Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège
📝 Situation du Projet
Nous sommes le lundi 23 octobre, à 08h30, au sein du bureau d'études "SafeRide Engineering" spécialisé dans l'homologation des structures de loisirs. La tension est palpable car l'inauguration du nouveau parc d'attractions régional est prévue pour ce samedi. L'attraction phare, le "SkySwinger 3000" (un manège de type chaises volantes suspendues), vient d'achever sa phase de montage mécanique. Cependant, un doute subsiste concernant la conformité de sa vitesse d'exploitation avec la nouvelle norme européenne EN 13814 révisée, particulièrement stricte pour le jeune public (niveau collège).
En tant qu'Ingénieur Junior en Mécanique et Cinématique, vous avez été dépêché ce matin sur le site avec l'équipe de métrologie. Votre responsable, M. Dupont, vous a confié une tâche critique : valider, par le calcul et l'analyse dimensionnelle, que la vitesse linéaire en bout de bras ne dépasse pas le seuil fatidique de sécurité. Une erreur de calcul pourrait soit compromettre la sécurité des passagers, soit empêcher l'ouverture de l'attraction, entraînant des pénalités financières considérables. Vous disposez des relevés bruts effectués au télémètre laser et au chronomètre de précision.
Vous devez rédiger la Note de Calculs Officielle de validation cinématique. À partir des données de terrain, votre objectif est de modéliser le mouvement du siège le plus éloigné, de calculer sa vitesse linéaire moyenne en régime établi, et de statuer formellement sur la conformité de l'installation. Votre rapport sera la pièce maîtresse du dossier d'ouverture.
"Attention, la sécurité des passagers dépend directement de la vitesse. Une vitesse excessive augmente la force centrifuge ressentie. Soyez extrêmement rigoureux sur vos conversions d'unités (m/s vers km/h) ! Une erreur décimale pourrait invalider tout le certificat."
Afin de garantir une précision maximale, les données suivantes ont été collectées selon le protocole ISO 9001. Chaque mesure a été vérifiée par deux techniciens indépendants.
📚 Référentiel Normatif & Mathématique
L'étude se base sur les documents officiels régissant la sécurité des parcs de loisirs. Toute déviation par rapport à ces standards entraînera un refus d'exploitation.
Les mesures géométriques ont été réalisées à l'arrêt, à l'aide d'un télémètre laser calibré, mesurant la distance horizontale entre l'axe de rotation central et le centre de gravité du siège extérieur.
Les mesures cinématiques (temporelles) ont été effectuées manège en marche, une fois la vitesse de croisière stabilisée (régime permanent), en utilisant un chronomètre industriel au 1/100ème de seconde sur une série de tours pour lisser les incertitudes.
| GÉOMÉTRIE SPATIALE DU MANÈGE | |
| Rayon de la trajectoire (\(R\)) | \(5,0 \text{ m}\) |
| Constante Pi (\(\pi\)) à utiliser | \(3,14\) |
| DONNÉES CHRONOMÉTRIQUES | |
| Nombre de tours comptés (\(N\)) | \(10 \text{ tours}\) |
| Durée chronométrée pour \(N\) tours (\(t\)) | \(60 \text{ secondes}\) |
📐 Seuils de Sécurité & Hypothèses
Pour cette étude de faisabilité niveau collège, nous simplifions le modèle physique tout en conservant les critères de sécurité stricts imposés par la préfecture.
- Vitesse Maximale Autorisée : \(25 \text{ km/h}\) (Au-delà, l'attraction est fermée).
- Type de Mouvement : Circulaire Uniforme (Vitesse constante, trajectoire circulaire).
- Négligences : On néglige les frottements de l'air et l'oscillation des sièges.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon du manège | \( R \) | \(5\) | mètres (m) |
| Nombre de tours | \( N \) | \(10\) | tours |
| Temps chronométré | \( t \) | \(60\) | secondes (s) |
E. Protocole de Résolution
Pour valider la sécurité du manège, nous allons suivre une méthode rigoureuse, étape par étape, afin de transformer nos mesures brutes en une vitesse comparable à la norme.
Calcul du Périmètre
Déterminer la distance parcourue par le siège lors d'un seul tour complet.
Distance Totale
Calculer la distance totale parcourue pendant les 10 tours de l'expérience.
