisième loi de Kepler généralisée est \( \frac{a^3}{T^2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2} \).

Question 3 : Expression de la masse de l'étoile \(M_*\)

Principe :

On part de la troisième loi de Kepler et on utilise l'approximation \(M_1 + M_2 \approx M_*\) (où \(M_1 = M_*\) et \(M_2 = m_p \approx 0\)). Ensuite, on isole \(M_*\).

Dérivation :

Avec \(M_1 + M_2 \approx M_*\), la loi devient :

\[ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G M_*}{4\pi^2} \]

Pour isoler \(M_*\), on multiplie les deux côtés par \(4\pi^2\) et on divise par \(G\) :

\[ M_* = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2} \]
Résultat Question 3 : La masse de l'étoile est donnée par \( M_* = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2} \).

Question 4 : Calcul de la masse de l'étoile \(M_*\)

Principe :

On applique la formule dérivée à la question 3 avec les valeurs numériques fournies, en veillant à utiliser les unités du Système International.

Données spécifiques :
  • Demi-grand axe (\(a\)) : \(1,50 \times 10^{11} \, \text{m}\)
  • Période (\(T\)) : \(3,156 \times 10^7 \, \text{s}\) (de la question 1)
  • Constante gravitationnelle (\(G\)) : \(6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
  • \(\pi \approx 3,14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_* &= \frac{4\pi^2 (1,50 \times 10^{11} \, \text{m})^3}{(6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \times (3,156 \times 10^7 \, \text{s})^2} \\ M_* &= \frac{4 \times (3,14159)^2 \times (1,50)^3 \times (10^{11})^3}{(6,674 \times 10^{-11}) \times (3,156)^2 \times (10^7)^2} \, \text{kg} \\ M_* &= \frac{4 \times 9,8696 \times 3,375 \times 10^{33}}{6,674 \times 10^{-11} \times 9,960336 \times 10^{14}} \, \text{kg} \\ M_* &= \frac{133,239 \times 10^{33}}{66,458 \times 10^{3}} \, \text{kg} \\ M_* &= \frac{1,33239 \times 10^{35}}{6,6458 \times 10^{4}} \, \text{kg} \\ M_* &\approx 2,0048 \times 10^{30} \, \text{kg} \end{aligned} \]

(Arrondi à quatre chiffres significatifs après la virgule, \(M_* \approx 2,005 \times 10^{30} \, \text{kg}\)).

Résultat Question 4 : La masse de l'étoile est \(M_* \approx 2,005 \times 10^{30} \, \text{kg}\).

Question 5 : Comparaison avec la masse du Soleil

Principe :

On divise la masse calculée de l'étoile par la masse connue du Soleil pour obtenir un rapport.

Données spécifiques :
  • Masse de l'étoile (\(M_*\)) : \(2,005 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{M_*}{M_{\text{Soleil}}} &= \frac{2,005 \times 10^{30} \, \text{kg}}{1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}} \\ &\approx 1,008 \end{aligned} \]

Conclusion : La masse de cette étoile est très proche de la masse du Soleil (environ 1,008 fois la masse du Soleil). On peut donc conclure que cette étoile est une étoile de type solaire, ou une "jumelle" du Soleil en termes de masse.

Résultat Question 5 : La masse de l'étoile est \(M_* \approx 1,008 \, M_{\text{Soleil}}\). L'étoile a une masse très similaire à celle de notre Soleil.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La troisième loi de Kepler relie la période orbitale \(T\) et le demi-grand axe \(a\) à :

7. Si la période orbitale \(T\) d'une planète autour d'une étoile augmente (et que \(a\) reste constant, ce qui est physiquement impossible sans changer la masse), la masse de l'étoile calculée avec la 3ème loi de Kepler :

