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Période d’un pendule pesant

Période d’un Pendule Pesant Simple

Période d’un Pendule Pesant Simple

Comprendre le Pendule Pesant Simple

Un pendule pesant simple est un modèle idéalisé constitué d'une masse ponctuelle (\(m\)) suspendue à un fil inextensible de longueur (\(L\)) et de masse négligeable, fixé à un point fixe. Lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre stable (la verticale) et lâché, il effectue des oscillations sous l'effet de la pesanteur. La période (\(T\)) d'un pendule simple est la durée d'une oscillation complète (un aller-retour).

Pour de petites oscillations (angle d'écart faible par rapport à la verticale, typiquement inférieur à 15-20 degrés), la période du pendule simple ne dépend que de sa longueur et de l'intensité de la pesanteur (\(g\)) au lieu où il se trouve. Elle est indépendante de la masse et de l'amplitude des oscillations (isochronisme des petites oscillations). C'est cette approximation que nous utiliserons.

Données de l'étude

On étudie les oscillations d'un pendule simple.

Caractéristiques du pendule et conditions :

  • Longueur du fil (\(L\)) : \(1,50 \, \text{m}\)
  • Masse de l'objet suspendu (\(m\)) : \(0,500 \, \text{kg}\)
  • Intensité de la pesanteur sur Terre (\(g_{\text{Terre}}\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
  • Intensité de la pesanteur sur Mars (\(g_{\text{Mars}}\)) : \(3,71 \, \text{m/s}^2\)
  • On suppose que les oscillations sont de faible amplitude.
Schéma d'un Pendule Simple
Équilibre θ L Pendule Simple

Schéma illustrant un pendule simple de longueur L, écarté d'un angle θ de sa position d'équilibre.

Questions à traiter

  1. Énoncer la formule donnant la période propre (\(T_0\)) d'un pendule simple pour de petites oscillations. Préciser la signification et l'unité de chaque terme.
  2. Calculer la période propre (\(T_{0, \text{Terre}}\)) de ce pendule sur Terre.
  3. Si la masse du pendule était doublée (\(m' = 2m\)), quelle serait sa nouvelle période sur Terre ? Justifier.
  4. Calculer la période propre (\(T_{0, \text{Mars}}\)) de ce même pendule s'il était transporté sur Mars.
  5. On souhaite que ce pendule ait une période propre de \(1,00 \, \text{s}\) sur Terre. Quelle devrait être la longueur (\(L'\)) du fil ?
  6. Un astronaute mesure la période d'un pendule de longueur \(L = 0,500 \, \text{m}\) sur une planète inconnue et trouve \(T_0 = 2,24 \, \text{s}\). Calculer l'intensité de la pesanteur (\(g_{\text{planète}}\)) sur cette planète.

Correction : Période d’un Pendule Pesant Simple

Question 1 : Formule de la période propre (\(T_0\))

Principe :

La période propre d'un pendule simple, pour de petites amplitudes d'oscillation, est indépendante de l'amplitude et de la masse, mais dépend de sa longueur et de l'accélération de la pesanteur locale.

Formule :

La période propre \(T_0\) d'un pendule simple est donnée par :

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

Où :

  • \(T_0\) est la période propre en secondes (s)
  • \(L\) est la longueur du fil en mètres (m)
  • \(g\) est l'intensité de la pesanteur en mètres par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\))
  • \(\pi\) est la constante mathématique (environ 3,14159)
Résultat Question 1 : La formule de la période propre d'un pendule simple est \(T_0 = 2\pi \sqrt{L/g}\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'unité de la longueur \(L\) dans la formule de la période du pendule doit être :

Question 2 : Calcul de la période propre (\(T_{0, \text{Terre}}\)) sur Terre

Principe :

On applique la formule de la période avec les données fournies pour la Terre.

Données spécifiques :
  • Longueur du fil (\(L\)) : \(1,50 \, \text{m}\)
  • Intensité de la pesanteur sur Terre (\(g_{\text{Terre}}\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{0, \text{Terre}} &= 2\pi \sqrt{\frac{1,50 \, \text{m}}{9,81 \, \text{m/s}^2}} \\ &\approx 2\pi \sqrt{0,152905 \, \text{s}^2} \\ &\approx 2\pi \times 0,39103 \, \text{s} \\ &\approx 2,4558 \, \text{s} \end{aligned} \]

(Arrondi à trois chiffres significatifs après la virgule, \(T_{0, \text{Terre}} \approx 2,46 \, \text{s}\))

Résultat Question 2 : La période propre de ce pendule sur Terre est \(T_{0, \text{Terre}} \approx 2,46 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la valeur de \(g\) augmente, la période d'un pendule de longueur fixe :

Question 3 : Effet du doublement de la masse

Principe :

La formule de la période propre du pendule simple pour de petites oscillations \(T_0 = 2\pi \sqrt{L/g}\) ne fait pas intervenir la masse \(m\) du pendule.

Analyse :

La période propre \(T_0\) dépend de la longueur \(L\) et de l'intensité de la pesanteur \(g\), mais pas de la masse \(m\) de l'objet suspendu (tant que les oscillations restent petites et que la masse du fil est négligeable).

Par conséquent, si la masse du pendule est doublée, sa période propre sur Terre restera inchangée.