Vitesse Linéaire (SI)
Calculer la vitesse moyenne en mètres par seconde (m/s), l'unité standard en physique.
Conversion et Validation
Convertir la vitesse en km/h et la comparer au seuil de sécurité de 25 km/h.
Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège
🎯 Objectif Scientifique de l'étape
Dans cette première phase cruciale de l'étude cinématique, notre objectif est de quantifier avec précision la trajectoire spatiale empruntée par un passager. Concrètement, nous cherchons à déterminer la distance géométrique exacte parcourue par le siège lorsqu'il effectue une rotation complète (\(360\) degrés) autour de l'axe central du manège. En langage d'ingénierie, cette distance curviligne correspond à la circonférence (ou périmètre) du cercle décrit par le mouvement. Cette valeur servira de "brique de base" pour tous les calculs de vitesse ultérieurs : si cette valeur est fausse, tout le dossier de sécurité sera invalidé.
📚 Référentiel Théorique
Géométrie Euclidienne PlaneNombre Transcendant Pi (\(\pi\))Face à un mouvement circulaire, l'intuition linéaire (mesurer avec une règle droite) ne fonctionne plus. Nous sommes confrontés à une courbure constante. Pour mesurer cette courbe, nous devons "dérouler" mentalement le cercle pour le transformer en un segment de droite mesurable. L'outil mathématique qui permet cette transformation est la constante universelle \(\pi\). La stratégie est donc simple mais exigeante : identifier le rayon de rotation (la distance siège-centre), qui est le seul paramètre physique modifiable, et lui appliquer la formule géométrique du périmètre. Nous ne mesurons pas directement la trajectoire (ce qui serait imprécis avec un mètre ruban souple), nous la calculons à partir du rayon rigide.
La relation fondamentale part de la définition de \(\pi\), qui est le rapport constant entre le périmètre et le diamètre :
Or, nous savons que le diamètre est constitué de deux rayons mis bout à bout :
En remplaçant \(D\) par \(2R\) dans la première équation, nous obtenons la formule utilisée ici.
Étape 1 : Données d'Entrée & Paramétrage
Avant de lancer le calcul, nous isolons les valeurs numériques validées par l'équipe de mesure sur le terrain.
| Paramètre Physique | Symbole | Valeur Retenue |
|---|---|---|
| Rayon de rotation | \(R\) | \(5 \text{ mètres}\) |
| Constante mathématique | \(\pi\) | \(3,14\) |
Une erreur fréquente est de confondre le Rayon (centre vers bord) et le Diamètre (bord à bord passant par le centre). La formule est \(2 \times \pi \times R\) ou \(\pi \times D\). Si vous utilisez le rayon avec la formule du diamètre, votre résultat sera faux d'un facteur 2, ce qui est catastrophique pour la sécurité ! Vérifiez toujours votre schéma : la flèche part-elle du centre (Rayon) ou traverse-t-elle tout le cercle (Diamètre) ? Ici, nous avons bien un Rayon de \(5 \text{ m}\).
Calcul Détaillé de l'étape
Nous procédons maintenant à l'application numérique. Cette étape consiste à remplacer les symboles abstraits de la formule par les valeurs concrètes de notre manège SkySwinger 3000.
1. Détermination de la circonférence P :
Nous effectuons le produit des trois termes : le coefficient \(2\), la constante Pi et le rayon \(R\).
Interprétation Physique : Ce résultat signifie que, physiquement, à chaque fois que le manège complète une révolution, l'enfant assis dans le siège a parcouru une distance réelle de \(31,4 \text{ mètres}\) dans l'espace, même s'il revient à son point de départ.
✅ Interprétation Globale
Nous avons établi avec certitude la longueur fondamentale du circuit. Cette valeur de \(31,4 \text{ mètres}\) est désormais une constante fiable qui nous permettra de relier le temps (chronométrage) à l'espace (distance) dans les étapes suivantes.
Est-ce que \(31,4 \text{ m}\) est une valeur réaliste ? Faisons une approximation mentale rapide : Pi est proche de \(3\). Le diamètre est \(2 \times 5 = 10 \text{ m}\). Le périmètre doit être un peu plus de 3 fois le diamètre, soit \(3 \times 10 = 30 \text{ m}\). Notre calcul précis donne \(31,4 \text{ m}\). L'ordre de grandeur est parfaitement respecté, nous pouvons valider cette étape et passer à la suivante en toute confiance.
