Période d’un pendule pesant
Comprendre la Période d’un pendule pesant
Dans un musée, une grande horloge à pendule est exposée. Le pendule consiste en une tige rigide, sans masse, fixée à un point fixe et à une masse ponctuelle à son extrémité. Pour maintenir l’exactitude de l’horloge, il est crucial de connaître la période de ce pendule.
Données :
- Longueur de la tige (L) = 2 mètres
- Masse accrochée (m) = 10 kg
- Accélération due à la gravité (g) = 9,81 m/s²
- Angle initial par rapport à la verticale (θ₀) = 5° (Notez que cet angle est suffisamment petit pour utiliser l’approximation des petits angles dans le calcul de la période)
Question :
1. Calculez la période du pendule, en utilisant l’approximation des petits angles.
2. Discutez comment la période changerait si l’angle initial était augmenté significativement (par exemple à 30°), sans effectuer de calcul.
Correction : Période d’un pendule pesant
1. Calcul de la période du pendule
Pour un pendule simple soumis à l’approximation des petits angles (c’est-à-dire quand l’angle initial \(\theta_0\) est petit, ici 5°), le mouvement est considéré comme harmonique. La période \(T\) d’un tel pendule ne dépend que de la longueur \(L\) de la tige et de l’accélération due à la gravité \(g\). La masse du pendule n’intervient pas dans le calcul de la période.
Formule
La formule de la période pour un pendule simple sous l’approximation des petits angles est donnée par :
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
Données
- Longueur de la tige \(L\) : 2 mètres
- Accélération due à la gravité \(g\) : 9,81 m/s\(^2\)
- Angle initial \(\theta_0\) : 5° (suffisamment petit pour l’approximation des petits angles)
Calcul
1. Substitution des valeurs dans la formule :
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9,81}} \] \[ T = 2\pi \times 0,45152 \approx 6,2832 \times 0,45152 \] \[ T \approx 2,84 \, \text{secondes} \]
Résultat final : La période du pendule est d’environ 2,84 secondes.
2. Discussion sur l’effet d’un angle initial plus grand
- Cas de l’angle de 30° :
Lorsque l’angle initial augmente significativement (par exemple, à 30°), l’approximation des petits angles (où \(\sin \theta \approx \theta\) en radians) n’est plus valable. - Impact sur la période :
Pour des oscillations de plus grande amplitude, la période calculée par \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\) sous-estime la période réelle. En effet, l’analyse exacte montre que la période augmente avec l’amplitude de l’oscillation. Le calcul exact implique l’utilisation d’intégrales elliptiques qui donnent une période légèrement supérieure à celle obtenue avec l’approximation des petits angles. - Conclusion qualitative :
Ainsi, si l’angle initial était augmenté à 30°, la période du pendule serait plus longue que 2,84 secondes. La relation n’est pas linéaire, et l’augmentation de la période reste modeste pour des amplitudes modérées, mais devient significative pour des angles très grands.
Période d’un pendule pesant
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