Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
Analyser le régime d'amortissement d'un circuit RLC série et calculer ses caractéristiques.
L'amortissement dans un circuit RLC série décrit la manière dont les oscillations (si elles existent) diminuent avec le temps en raison de la dissipation d'énergie, principalement par la résistance. La réponse du circuit à une excitation (par exemple, la fermeture d'un interrupteur connectant une source de tension continue) dépend des valeurs de la résistance (R), de l'inductance (L) et de la capacité (C).
L'équation caractéristique d'un circuit RLC série est de la forme \(s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0\).
Deux paramètres clés sont :
- La pulsation propre (ou naturelle) non amortie \(\omega_0\) :
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
- Le facteur d'amortissement \(\zeta\) (zêta) :
\[ \zeta = \frac{R}{2L\omega_0} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} \]
Le comportement du circuit (régime d'amortissement) est déterminé par la valeur de \(\zeta\) :
- Si \(\zeta > 1\) : Régime sur-amorti (ou apériodique). Le retour à l'équilibre est lent, sans oscillations.
- Si \(\zeta = 1\) : Régime d'amortissement critique. Le retour à l'équilibre est le plus rapide possible sans oscillations.
- Si \(0 < \zeta < 1\) : Régime sous-amorti (ou pseudo-périodique). Le système oscille avec une amplitude décroissante. La pseudo-pulsation des oscillations est \(\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}\).
Données du Problème
Un circuit RLC série est constitué des éléments suivants :
- Résistance : \(R = 20 \, \Omega\)
- Inductance : \(L = 50 \text{ mH}\)
- Capacité : \(C = 20 \, \mu\text{F}\)
Ce circuit est initialement au repos (condensateur déchargé, courant nul). À l'instant \(t=0\), on le connecte à une source de tension continue \(E = 10 \text{ V}\) via un interrupteur.
Questions
- Convertir les valeurs de l'inductance \(L\) et de la capacité \(C\) dans leurs unités de base du Système International (Henry et Farad).
- Calculer la pulsation propre non amortie \(\omega_0\) du circuit.
- Calculer le facteur d'amortissement \(\zeta\).
- Déterminer le régime d'amortissement du circuit (sur-amorti, critique, ou sous-amorti/pseudo-périodique).
- Si le régime est sous-amorti, calculer la pseudo-pulsation \(\omega_d\) et la pseudo-période \(T_d\) des oscillations.
- Décrire qualitativement l'allure de la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur après la fermeture de l'interrupteur, en fonction du régime d'amortissement trouvé.
Correction : Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
1. Conversion des Unités de \(L\) et \(C\)
\(1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}\) et \(1 \, \mu\text{F} = 10^{-6} \text{ F}\).
Données :
\(L = 50 \text{ mH}\)
\(C = 20 \, \mu\text{F}\)
\(L = 0.050 \text{ H}\).
\(C = 2.0 \times 10^{-5} \text{ F}\).
2. Calcul de la Pulsation Propre Non Amortie (\(\omega_0\))
On utilise la formule \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Données :
\(L = 0.050 \text{ H}\)
\(C = 2.0 \times 10^{-5} \text{ F}\)
La pulsation propre non amortie est \(\omega_0 = 1000 \text{ rad/s}\).
3. Calcul du Facteur d'Amortissement (\(\zeta\))
On utilise la formule \(\zeta = \frac{R}{2L\omega_0}\).
Données :
\(R = 20 \, \Omega\)
\(L = 0.050 \text{ H}\)
\(\omega_0 = 1000 \text{ rad/s}\)
Le facteur d'amortissement est \(\zeta = 0.2\).
Quiz Intermédiaire : Facteur d'Amortissement
4. Détermination du Régime d'Amortissement
On compare la valeur de \(\zeta\) à 1.
Données :
\(\zeta = 0.2\)
Puisque \(0 < \zeta < 1\) (\(0 < 0.2 < 1\)), le régime est sous-amorti (ou pseudo-périodique). Cela signifie que la tension aux bornes du condensateur (et le courant dans le circuit) oscillera avec une amplitude qui décroît exponentiellement avec le temps.