Attention à l'unité ! Le rayon est en mètres, donc le périmètre est en mètres. Ne confondez pas avec l'aire du disque (\(\pi \times R^2\)) qui s'exprimerait en mètres carrés (\(\text{m}^2\)). Ici, nous cherchons une longueur (1D), pas une surface (2D).
🎯 Objectif Scientifique de l'étape
Nous connaissons désormais la distance d'un "tour unitaire". Cependant, pour calculer une vitesse moyenne avec une haute fiabilité, il est déconseillé de se baser sur un seul tour (trop rapide, risque d'erreur humaine au chronométrage). L'expérience a donc consisté à mesurer une série de \(10\) tours. L'objectif de cette étape est de calculer la distance cumulée totale parcourue par le siège durant l'intégralité de cette phase de test.
📚 Référentiel Théorique
Loi de ProportionnalitéAdditivité des distancesNous sommes face à un problème d'arithmétique élémentaire appliqué à la cinématique. Si le mouvement est régulier (ce qui est notre hypothèse de "régime établi"), chaque tour est identique au précédent. La distance totale est donc simplement la somme des distances de chaque tour. Plutôt que d'additionner \(10\) fois le périmètre, nous utilisons la multiplication. C'est le principe de la linéarité : la distance totale est proportionnelle au nombre de tours effectués.
Si l'objet parcourt le périmètre \(P\) une fois, la distance est \(1 \times P\). S'il le parcourt deux fois, c'est \(2 \times P\). Par généralisation mathématique, pour \(N\) répétitions identiques, la distance totale est la somme de \(N\) termes égaux à \(P\), ce qui correspond à la définition de la multiplication :
La relation est une simple multiplication scalaire :
Où \(D_{\text{totale}}\) est la distance cumulée (m), \(N\) est le nombre de tours (sans dimension), et \(P\) est le périmètre d'un tour (m).
Étape 1 : Données d'Entrée
Nous reprenons le résultat de la Question 1 et la donnée de comptage issue du chronométrage.
| Paramètre | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Nombre de tours (\(N\)) | \(10\) | Donnée Énoncé |
| Périmètre (\(P\)) | \(31,4 \text{ m}\) | Résultat Question 1 |
Pourquoi mesurer sur \(10\) tours ? Imaginez que vous fassiez une erreur de \(0,5\) seconde en appuyant sur le chronomètre. Sur un seul tour de \(6\) secondes, cela représente une erreur énorme de \(8\%\) ! Sur \(10\) tours (\(60\) secondes), cette même erreur de \(0,5\) seconde ne représente plus que \(0,8\%\). En multipliant la distance, on lisse l'incertitude temporelle. C'est une technique standard en métrologie.
Calcul Détaillé
Nous procédons à l'agrégation de la distance.
1. Calcul de la Distance Cumulée D :
Multiplication du périmètre unitaire par le nombre de répétitions.
Interprétation Physique : Durant la minute qu'a duré notre mesure de contrôle, le siège (et le passager fictif) a parcouru une distance totale de \(314 \text{ mètres}\). C'est cette distance globale qui a été parcourue en \(60 \text{ secondes}\).
✅ Interprétation Globale
La distance totale de l'expérience est validée. Ce chiffre de \(314 \text{ mètres}\) représente la distance réelle parcourue par le mobile pendant la durée exacte du chronométrage. C'est la donnée "Espace" de notre équation de vitesse.
Pour visualiser : \(314 \text{ mètres}\), c'est un peu plus que la longueur de trois terrains de football mis bout à bout, ou la hauteur de la Tour Eiffel. C'est une distance conséquente, ce qui est logique pour un manège en mouvement continu pendant une minute.
Assurez-vous de bien reprendre le résultat exact de la question précédente (\(31,4 \text{ m}\)). Si vous aviez arrondi trop tôt (par exemple à \(31 \text{ m}\)), l'erreur serait multipliée par \(10\) ici (\(310 \text{ m}\) au lieu de \(314 \text{ m}\)), ce qui fausserait le calcul de vitesse final.
🎯 Objectif Scientifique de l'étape
Nous arrivons au cœur cinématique du problème. Nous disposons d'une distance spatiale (\(314 \text{ m}\)) et d'une durée temporelle (\(60 \text{ s}\)). L'objectif est de fusionner ces deux grandeurs pour obtenir la vitesse linéaire moyenne. C'est cette grandeur qui définit la rapidité du mouvement. Par convention scientifique internationale (Système International - SI), nous devons d'abord calculer cette vitesse dans l'unité fondamentale de la physique : le mètre par seconde (\(\text{m/s}\)).
📚 Référentiel Théorique
Cinématique du pointVitesse MoyenneLa vitesse n'est rien d'autre qu'un taux de variation : c'est la quantité d'espace "avalée" par unité de temps. Si le manège parcourt \(314 \text{ mètres}\) en \(60 \text{ secondes}\), quelle distance parcourt-il en \(1\) seule seconde ? C'est une simple division (ou "règle de trois"). Comme le mouvement est considéré comme Uniforme (vitesse constante), la vitesse moyenne que nous allons calculer est strictement égale à la vitesse instantanée à n'importe quel moment du tour. C'est cette constance qui nous permet d'utiliser la formule simple :
En physique, la vitesse moyenne \(v\) d'un objet est définie par le quotient de la distance parcourue \(d\) par la durée du parcours \(t\). Cette définition est universelle. L'unité du résultat dépend directement des unités utilisées pour la distance et le temps.
La formule fondamentale de la cinématique (à connaître par cœur) :
Si \(d\) est en mètres (m) et \(t\) en secondes (s), alors \(v\) s'exprime obligatoirement en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).
Étape 1 : Hypothèses & Données
Nous rassemblons les éléments calculés et mesurés précédemment.
| Paramètre | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|
| Distance Totale (\(d\)) | \(314\) | mètres (m) |
| Durée Totale (\(t\)) | \(60\) | secondes (s) |
Lors d'une division comme \(314 / 60\), il est fréquent d'obtenir un nombre avec beaucoup de décimales (ex: \(5,233333...\)). En physique, on ne garde pas toutes les décimales car cela donnerait une fausse impression de précision absolue. On arrondit généralement à deux chiffres après la virgule, ce qui est largement suffisant pour une validation de sécurité.
Calcul Détaillé
Nous divisons la distance parcourue par le temps écoulé pour obtenir le taux par seconde.
1. Calcul de la vitesse v :
Division de \(314\) par \(60\).
Interprétation Physique : Le résultat de \(5,23 \text{ m/s}\) signifie concrètement qu'à chaque tic-tac d'une horloge, le siège se déplace de \(5 \text{ mètres}\) et \(23 \text{ centimètres}\). C'est une vitesse soutenue, comparable à celle d'un cycliste urbain dynamique.
✅ Interprétation Globale
La vitesse fondamentale du système a été isolée : environ \(5,23 \text{ mètres par seconde}\). C'est la valeur de référence physique "brute" avant toute conversion commerciale ou normative.
Est-ce rapide ? Pour un humain qui marche (environ \(1 \text{ m/s}\)), c'est \(5\) fois plus vite. Pour une voiture sur autoroute (\(36 \text{ m/s}\)), c'est lent. Pour un manège familial, \(5 \text{ m/s}\) est une valeur tout à fait standard et plausible. Si nous avions trouvé \(0,5 \text{ m/s}\) (trop lent, ennuyeux) ou \(50 \text{ m/s}\) (vitesse de F1, mortel), il aurait fallu refaire les calculs.
Vérifiez bien que vous avez divisé la DISTANCE par le TEMPS (\(d/t\)) et non l'inverse (\(t/d\)). Une division inversée vous donnerait des "secondes par mètre", ce qui n'est pas une vitesse mais un rythme (comme en course à pied), et ce n'est pas ce que nous cherchons.
🎯 Objectif Décisionnel
Nous avons calculé la vitesse scientifique (\(5,23 \text{ m/s}\)). Cependant, le cahier des charges et la norme de sécurité EN 13814 définissent la limite légale en kilomètres par heure (\(\text{km/h}\)), l'unité usuelle des transports. Nous ne pouvons pas comparer des \(\text{m/s}\) avec des \(\text{km/h}\) directement (ce serait comme comparer des pommes et des oranges). L'objectif final est donc double : convertir notre résultat dans la bonne unité, puis le confronter au seuil limite de \(25 \text{ km/h}\) pour délivrer le certificat de conformité.
