Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège

1. Calcul de la Vitesse Linéaire

La vitesse linéaire v dans un mouvement circulaire uniforme est donnée par la relation \[ v = \frac{\text{Distance parcourue en un tour complet}}{T} \] La distance parcourue lors d’un tour complet est la circonférence du cercle, qui se calcule par : \[ \text{Circonférence} = 2\pi R \]

Calculs :

• Calcul de la circonférence : \[ \text{Circonférence} = 2\pi \times 5 \] \[ \text{Circonférence} = 10\pi \quad \text{(mètres)} \]
• Vitesse linéaire : \[ v = \frac{10\pi}{20} \] \[ v = \frac{\pi}{2} \quad \text{(m/s)} \]
Comme \(\pi \approx 3,1416\), \[ v \approx \frac{3,1416}{2} \]

Résultat numérique (approximation) :

\[ v \approx 1,5708 \, \text{m/s} \]

2. Détermination de la Fréquence du Mouvement

La fréquence \(f\) d’un mouvement circulaire est définie comme le nombre de tours réalisés par seconde. Elle est l’inverse de la période \(T\) (le temps pour un tour complet).

Calcul :

\[ f = \frac{1}{T} \] \[ f = \frac{1}{20} \] \[ f = 0,05 \quad Hz \]

Cela signifie que le cheval réalise 0,05 tour par seconde.

3. Calcul de l’Accélération Centripète

L’accélération centripète a_c dans un mouvement circulaire uniforme est donnée par la formule : \[ a_c = \frac{v^2}{R} \] où v est la vitesse linéaire calculée précédemment, et R est le rayon du cercle.

Calcul :

• Utilisation de la vitesse linéaire obtenue : \( v = \frac{\pi}{2} \) m/s.
• Élévation au carré de la vitesse : \[ v^2 = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \] \[ v^2 = \frac{\pi^2}{4} \]
• Calcul de l’accélération centripète : \[ a_c = \frac{\frac{\pi^2}{4}}{5} \] \[ a_c = \frac{\pi^2}{20} \quad \text{(m/s}^2\text{)} \]
Sachant que \(\pi^2 \approx 9,8696\), \[ a_c \approx \frac{9,8696}{20} \]

Résultat numérique (approximation) :

\[ a_c \approx 0,4935 \, \text{m/s}^2 \]

Explications Complémentaires

• Vitesse Linéaire : La formule \(\displaystyle v = \frac{2\pi R}{T}\) permet de relier la distance parcourue sur le périmètre d’un cercle avec le temps de parcours. Ici, chaque cheval parcourt \(10\pi\) mètres en 20 secondes, ce qui donne une vitesse \( v = \frac{\pi}{2} \) m/s.
• Fréquence : La fréquence exprime combien de cycles (tours) sont effectués par seconde. Le calcul \( f = \frac{1}{T} \) est une application directe de la définition de la période.
• Accélération Centripète : Dans le mouvement circulaire uniforme, l’accélération centripète permet de maintenir l’objet sur sa trajectoire circulaire. Elle est dirigée vers le centre du cercle et sa valeur dépend de la vitesse et du rayon. La formule \( a_c = \frac{v^2}{R} \) découle directement de la dynamique du mouvement circulaire.