Le régime d'amortissement du circuit est sous-amorti (pseudo-périodique).
5. Calcul de la Pseudo-Pulsation (\(\omega_d\)) et de la Pseudo-Période (\(T_d\))
Pour un régime sous-amorti, \(\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}\) et \(T_d = 2\pi / \omega_d\).
Données :
\(\omega_0 = 1000 \text{ rad/s}\)
\(\zeta = 0.2\)
Pseudo-pulsation \(\omega_d\):
Pseudo-période \(T_d\):
La pseudo-pulsation est \(\omega_d \approx 979.8 \text{ rad/s}\) et la pseudo-période est \(T_d \approx 6.41 \text{ ms}\).
Quiz Intermédiaire : Régime Sous-Amorti
6. Description Qualitative de l'Allure de \(u_C(t)\)
Le régime est sous-amorti (\(\zeta = 0.2\)). Le condensateur est initialement déchargé et on applique une tension continue \(E\).
Après la fermeture de l'interrupteur à \(t=0\), la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur va tendre vers la tension de la source \(E = 10 \text{ V}\).
Étant donné que le régime est sous-amorti :
- La tension \(u_C(t)\) va osciller autour de la valeur finale \(E\).
- L'amplitude de ces oscillations va diminuer exponentiellement avec le temps, à cause de l'amortissement introduit par la résistance R.
- La tension commencera à \(u_C(0)=0\), augmentera, dépassera potentiellement \(E\) (phénomène de dépassement ou "overshoot"), puis oscillera en s'amortissant jusqu'à se stabiliser à \(E\).
- La fréquence de ces oscillations amorties est la pseudo-fréquence \(f_d \approx 137.8 \text{ Hz}\).
L'allure générale sera donc celle d'une sinusoïde amortie qui tend vers une valeur constante \(E\).
La tension \(u_C(t)\) présentera des oscillations amorties autour de la valeur finale \(E=10 \text{ V}\), avec une pseudo-période \(T_d \approx 6.41 \text{ ms}\).
Quiz : Testez vos connaissances !
Glossaire des Termes Clés
Circuit RLC Série :
Circuit électrique comprenant une résistance (R), une inductance (L) et une capacité (C) connectées en série.
Amortissement :
Phénomène par lequel l'amplitude des oscillations d'un système diminue progressivement, généralement dû à la dissipation d'énergie.
Pulsation Propre (\(\omega_0\)) :
Pulsation à laquelle un système oscillerait naturellement en l'absence d'amortissement.
Facteur d'Amortissement (\(\zeta\)) :
Paramètre sans dimension qui caractérise la rapidité avec laquelle les oscillations d'un système sont amorties. Il détermine le régime d'amortissement.
Régime Sur-amorti (\(\zeta > 1\)) :
Le système retourne à l'équilibre lentement sans osciller.
Régime d'Amortissement Critique (\(\zeta = 1\)) :
Le système retourne à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.
Régime Sous-amorti (Pseudo-périodique, \(0 < \zeta < 1\)) :
Le système oscille avec une amplitude qui décroît exponentiellement. Les oscillations se produisent à la pseudo-pulsation \(\omega_d\).
Pseudo-pulsation (\(\omega_d\)) :
Pulsation des oscillations dans un régime sous-amorti. \(\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}\).
Pseudo-période (\(T_d\)) :
Période des oscillations dans un régime sous-amorti. \(T_d = 2\pi / \omega_d\).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la valeur de la résistance R influence-t-elle le facteur d'amortissement \(\zeta\) et donc le régime du circuit RLC série ?
2. Dans quelles applications pratiques cherche-t-on à obtenir un amortissement critique ? Un amortissement sous-amorti ? Un amortissement sur-amorti ?
3. Si le circuit RLC série était alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale au lieu d'une source continue, comment analyserait-on son comportement en régime permanent (impédance, résonance) ?
4. Qu'est-ce que le facteur de qualité \(Q\) d'un circuit RLC et comment est-il lié au facteur d'amortissement \(\zeta\) ?
5. Comment l'énergie est-elle stockée et dissipée dans un circuit RLC série oscillant ?
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires