Chute libre sans résistance de l’air

En chute libre sans résistance de l'air, la seule force s'exerçant sur la bille est son poids \(\vec{P}\). D'après la deuxième loi de Newton, la somme des forces extérieures est égale au produit de la masse et de l'accélération : \(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\).

Bilan des forces : \(\vec{P} = m\vec{g}\) (où \(\vec{g}\) est le vecteur accélération de la pesanteur, dirigé verticalement vers le bas).

Application de la deuxième loi de Newton :

L'accélération de la bille est donc égale à l'accélération de la pesanteur. Avec l'axe \(Oy\) orienté vers le bas, la composante de l'accélération selon cet axe est \(a_y = g\).

L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps (\(a_y = \frac{dv_y}{dt}\)), et la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps (\(v_y = \frac{dy}{dt}\)). On obtient \(v_y(t)\) et \(y(t)\) par intégrations successives de \(a_y(t)\), en utilisant les conditions initiales.

On a \(a_y(t) = g\).

Intégration pour obtenir la vitesse \(v_y(t)\) :

À \(t=0\), la bille est lâchée sans vitesse initiale, donc \(v_y(0) = v_{0y} = 0\). \(v_y(0) = g \times 0 + C_1 = C_1\). Donc \(C_1 = 0\).

Intégration pour obtenir la position \(y(t)\) :

À \(t=0\), l'origine est au point de lâcher, donc \(y(0) = y_0 = 0\). \(y(0) = \frac{1}{2}g(0)^2 + C_2 = C_2\). Donc \(C_2 = 0\).

La bille atteint le sol lorsque sa position \(y(t)\) est égale à la hauteur initiale \(h_0\) (car l'origine a été prise au point de lâcher et l'axe est orienté vers le bas). On utilise l'équation horaire de la position \(y(t) = \frac{1}{2}gt^2\).

Au sol, \(y(t_{sol}) = h_0\).

Données : \(h_0 = 20.0 \text{ m}\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).

La vitesse de la bille juste avant l'impact avec le sol est \(v_y(t_{sol})\). On utilise l'équation horaire de la vitesse \(v_y(t) = gt\).

Données : \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(t_{sol} \approx 2.019 \text{ s}\).

L'énergie mécanique \(E_m\) est la somme de l'énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) et de l'énergie potentielle de pesanteur \(E_p = mgy_{ref} - mgy\) si l'axe y est vers le bas et \(y_{ref}\) est l'altitude de référence pour \(E_p=0\). Ici, l'énergie potentielle est prise nulle au sol (\(y=h_0\)). Donc \(E_p(y) = mg(h_0 - y)\). Au point de lâcher (\(t=0\)), \(y(0)=0\) et \(v_y(0)=0\).

Énergie cinétique initiale :

Énergie potentielle de pesanteur initiale (à \(y=0\), avec référence au sol \(y=h_0\)) :

Énergie mécanique initiale :

Juste avant l'impact, la bille est au sol, donc \(y(t_{sol}) = h_0\). Sa vitesse est \(v_{sol} \approx 19.806 \text{ m/s}\).

Énergie potentielle de pesanteur au sol (\(y=h_0\)) :

Énergie cinétique juste avant l'impact :

Énergie mécanique juste avant l'impact :

(La petite différence par rapport à \(E_{m,initiale}\) est due aux arrondis dans les calculs intermédiaires de \(v_{sol}\). Si on utilise \(v_{sol}^2 = 2gh_0\), alors \(E_{c,sol} = \frac{1}{2}m(2gh_0) = mgh_0 = 19.62 \text{ J}\), et \(E_{m,sol}\) serait exactement \(19.62 \text{ J}\)).

On compare l'énergie mécanique initiale \(E_{m,initiale}\) avec l'énergie mécanique juste avant l'impact \(E_{m,sol}\).

\(E_{m,initiale} = 19.62 \text{ J}\)

\(E_{m,sol} \approx 19.61 \text{ J}\) (ou \(19.62 \text{ J}\) sans arrondis intermédiaires)

Aux arrondis près, \(E_{m,initiale} = E_{m,sol}\).

Conclusion : L'énergie mécanique de la bille est conservée au cours de sa chute libre. Cela est attendu car la seule force qui travaille est le poids, qui est une force conservative, et on a négligé la résistance de l'air (force non conservative).

Réponses Correctes :

Question 1 : b) Est constante et égale à \(g\).

Question 2 : c) \(\sqrt{h_0}\) (car \(v_{sol} = \sqrt{2gh_0}\)).

Question 3 : b) L'énergie potentielle de pesanteur (si l'origine est au sol, l'altitude diminue).

Question 4 : c) Ils atteignent le sol en même temps (car l'accélération est la même pour tous les corps en chute libre sans frottement).

Chute Libre :

Mouvement d'un objet soumis uniquement à la force de pesanteur. La résistance de l'air est négligée.

Pesanteur (\(\vec{g}\)) :

Accélération subie par un corps du fait de l'attraction gravitationnelle terrestre (et de la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre, bien que cette dernière soit souvent négligée au niveau lycée). Sa valeur moyenne à la surface de la Terre est d'environ \(9.81 \text{ m/s}^2\).

Deuxième Loi de Newton :

Principe fondamental de la dynamique : la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération (\(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)).

Équations Horaires du Mouvement :

Expressions mathématiques donnant la position, la vitesse et l'accélération d'un objet en fonction du temps.

Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :

Mouvement d'un objet dont la trajectoire est une droite et dont l'accélération est constante.

Énergie Cinétique (\(E_c\)) :

Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).

Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\)) :

Énergie que possède un corps du fait de sa position dans un champ de pesanteur. \(E_p = mgy + constante\), où \(y\) est l'altitude.

Énergie Mécanique (\(E_m\)) :

Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système (\(E_m = E_c + E_p\)). Elle est conservée si seules des forces conservatives travaillent.

Force Conservative :

Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée (ex: poids). Le travail d'une force conservative sur un chemin fermé est nul.