📚 Référentiel Théorique
Analyse DimensionnelleNormes de SécuritéPourquoi passer en \(\text{km/h}\) ? Parce que c'est l'unité que tout le monde comprend intuitivement. Détaillons l'origine du coefficient \(3,6\) : une vitesse de \(1 \text{ m/s}\) signifie parcourir \(1 \text{ mètre}\) en \(1 \text{ seconde}\).
1. Convertissons la distance : \(1 \text{ mètre} = 0,001 \text{ km}\).
2. Convertissons le temps : \(1 \text{ seconde} = 1/3600 \text{ heure}\).
3. La vitesse en \(\text{km/h}\) est donc la division de la distance (\(0,001\)) par le temps (\(1/3600\)).
C'est pourquoi on multiplie par \(3,6\) pour passer des \(\text{m/s}\) aux \(\text{km/h}\).
Pour convertir une vitesse exprimée en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)) vers des kilomètres par heure (\(\text{km/h}\)), la règle est simple : on multiplie par \(3,6\). Inversement, pour passer de \(\text{km/h}\) à \(\text{m/s}\), on divise par \(3,6\).
La relation de changement d'unité :
Où \(3,6\) est le coefficient de conversion exact issu du rapport (\(3600\text{s} / 1000\text{m}\)).
Étape 1 : Tableau de Comparaison
Préparation des données pour la conversion.
| Donnée | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Vitesse calculée (\(v\)) | \(5,23\) | \(\text{m/s}\) |
| Facteur de conversion | x \(3,6\) | (\(\text{m/s}\) vers \(\text{km/h}\)) |
| Seuil Limite (\(V_{\text{max}}\)) | \(25\) | \(\text{km/h}\) |
Retenez que le chiffre en \(\text{km/h}\) est toujours PLUS GRAND que le chiffre en \(\text{m/s}\) (environ \(3\) à \(4\) fois plus grand). Si vous trouvez une valeur en \(\text{km/h}\) plus petite que votre valeur en \(\text{m/s}\), c'est que vous avez divisé au lieu de multiplier !
Calculs Détaillés
Nous effectuons d'abord la conversion, puis la comparaison logique.
1. Conversion m/s vers km/h :
Multiplication par le coefficient \(3,6\).
2. Comparaison avec la Norme (Inéquation) :
Nous posons l'inégalité stricte pour vérifier la conformité.
Interprétation Finale : La vitesse réelle d'exploitation (\(18,8 \text{ km/h}\)) est bien inférieure à la limite maximale autorisée (\(25 \text{ km/h}\)). La marge de sécurité est confortable (plus de \(6 \text{ km/h}\) de marge).
✅ Interprétation Globale
Le processus de validation est terminé. Nous avons démontré mathématiquement que la configuration actuelle du manège respecte les normes de sécurité en vigueur. Aucun ajustement technique n'est nécessaire pour l'ouverture.
\(18,8 \text{ km/h}\) est une vitesse très intéressante. C'est assez rapide pour créer du vent relatif et des sensations d'accélération (surtout avec la force centrifuge qui déporte le siège), mais cela reste suffisamment lent pour ne pas effrayer un jeune public ou causer des vertiges excessifs. Le "SkySwinger 3000" est donc parfaitement calibré pour sa cible (niveau collège/famille).
Attention : Cette validation n'est valable que pour la vitesse angulaire mesurée. Si le moteur accélère pour réduire le temps au tour en dessous de \(45 \text{ secondes}\) (au lieu de \(60\text{s}\)), la vitesse dépasserait alors les \(25 \text{ km/h}\) et l'attraction deviendrait non conforme. Il faudra installer un bridage électronique sur le moteur.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2023 | Création du rapport de validation | Ingénieur Expert |
- Norme NF EN 13814 (Sécurité des manèges et dispositifs de divertissement)
- Modèle : Mouvement Circulaire Uniforme (MCU)
| Rayon (R) | 5,00 m |
| Nombre de tours (N) | 10 tours |
| Durée de mesure (t) | 60,0 s |
Vérification de la vitesse tangentielle maximale en périphérie.
Bureau d'Études
Directeur Technique
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