Résultat Question 3 : Si la masse du pendule était doublée, sa période propre sur Terre resterait la même, soit \(T_{0, \text{Terre}} \approx 2,46 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire 3 : L'isochronisme des petites oscillations signifie que la période est indépendante de :

Question 4 : Période propre du pendule sur Mars (\(T_{0, \text{Mars}}\))

Principe :

La période du pendule change si l'intensité de la pesanteur \(g\) change. On utilise la même formule, mais avec la valeur de \(g_{\text{Mars}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_{0, \text{Mars}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{Mars}}}}\]
Données spécifiques :
  • Longueur du fil (\(L\)) : \(1,50 \, \text{m}\)
  • Intensité de la pesanteur sur Mars (\(g_{\text{Mars}}\)) : \(3,71 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{0, \text{Mars}} &= 2\pi \sqrt{\frac{1,50 \, \text{m}}{3,71 \, \text{m/s}^2}} \\ &\approx 2\pi \sqrt{0,404313 \, \text{s}^2} \\ &\approx 2\pi \times 0,635856 \, \text{s} \\ &\approx 3,9952 \, \text{s} \end{aligned} \]

(Arrondi à trois chiffres significatifs après la virgule, \(T_{0, \text{Mars}} \approx 4,00 \, \text{s}\))

Résultat Question 4 : La période propre du pendule sur Mars serait \(T_{0, \text{Mars}} \approx 4,00 \, \text{s}\).

Quiz Q4 : Sur une planète où g est plus faible que sur Terre, la période d'un même pendule sera :

Question 5 : Longueur (\(L'\)) pour une période de \(1,00 \, \text{s}\) sur Terre

Principe :

On réarrange la formule de la période \(T_0 = 2\pi \sqrt{L/g}\) pour isoler la longueur \(L\).

Formule(s) dérivée(s) :

De \(T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\), on a \(\frac{T_0}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{g}}\).

En élevant au carré : \(\left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{g}\).

Donc :

\[ L = g \times \left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2 \]
Données spécifiques :
  • Période souhaitée (\(T_0\)) : \(1,00 \, \text{s}\)
  • Intensité de la pesanteur sur Terre (\(g_{\text{Terre}}\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L' &= 9,81 \, \text{m/s}^2 \times \left(\frac{1,00 \, \text{s}}{2\pi}\right)^2 \\ &\approx 9,81 \times \left(\frac{1,00}{6,28318}\right)^2 \, \text{m} \\ &\approx 9,81 \times (0,159155)^2 \, \text{m} \\ &\approx 9,81 \times 0,02533 \, \text{m} \\ &\approx 0,24849 \, \text{m} \end{aligned} \]

(Arrondi à trois chiffres significatifs, \(L' \approx 0,248 \, \text{m}\) ou \(24,8 \, \text{cm}\)).

Résultat Question 5 : La longueur du fil devrait être \(L' \approx 0,248 \, \text{m}\) (soit \(24,8 \, \text{cm}\)).

Question 6 : Calcul de \(g_{\text{planète}}\)

Principe :

On utilise la même formule dérivée \(L = g \times \left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2\), mais cette fois on isole \(g\).

Formule(s) dérivée(s) :

De \(L = g \times \left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2\), on tire :

\[ g = L \times \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \]
Données spécifiques :
  • Longueur du pendule (\(L\)) : \(0,500 \, \text{m}\)
  • Période mesurée (\(T_0\)) : \(2,24 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} g_{\text{planète}} &= 0,500 \, \text{m} \times \left(\frac{2\pi}{2,24 \, \text{s}}\right)^2 \\ &\approx 0,500 \times \left(\frac{6,28318}{2,24}\right)^2 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 0,500 \times (2,805)^2 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 0,500 \times 7,868 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 3,934 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

(Arrondi à trois chiffres significatifs, \(g_{\text{planète}} \approx 3,93 \, \text{m/s}^2\)).

Résultat Question 6 : L'intensité de la pesanteur sur cette planète inconnue est \(g_{\text{planète}} \approx 3,93 \, \text{m/s}^2\). (Proche de celle de Mars).

Quiz Q6 : Pour mesurer \(g\) avec précision à l'aide d'un pendule, il est préférable d'utiliser :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La période d'un pendule simple (petites oscillations) est indépendante de :

8. Si on divise la longueur d'un pendule par 4, sa période sera :

9. L'isochronisme des petites oscillations signifie que la période :

Glossaire

Pendule Pesant Simple
Système idéalisé constitué d'une masse ponctuelle suspendue à un fil inextensible de masse négligeable, oscillant sous l'effet de la pesanteur.
Période Propre (\(T_0\))
Durée d'une oscillation complète (un aller-retour) du pendule lorsqu'il oscille librement, sans frottement et pour de petites amplitudes. Unité : seconde (s).
Fréquence (\(f\))
Nombre d'oscillations complètes par unité de temps. \(f = 1/T_0\). Unité : Hertz (Hz).
Longueur du pendule (\(L\))
Distance entre le point de suspension et le centre de la masse oscillante. Unité : mètre (m).
Intensité de la Pesanteur (\(g\))
Accélération due à la gravité au lieu où se trouve le pendule. Unité : \(\text{m/s}^2\) ou \(\text{N/kg}\).
Oscillation
Mouvement répétitif d'un système autour d'une position d'équilibre.
Amplitude Angulaire (\(\theta_{\text{max}}\))
Angle maximal d'écart du pendule par rapport à sa position verticale d'équilibre.
Petites Oscillations
Oscillations pour lesquelles l'amplitude angulaire est suffisamment faible (généralement < 15-20°) pour que l'approximation \(\sin(\theta) \approx \theta\) (où \(\theta\) est en radians) soit valable, rendant la période indépendante de l'amplitude.
Isochronisme des Petites Oscillations
Propriété d'un pendule simple pour laquelle sa période est indépendante de l'amplitude des oscillations, à condition que ces amplitudes restent faibles.
Radian (rad)
Unité de mesure d'angle du Système International. \(2\pi \, \text{rad} = 360^\circ\).
Période d’un Pendule Pesant Simple - Exercice d'Application (Physique Terminale)

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