8. L'approximation \(M_* + m_p \approx M_*\) est valable si :

Glossaire

Étoile
Corps céleste gazeux et lumineux, produisant de l'énergie par des réactions de fusion nucléaire en son cœur.
Exoplanète
Planète orbitant autour d'une étoile autre que le Soleil.
Masse Stellaire
Quantité de matière contenue dans une étoile. C'est un paramètre fondamental qui détermine son évolution.
Système Binaire
Système de deux étoiles liées gravitationnellement et orbitant autour d'un centre de masse commun.
Période Orbitale (\(T\))
Temps nécessaire à un corps céleste pour effectuer une orbite complète autour d'un autre corps. Unité SI : seconde (s).
Demi-grand Axe (\(a\))
Moitié du plus grand diamètre d'une orbite elliptique. Pour une orbite circulaire, il est égal au rayon. Unité SI : mètre (m).
Lois de Kepler
Trois lois décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil (ou plus généralement, d'un corps orbitant autour d'un autre sous l'effet de la gravitation).
Troisième Loi de Kepler (généralisée par Newton)
Le carré de la période orbitale (\(T\)) d'un corps est proportionnel au cube du demi-grand axe (\(a\)) de son orbite, et inversement proportionnel à la somme des masses (\(M_1+M_2\)) des deux corps : \(T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_1+M_2)}a^3\).
Constante Gravitationnelle Universelle (\(G\))
Constante fondamentale de la physique qui apparaît dans la loi de la gravitation de Newton. \(G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\).
Masse Solaire (\(M_{\text{Soleil}}\) ou \(M_\odot\))
Unité de masse couramment utilisée en astronomie, égale à la masse du Soleil (environ \(1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)).
Unité Astronomique (UA)
Unité de distance utilisée en astronomie, approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil (environ \(1,496 \times 10^{11} \, \text{m}\)).
Calcul de la Masse d’une Étoile - Exercice d'Application (Physique Terminale/Université)

D’autres exercices de physique université:

Equation de la trajectoire de la fusée
Equation de la trajectoire de la fusée

Équation de la Trajectoire d’une Fusée Équation de la Trajectoire d’une Fusée Comprendre le Mouvement Balistique d'une Fusée Après l'extinction de ses moteurs, une fusée (ou tout projectile) lancée dans l'atmosphère terrestre suit une trajectoire qui est...

La Montagne Russe Sans Frottement
La Montagne Russe Sans Frottement

La Montagne Russe Sans Frottement : Énergie et Mouvement La Montagne Russe Sans Frottement : Énergie et Mouvement Comprendre l'Énergie Mécanique et sa Conservation Le mouvement d'un chariot sur une montagne russe est un exemple classique d'application des principes de...

Lois de Newton pour la Rotation
Lois de Newton pour la Rotation

Lois de Newton pour la Rotation - Dynamique d’un Système Poulie-Masse Lois de Newton pour la Rotation : Dynamique d’un Système Poulie-Masse Comprendre la Dynamique de Rotation La dynamique de rotation étudie les causes du mouvement de rotation des objets. De la même...

Mouvement Projectile
Mouvement Projectile

Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme Mouvement d’un Projectile dans un Champ de Pesanteur Uniforme Comprendre le Mouvement d'un Projectile Le mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme (en...

Moment d’Inertie d’un Système Composé
Moment d’Inertie d’un Système Composé

Calcul du Moment d’Inertie d’un Système Composé Calcul du Moment d’Inertie d’un Système Composé Comprendre le Moment d'Inertie Le moment d'inertie (\(I\)) est une grandeur physique qui caractérise la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation autour...

Collision dans l’Espace
Collision dans l’Espace

Collision dans l’Espace : Conservation de la Quantité de Mouvement Collision Inélastique dans l’Espace Comprendre les Collisions et la Conservation de la Quantité de Mouvement En physique, une collision est une interaction brève et intense entre deux ou plusieurs...

Satellite en Orbite Circulaire
Satellite en Orbite Circulaire

Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie Satellite en Orbite Circulaire : Vitesse, Période et Énergie Comprendre le Mouvement Orbital et l'Énergie d'un Satellite Le mouvement des satellites autour d'un corps central, comme la Terre, est régi par la...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *